第四章 连续时间信号与系统的复频域分析　４．１ 学习重点　1、拉普拉斯变换的定义式，收敛域，能根据拉普拉斯变换的定义式求一些常用信号的拉普拉斯变换。

2、熟练掌握拉普拉斯变换的基本性质（特别是时移性、频移性、时域微分、频域微分、初值定理、终值定理、卷积定理等性质）及其应用。

3、能应用部分分式法展开法、留数法，求解拉普拉斯反变换。

4、利用拉普拉斯进行连续时间信号的复频域分析，分析电路、s 域元件模型，能求解线性时不变系统的响应，包括全响应、零输入响应、零状态响应，以及冲激响应和阶跃响应。

5、深刻理解复频域系统函数()s H 的定义、物理意义及其与系统特性的关系，并能熟练应用于连续时间信号的复频域分析。

6、系统的复频域方框图表示与模拟。

7、了解系统函数的零、极点与系统特性的关系，会画零、极点图，会根据零、极点图求系统函数()s H 。

8、系统稳定性及其判断方法。

9、用MATLAB 进行连续时间信号与系统的复频域分析４．２ 教材习题同步解析　4.1 求下列信号的拉普拉斯变换及其收敛域，并画出零极点图和收敛域。

（1）()0,<−a t e at ε （2）()0,>−−a t e at ε（3）()0,>a t e at ε （4）0,>−a eta（5）()4−t ε （6）()τδ−t （7）()()t e t e t t εε2−−+ （8）()()t t εϕω+0cos【知识点窍】主要考察拉普拉斯变换定义及收敛域求法。

　【逻辑推理】 单边拉普拉斯变换定义：()()dt et f s F st∫∞−−=。

若满足0σσ>，使得()0lim =−∞→t t e t f σ，则()t e t f σ−在0σσ>的全部范围内收敛。

解：（1）()()[]()as dt e dt e e t e L s F t s a st at at +====∫∫∞+−∞−−−10ε ()00lim lim >+==+−∞→−−∞→a e e e t a t t at t σσσ即收敛域为a a −=−>0,σσ。

（２）()()[]()as dt e dt eet e L s F t s a statat+−===−−=∫∫∞−+−∞−−−1ε　()00lim lim <−==−−∞→−∞→σσσa e e e t a t t at t即收敛域为a a =>0,σσ。

（3）()()[]()as dt e dt e e t e L s F t s a stat at−====∫∫∞−∞−10ε ()00lim lim <−==−∞→−∞→σσσa e e e t a t t at t即收敛域为a a =>0,σσ。

（4）()()[]dt e e dt e e t eL s F st at st at ta ∫∫∞−−∞−−−+==0ε　()()as a s dt e dt e t s a t s a ++−=+=∫∫∞+−∞−−110()a a e e e t a t t at t −><+==+−+∞→−−+∞→σσσσ即00lim lim ()a a e e e t a t t at t <>−==−−∞→−−∞→σσσσ即0lim lim即收敛域为a a <<−σ。

（5）()()[]()s stst st e se sdt e dt e t t L s F 44441144−∞−∞−−∞=−==−=−=∫∫εε ()0lim 4lim >==−−+∞→−∞→σεσσt t t t e e t即收敛域为0,00=>σσ (6) ()()[]()ττττδτδs t stste e dt et t L s F −=−−∞==−=−=∫()−∞>=⋅=−−+∞→−∞→στδσσ00lim lim t t t t e e t即对0σ没有要求，全平面收敛。

（7）()()()[]dt e e dt e e t e t e L s F st t st t t t ∫∫∞−−∞−−−−+=+=0202εε　()()21110201+++=+=∫∫∞+−∞+−s s dt e dt e t s t s ()()()02010lim lim lim 212>+>+=+=++−∞→+−∞→−−−∞→σσσσσ且t t t t t t t t e e e e e即收敛域为1,10−=−>σσ。

（8）()ϕωϕωϕωsin sin cos cos cos 000t t t −=+j e e e e tjtj tj tj 2sin 2cos 0000ωωωωϕϕ−−−−+=tjtj e j e j 002sin 2cos 2sin 2cos ωωϕϕϕϕ−++ −= ()()()()00000021212sin 2cos 2sin 2cos 2sin 2cos 2sin 2cos 2sin 2cos 2sin 2cos 000000ωωϕϕϕϕϕϕϕϕεϕϕϕϕϕϕωωωωωωj s e j s e dt e j dt e j dt e e j dt e e j t ej e j L s F j j jt s jt s st tj st tj tj tj ++−= ++ −= ++ −=++ −=−∞+−∞−∞−−∞−−∫∫∫∫　()()()0lim 2sin 2cos lim 2sin 2cos 2sin 2cos 2sin 2cos lim 0000= ++ −=++ −+−∞→−∞→−−∞→tj t t j t t tj tj t e j e j e t e j e j σωσωσωωϕϕϕϕεϕϕϕϕ则有0000>+<−σωσωj j 且 即收敛域为j j 000,ωσωσ=>。

