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高等数学-向量代数与空间解析几何复习

第五章 向量代数与空间解析几何5.1向量既有大小又有方向的量表示:→-AB 或a (几何表示)向量的大小称为向量的模,记作||AB 、|a |、||a 1. 方向余弦:⎪⎪⎭⎫⎝⎛=||,||,||)cos ,cos ,(cos r r r z y x γβα r =(x ,y ,z ),| r |=222z y x ++ 2. 单位向量 )cos ,cos ,(cos γβα=→οa 模为1的向量。

3. 模→→→⋅=++=a a z y x a 222||4. 向量加法(减法) ),,(212121z z y y x x b a ±±±=±→→5. a ·b =| a |·| b |cos θ212121z z y y x x ++=a ⊥b ⇔a ·b =0(a ·b =b ·a ) 6. 叉积、外积|a ⨯b | =| a || b |sin θ= zyxz y xb b b a a a k j ia //b ⇔a ⨯b =0.( a ⨯b= - b ⨯a ) ⇔212121z z y y x x == 7. 数乘:),,(kz ky kx ka a k ==→→例1 1||,2||==→→b a ,→a 与→b 夹角为3π,求||→→+b a 。

解 22||cos ||||2||2)()(||→→→→→→→→→→→→→→→→++=⋅+⋅+⋅=+⋅+=+b b a a b b b a a a b a b a b a θ713cos12222=+⋅⋅⋅+=π例2 设2)(=⋅⨯c b a ,求)()]()[(a c c b b a +⋅+⨯+。

解 根据向量的运算法则)()]()[(a c c b b a +⋅+⨯+=)(])()[(a c c b a b b a +⋅⨯++⨯+)(])[()(])[(a c c b a a c b b a +⋅⨯+++⋅⨯+= a c b a a c b a ⋅⨯+++⋅⨯=])[()()( a c b a c a c b a ⋅⨯+⋅⨯+⋅⨯=)()()(c b a c b a ⋅⨯+⋅⨯=)()( 4)(2=⋅⨯=c b a例3 设向量k j i a +-=,k j i b 543+-=,b a x λ+=,λ为实数,试证:当模x最小时,向量x 必须垂直于向量b 。

解 由k j i a +-=,k j i b 543+-=得50||,3||22==b a ,12=⋅b a ,于是b a b a b a x ⋅++=+=λλλ2||||)(||22222253256505024322+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=λλλ 由此可知,当256-=λ时,模||x 最小,因而⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-=255,251,257256b a x 故0)5,4,3(255,251,257=-⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⋅b x所以,当模x 最小时,向量x 必须垂直于向量b 。

8. 向量的投影Prj a b =|b |θcos 为向量b 在向量a 上的投影。

a ·b =| a |Prj a b5.2空间平面与直线 5.2.1 空间平面点法式方程:与定点),,(0000z y x p 连线和非零向量n =(a ,b ,c )垂直的点的集合。

0)()()(000=-+-+-z z c y y b x x a 。

平面的一般方程:0=+++D Cz By Ax ,n =(A ,B ,C )截距式方程:1=++cz b y a x 三点式方程 0131313121212111=---------z z y y x x z z y y x x z z y y x x 例1 求过)0,0,0(O ,)2,3,1(A ,)1,1,2(--B 点的平面方程解(1)点法式n =)7,5,1(112231--=--=⨯→→→→-→-kj i OB OA 。

则平面方程为0)0(7)0(5)0(=---+--z y x ,即075=+-z y x 。

解(2)设平面方程为0=+++D Cz By Ax ,代入)0,0,0(O 得0=D 。

代入)2,3,1(A ,)1,1,2(--B 得⎩⎨⎧=--=++02023C B A C B A 解之得A C A B 7,5=-=代入方程消去A ,得方程为075=+-z y x例2 一平面通过点)3,2,1(,它在正x 轴,正y 轴上的截距相等,问此平面在三坐标面上截距为何值时,它与三个坐标平面围成的四面体的体积最小?并写出此平面方程。

解 依题意设所求平面的截距式方程为1=++cza y a x ,由于点)3,2,1(在此平面上,故有1321=++c a a ,解之33-=a ac 。

四面体之体积32133613-⋅=-⋅⋅=a a a a a a V ,232)3()3(321---='a a a a V , 令0='V 得9,29==c a 。

例3 求过点)1,1,1(-A ,)2,2,2(--B 和)2,1,1(-C 三点的平面方程。

解 由三点式方程032333111=---+--z y x 故所求方程为0)1(6)1(9)1(3=++-+--z y x ,即023=--z y x5.2.2 空间直线方向向量:平行于一已知直线的任一向量称为直线的方向向量。

