T /2 T / 2
X
2
(t)dt
E
X
2 T
(t
)dt
E
1
2
X
T
(
)
2
d
XT ()
XT
(t )e
jt dt
T / 2 X (t)e jt dt
T / 2
p
E
Tlim
1 T
T /2 T / 2
X
2
(t)dt
E
Tlim
1
2
1 T
XT ()
2
d
1
lim
E
XT
()
2
样本空间： 足够多的随机试验所构成的集合S。
3
4
随机过程： 包括全部时间函数的总体，X(t)/{Xk(t)}。
随机变量： 在随机过程中取某一特定时间t1，得到的不
含时间t变化的变量X(t1)，即随机变量。
5
分布函数：
随机变量X取值不超过某个数x的概率是取值x的函数， 记为：Fx（x）＝P（X<＝x），则称此函数为随即变量X的 分布函数。
16
5. 高斯过程（正态分布）
1
(x a)2
p(x)
exp
2 2
2 2
17
三. 平稳随机过程的频谱特性 平稳随机过程X(t)的平均功率
p
E
lim
1 T
T /2 T / 2
x2
(t )dt
对于截短函数
X (t) t / 2 t t / 2
XT (t)
0
其它
18
E
8
广义平稳随机过程： 如果给定的随机过程，有 均值=常数 均方差2 自相关函数R（τ）只与τ有关 则称这个随机过程为广义平稳随机过程。
9
二.随机过程的数字特征
1.均值(数学期望):
E X
t
xp x,t dx
at
平稳：
E
X
t
xp
x
dx
a
其本质就是随机过程所有样本函数的统计平均 函数。
在随机化信号或噪声中，均值表示其直流成分。
随机过程X(t)，随机变量X(t1)
一维分布函数P1(x1,t1)=P[X(t1) ≤x1]
(以噪声为例,在t1时刻噪声幅度小于x1的概率)
二维分布P2(x1,x2,t1,t2)=P[X(t1)≤x1,X(t2)≤x2]
(在t1时刻幅度小于x1,在t2时刻幅度小于x2
的联合概率)
6
概率密度函数(以噪声为例,是单位噪声幅度 区间的概率值) 设连续随机变量X的分布函数Fx（x）是连续的，而且除
统计平均值等于时间平均值
15
a a lim 1
T /2
x(t )dt
T T
T / 2
lim 1
T T
T / 2
2
T / 2 x t a dt
R R lim 1
T T
T /2 T / 2
x
t
x
t
dt
具有各态历经的随机过程必定是平稳随机过程。
平稳随机过程不一定是各态历经性的
13
自相关函数的性质:
1 R0 E X 2 t D X t E X t 2 2 a2 0
2 R R
3 R0 R
14
4. 各态历经性(遍历性）：
从随机过程得到的任意一个实现，好象经历随 机过程的所有可能状态，因此，用一个实现的时间 平均就可以代替它的统计平均。 设平稳过程的统计平均值分别为：、2、R（） 设平稳过程的时间平均值分别为：、2、R（） 对于各态历经的平稳随机过程有：
而对于随机信号，只能分析随机信号的特征值 （如均值，方差，自相关函数等）通过系统后的变 化。
当输入过程是广义平稳的，输出过程也是广义 平稳的。
d
2 T
T
随机信号的功率谱密度
W
()
lim
E
XT
()
2
T
T
19
各态历经平稳随机过程的功率谱密度 函数与自相关函数构成傅里叶变换对，称为 维拉——辛钦公式。
W () R( )e j d
R( ) 1 W ()e jt)=Acos(ω0t+θ)
10
2. 方差(二阶中心矩)：表示随机过程在时刻t 相对于均值a的偏离程度。
D X t E X t E X t 2
x
a
t
2
p
x,
t
dx
E
X
2
t
E X t
2 2 t
平稳：
D X t E
X t a2
x a2 p x dx 2
在随机化信号或噪声中，均方差值表示其 交流功率。
11
3.自相关函数:用来衡量随机过程在任意两个时刻 上获得的随机变量的相关特性。
R t1,t2 E X t1 X t2
x1x2 p x1, x2;t1,t2 dx1dx2
平稳：
Rt,t E X t X t
x1x2
p
x1,
x2 ;
dx1dx2
R
12
对于平稳随机过程，自相关函数有如下物理意义。 1、R（0）是随机函数的平均功率。 2、R（）是随机函数的直流功率。 3、 R（0）- R（）=2是随机函数的交流功率
第二章 信号、噪声与信息论(2)
1
§2.3 随机信号和随机噪声
一.随机过程的基本概念
1.随机过程 确定性过程:事物变化的过程可用一确定函
数关系描述。如:自由落体运动s(t)=gt2/2 。 随机过程:事物变化的过程不可用一确定函
数关系描述。
2
样本函数： 设随机试验Sk，每一次试验可用一个自变
量为时间t 的函数Xk(t)，即样本函数。
平稳随机过程：
A、狭义随机平稳过程：对于一个随机过程，如果 其N维分布，满足：
pk (x1, x2 ,..., xk ;t1, t2,..., tk )
pk (x1, x2,..., xk ;t1 ,t2 ,...,tk )
称为狭义平稳随机过程，有： 一维分布与t无关。如均值，方差2。 二维分布只与=t2-t1有关，与t的具体值无关， 如自相关函数R（）。
p(
)
1/ 2
0
0 2
其它
20
解：
R( )
A2 2
COS (0
)
Sx ()
R( )e j d
A2 (e j0 e j0 )e j d
4
A2
(e j(0 ) d A2 e d j(0 )
4
4
A2 4
(
0 ) (
0 )
21
四.随机信号通过线性系统
确知信号通过系统，由于输入信号可以用 数学表达式表示。信号通过系统后的输出信号也 可以用一个数学表达式表示。
了称个为别随点 机外 变， 量处X的处概可率以密微度分。，也则即：，p概x (x率) 密d度Fd是Xx(分x) 布函
数的导数。
一维概率密度函数
p1( x1, t1)
P1( x1, t1) x
二维概率密度函数
p1(x1, x2 , t1, t2 )
2P1(x1, x2 , t1, t2 ) x1x2
7