4.2 求图4.1所示信号的拉普拉斯变换。

【知识点窍】主要考察拉普拉斯变换基本性质　【逻辑推理】首先分析图形，看是由哪些基本信号的图形组合，然后通过基本信号的拉普拉斯变换和拉普拉斯变换基本性质来求取其拉普拉斯变换。

图4.1解：（a ）()()()T t t t x −−=εε 因()st 1↔ε，根据拉普拉斯变换时延特性，有 ()()sT sT e se s s s X −−−=−=1111（b ）()()()()()321−−−−−+=t t t t t x εεεε因()st 1↔ε，根据拉普拉斯变换时延特性，有 ()()s s s s s s e e e se s e s e s s s X 3232111111−−−−−−−−+=−−+=（c ）()()()[]()()()()T t T t T t T t t T T t t t T t x −−−−−=−−=εεεεε111因()s t 1↔ε，()21st t ↔ε，根据拉普拉斯变换时延特性，有()sT sT e Tse s Ts s X −−−−=22111（d ）()()()[]()()()()T t T t T t T t T T t t t T t x −−+−−=−−+−=εεεε1111因()s t 1↔ε，()21st t ↔ε，根据拉普拉斯变换时延特性，有 ()sT e Tss Ts s X −++−=22111（e ）()()()T t t T T t t T t t T t x −−+ − +−+=εεε222242 ()()()T t T t TT t T t T t t T −−+ − −−=εεε22242 因()s t 1↔ε，()21st t ↔ε，根据拉普拉斯变换时延特性，有 ()222222242242Ts e eeTse Ts Ts s X sTsTsTsT−−−−+−=+−=（f ）()()()[]πεεπ−−=t t t t x sin()22sin ππεπ+↔s t t()[]()()()+−−= −=−−=−+−−−∞−−∞−−∫∫πππεπεπππππππππππj s e j s e j dt e e dt e e j t j e e L t t L j s j s st t j st t j t j t j 21212sin所以()()()()()()()()22222222222222222222cos sin cos sin 212121222222πππππππππππππππππππππππππππππππππππππππ++−=++−+=+++−⋅−+=+−−+⋅−+=+−−−+=−−−−−−−−+−−−s t t s e s t t s e s s e e j e e s e j s s e e j s e e j s j s j s e j s e j s s X s s j j j j s j s j s j s j s 4.3 图4.2所示的每一个零极点图，确定满足下述情况的收敛域。

（1）()t f 的傅里叶变换存在 （2）()t e t f 2的傅里叶变换存在 （3）()0,0>=t t f （4）()5,0<=t t f【知识点窍】主要考察拉普拉斯变换的零极点分布特性。

　【逻辑推理】首先由零极点写出拉普拉斯变换式，再利用反变换求取其原信号，即可求取其收域。

图4.2解：由图4.2（a ）得()()() +−−=+−=111121111s s k s s k s F 即得 ()[]()t e e k t f tt ε−−=21 由图4.2（b ）图得()()()+−−=+−=313163322s s k s s k s F 即得 ()[]()t e e k t f t t ε3322−−= 由图4.2（c ）图得()()() +−+=++=311121333s s k s s k s F 即得 ()[]()t e e k t f tt ε332−−−= （1）()t f 的傅里叶变换存在，对于由图4.2（a ）来说，其收敛域为()[]()()[]02lim 2limlim 1111=−=−=+−−∞→−−∞→−∞→t t t t t t t t t e e Ke e e k e tf ασσσ则由此可得 0101>+∪<−αα即收敛域为 1>α同理，对于图4.2（b ）来说，其收敛域为：3>σ 对于图4.2（c ）来说，其收敛域为：1−>α（2）()t e t f 2的傅里叶变换存在，对于由图4.2（a ）来说，其收敛域为()[]()()[]02lim 2limlim 131312=−=−=−−∞→−∞→−∞→t t t t t t t t t t e e Ke e e k e e tf ασσσ由此可得其收敛域为：3>σ同理，对于对于图4.2（b ）来说，其收敛域为：5>σ对于图4.2（c ）来说，其收敛域为：1>α （3）（4）情况下，收敛域均为：∞<<∞−α4.4 针对图4.3所示的每一个信号的有理拉氏变换的零极点图，确定： （1）拉氏变换式；（2）零极点图可能的收敛域，并指出相应信号的特征。