易知直线上的任一向量都平行于直线的方向向量.若设已知向量为),,(n m l v =→,则直线的对称式方程为nz z m y y l x x 000-=-=- 一般式方程:⎩⎨⎧=+++=+++022221111D z C y B x A D z C y B x A参数式方程:⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+=.,,000pt z z nt y y mt x x例1 求过点)2,1,1(点,且与直线⎩⎨⎧+=-=5213x z x y 平行的直线方程解 将直线写成⎪⎩⎪⎨⎧+=-==5213x z x y xx ,以x 为参数,则)2,3,1(=→v ,故直线方程为223111-=-=-z y x 例 2 求过点)3,2,1(0--p 且平行于平面01326:=+--∏z y x ,又与直线532131--=+=-z y x 相交的直线方程。

解 设Q ),,(z y x 为两直线的交点,则0,//00=⋅∏→→-→-n Q P Q P ,即0)3(3)2(2)1(6=+---+z y x ,(1) 又Q 在L 上:532131--=+=-z y x(2)令(2)=t 解得x , y , z 代入(1)解得0=t ,在反代入(2)得Q 的坐标为)3,1,1(-,得直线为633221+=--=+z y x 5.3点、平面、直线的位置关系1. 点到平面的距离点),(0000z y x P 到平面Ax+By+C z+D =0得距离公式为:d =222000||CB A D Cz By Ax +++++例1 求平面0622=+-+z y x 和平面0884=-+-z y x 的交角平分面方程。

平分面上的点到两面之间距离相等,故22222814|884|221|622|++-+-=+++-+z y x z y x整理得:026147=-+-x y x 或010257=+++z y x 例2 求平行于平面9=++z y x 且与球面4222=++z y x 相切的平面方程。

解 由于所求平面与9=++z y x 平行,故可设其为0:=+++D z y x π。

因为π与球面4222=++z y x 相切,所以球心)0,0,0(到π的距离2111|000|222=+++++D ,解之,32±=D ,故所求平面方程为032=+++z y x 和032=-++z y x2. 点到直线的距离点1M 到直线L 的距离为 ||||10s s M M d ⨯=例3 求点)4,4,3(0-M 到直线122524-=--=-z y x 的距离。

解 )2,9,1(0-=→M M ,31)2(2||222=+-+=s ,于是所求距离253161153|2055|||||0=++=--=⨯=→k j i s s M M d3. 两平面之间的夹角平面1∏和平面2∏的夹角θ,cos θ=222222212121212121||CB A CB AC C B B A A ++++++1∏、2∏互相垂直相当于212121C C B B A A ++=0;1∏、2∏互相平行或重合相当于212121C C B B A A ==.4.两直线的夹角两直线的法线向量的夹角(通常指锐角)叫做两直线的夹角.直线1L 和2L 的夹角ϕcos ϕ=222222212121212121||pn m pn m p p n n m m ++++++ (5)两直线1L 、2L 互相垂直相当于212121p p n n m m ++=0; 两直线1L 、2L 互相平行或重合相当于.212121p p n n m m ==5. 直线与平面的夹角直线s =(m ,n ,p ),平面n =(A ,B ,C )夹角为ϕsin ϕ=222222||pn m CB A Cp Mn Am ++++++直线垂直于平相当于pC n B m A ==; 直线平行于或直线在平面上相当于Am+Bn+Cp =0. 6.平面束过直线L ⎩⎨⎧=+++=+++)12(0)11(,022221111D z C y B x A D z C y B x A 的平面束方程为0)(22221111=+++++++D z C y B x A D z C y B x A λ例1 求直线21132:+=-=+z y x x l 在平面08332:=-++z y x π上的投影直线的方程。

解 直线l 的方程即为⎩⎨⎧=+-=-+0132043z x y x ,故过l 的平面束方程为0)132(43=+-+-+z x y x λ即0433)21(=-+-++λλλz y x因为此平面与平面π垂直,故有0511)3,3,2()3,3,21(=-=⋅-+λλλ解得 511=λ,于是与08332=-++z y x 垂直的平面方程为045115333)5221(=-+-++z y x即031159=--+z y x ,从而所求投影直线方程为⎩⎨⎧=-++=--+08332031159z y x z y x5.4其它(旋转曲面方程)⎩⎨⎧=0),(x z y f 绕谁转谁不变,令一个用另两个变量的平方和的平方根代入故绕z 轴旋转,22y x y +±=,得0),(22=+±z y x f 为旋转曲面方程。

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