ji 第四章(44) 可靠性试验与设计四、最小二乘法用图估法在概率纸上描出[],()i i t F t 点后,凭目视作分布检验判别所作的回归直线往往因人而异，因此最好再通过数值计算求出精确的分布检验结论和求出数学拟合的回归直线。
通常用相关系数作分布检验，用最小二乘法求回归直线。
相关系数由下式求得：()()nii XX Y Y γ--=∑其中X,Y 是回归直线的横坐标和纵坐标，它随分布的不同而不同。
下表是不同分布的坐标转换只有相关系数γ 大于临界值0γ时，才能判定所假设的分布成立。
0γ临界系数可查相应的临界相关系数表，如给定显著水平0.05α=，n=10,可查表得00.576γ=。
若计算的0γγ，则假设的分布成立。
如果回归的线性方程为 Y mX B =- 则由最小二乘法得到系数为111112211ˆˆ1ˆ1()nni i i i nnn i i i ii i i n ni i i i Y mX BNX Y X Y N m X X N =======-+=-=-∑∑∑∑∑∑∑ 代入上表中的不同的分布，就可以得到相应分布的参数估计值。
五、最好线性无偏估计与简单线性无偏估计 1、无偏估计不同子样有不同的参数估计值ˆq，希望ˆq 在真值q 附近徘徊。
若ˆ()E q q =，则ˆq 为q 的无偏估计。
如平均寿命的估计为ˆit nq=å，是否为无偏估计？Q 1[]ˆ()[]ni ii i t E t E E nnnq qq =====å邋\ ˆq为q 的无偏估计 2、最好无偏估计定义若ˆk q 的方差比其它无偏估计量的方差都小，即ˆ()min ()k k D D q q =，则ˆkq 为最好无偏估计。
3、线性估计定义若估计量ˆq是子样的一个线性函数，即1ˆni i i a q ==C å，则称ˆq为线性估计。
4、最好线性无偏估计当子样数25n £时，通过变换具有()F msC -形式的寿命分布函数，其,m s 的最好线性无偏估计为：1ˆ(,,)rj i D n r j X m==åˆ(,,)j C n r j X s=å其中(,,),(,,)D n r j C n r j 分别为,m s 的无偏估计，有了,,n r j 后，可有专门表格查无偏系数(,,),(,,)D n r j C n r j 。
常用的寿命分布均可通过下表转换为()F msC - ()X F μ-分布转换表表中,x n g 为m 的修偏系数，可根据子样数n 和截尾数r 查《可靠性试验用表》得到。
5、简单线性无偏估计当25n >时，简单线性无偏估计的方法具有计算简单，估计精度高的特点，适用于大子样，对具有()F msC -形式的分布参数,m s 的简单线性无偏估计值为： ..11ˆ[(2)]()s rs jj s r n j j s s r X XX n k s ==+=--+?邋式中：[0.892]1rs n ìïï=íï+ïî 20.90.9r n r n <?>，0.892n 表示整数部分，..s r n k 是s 的无偏系数。
n 、..s r n k 可按子样数n 与截尾数r 从《可靠性试验用表》中查出。
..ˆˆ()s n s n X E z ms =- .s n X 是定数截尾时的次序统计量。
2.()n E z 是标准极小值分布容量为n 的子样中第s 个次序量的数学期望值，同样可查《简单线性无偏估计表》得出。
§4.3.2 分布参数的区间估计简介点估计中给出的是参数的一个估计值，不同样本的点估计值一般是不同的。
同一样本不同点估计量估计出的点估计值也不同，因此点估计是一个随机变量，它有一定的变动范围，因此应该将ˆq与q 间的误差大小考虑进去，所用的方法就是给出参数的估计区间。
在这个区间中包含有真值q 是有一定概率的。
因此给出的区间是在一定的置信水平要求下的曲线，称其为置信区间，即：()1L u P q q q a ＃=- （*）,L u q q 分别为置信下限和置信上限，1a -为置信水平或置信系数。
α是不包含真值的概率，称为风险度（显著水平）。
(*)式为双侧置信区间，而 ()1u P q q a ?-()1L P q q a >=-分别表示单置信区间。
可靠性分析中，通常对单侧置信下限更感兴趣。
求未知参数的置信区间必须掌握样本函数的分布，其计算也较点估计复杂和困难。
一． 指数分布的区间估计可以证明，对指数分布，其统计量2()s t q是服从自由度z 的2c 分布：22()()S t Z χθS(t)是总的试验时间，q 是平均寿命的真值，z 是2c 分布的自由度，由不同截尾寿命试验方法的故障数r 确定。
在给定置信度1a -下，双侧置信区间有： 221222()2(){}1()()s t s t P z z a a q a c c -＃=- 其中： 222()()()L L s t C s t z a q c ==，2122()()()u u s t C s t z a q c -== 单侧置信下限为：22()()()L L s t C s t z a q c ¢==，212()()()u u s t C s t z a q c -¢== ,L u C C 为双侧置信系数，,L u C C ⅱ为单侧置信系数。
可见下表。
例。
有20件产品进行可靠性试验，试验在100h 截尾，观测到故障次数为7次，试验的总时间为3020h ，试计算：(1) 单侧90％置信系数；(2 )双侧90％置信系数。
解：(1). 单侧90％置信系数20.1220.0849523.542(16)LC c ¢===(2) .双侧90％置信系数 220.1 1.92222220.07605,0.304426.36.57(16)(16)L u C C cc======二． 二项分布的区间估计二项分布常用于计算冗余元件相同、并行工作冗余系统的成功概率。
它也适用于计算可靠性依赖于时间的元件、一次性使用的设备（多级导弹分离器、闪光灯和一次使用的工作元件）的失效概率，也适用于计算那些只要求工作一段时间而不再使用诸如导弹发动机、短寿命的电池等一次使用的工作设备的可靠度。
其失效概率是个常数。
对于成败型产品在n 次试验中故障r 次数的概率可用二项分布描述，其可靠度置信下限由下式表示：(1)ri n i i n L L i C R R a -=-=ån －被试样本数，r －故障数，L R －产品可靠度的下限，可这样解释：若产品可靠度太低，则试验中出现r 个或比r 个还少的事件的可能性是不高的，或者说R 不会低于使“出现r 次和r 次还少的事件”成为小概率事件。
因为当a 为小概率时，1a -为置信度，上述公式限制了产品的可靠度应为下限，所以： ()1L P R R a ?-l R 可查<<可靠性试验用表>>，在n 次试验中如果故障为零时，则1nL R a =如：20只产品试验，故障数0r =，置信度0.95时的可靠度下限L R 为：111/2020(10.95)0.050.86nL R a ==-==三、正态分布的区间估计若可靠性寿命试验得到n 个部件的寿命数据，且利用点估计方法得到ˆˆ,ms ，由数理统计理论，可知统计量ˆ(mm -～(1)t n -分布，这里(1)t n -是自由度n-1个的t 分布，因此得到：22{(1)(1)}1P t n t n a a a --<-=-从而得参数m 的置信区间：2ˆ(L t n a m m=--2ˆ(1u t n a m m=+-通常对对单侧置信的下限L m 更感兴趣，故用下式得到平均寿命的下限：ˆ(1)L u t n αμσ=--四、威布尔分布的区间估计这里只介绍采用极大似然估计时，两参数威布尔分布的区间估计，它适用于完全样本及定数、定时试验子样。
设通过极大似然估计得到两参数威布尔分布参数的点估计ˆˆ,mh 。
1． 参数m 的点估计在置信度1a -时，参数m 的置信区间为：12ˆ[,]w m w m)式中21(1)11[]q k w rc +=，21(1)22[]q k w rc+=，r q m =， 2.14628 1.361119c q =-212[(1)]k c r a c =-，2212[(1)]k c r a c -=-2．参数h 的估计在置信度1a -时，参数h 的置信区间为： []12ˆ,A A hh )12,A A 分两种情况（(1).r ＝n ，完全样本， (2).r<n ，截尾样本），首先计算以下常数：140490.3140.622A q q -=-+，50.2445(1.78)(2.25)A q q =-+，60.029 1.083ln(1.325)A q =-(1).当r<n 时，计算常数21345[][]d A r A rA x=+-2235[][]d A r A x =--236A A x =-式中：12x Na-=为正态分布分位点，\11exp[]d A m=-，22exp[]d A m=-代入12ˆ[,]A A h h)即为置信区间。
(2).r=n 时，312(1)d tn a -=-，即为t 分布自由度为n-1的分位点，则：1exp[A =-，2exp[A =代入12ˆ[,]A A h h)即为置信区间。
§4.3.3 非参数估计前面讨论的几种参数估计的方法的特点是：均已知产品母体的寿命是属于某一种分布,这个分布由一个或几个参数确定。
这样的统计问题就是参数估计问题，这种统计方法就是参数统计方法。
但是实际工程中会碰到这样一种问题，要想了解某产品的寿命特征量，但并不知道该产品的寿命分布，仅知道它是一种连续的或离散的寿命分布，这种分布有那几种参数也不了解，这种统计问题就是非参数统计问题。
而对于非参数统计问题提出的方法，就称为非参数统计方法。
前面讨论的极大似然估计方法都必须知道寿命属于那一种分布，都是参数统计问题。
非参数统计中，由于对母体了解甚少，母体的信息少于参数估计，因此在统计中只能作一般性的限制，譬如是边缘分布这样的限制。
基于这样较弱的限制，因此一个非参数估计问题就可能涉及许多性质很不一样的分布，从而可能降低了效率，精度也差，这是非参数估计的缺点。
因此在实际使用时，如果能知道寿命分布类型，尽量选用参数估计，当母体信息知道不多时，如连寿命分布类型都布了解，则可用非参数估计方法。
设随机抽取n 台产品，作无替换定时截尾寿命试验，试验到预先规定的时间t 停止。