(1)圆的一般方程与圆的标准方程的联系:
一般方程
配方 展开
标准方程
12
举例
例1： 求过三点O(0，0)，M1 (1，1) ，M2（4， 2）的方程，并求出这个圆的半径和圆心坐标.
方法一： 几何方法
圆心：两条弦的中垂线的交点
y
M1(1,1) M2圆上一点13
2.2 圆的一般方程
1
复习
圆的标准方程: (x-a)2+(yb)2=r2
特征： 直接看出圆心与半径
指出下面圆的圆心和半径：
(x-1)2+(y+2)2=2 (x+2)2+(y-2)2=5 (x+a)2+(y-2)2=a2 (a≠0)
2
动动手
把圆的标准方程（x-a)2+(y-b)2=r2 展开，得
x2 + y2 - 2ax - 2by + a2 + b2 - r2 = 0
①若知道或涉及圆心和半径,我们一般采用圆的标 准方程较简单.
②若已知三点求圆的方程,我们常常采用圆的一般 方程用待定系数法求解.
(特殊情况时,可借助图象求解更简单)
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小结
1. 本节课的主要内容是圆的一般方程,其表达式为
x 2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 D2 + E 2 - 4F 0
求半径
（
圆心到圆上一点的距离）
列关于a，b，r（或D，E，F ）的方程组
写出圆的标准方程
解出a，b，r（或D，E，F） ，写出标准方程（或一般方1程8
）
巩固：
(1)已知圆x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0的圆心为
点
(-
D
,-
E )
；
22
(3)当D2＋E2－4F＜0时，方程无实数解,
不表示任何图形．
所以形如x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0
（D2+E2-4F>0）可表示圆的方程
6
圆的一般方程：
x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝ (D2+E2-4F>0)
圆的0一般方程与标准方程的关系：
1
（1）a=-D/2，b=-E/2，r= 2
由于a, b, r均为常数
令 - 2a = D,-2b = E, a2 + b2 - r 2 = F
结论：任何一个圆方程可以写成下面形式
x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0
3
思考
1.是不是任何一个形如
x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0
方程都表示的曲线是圆呢？ 2.下列方程表示什么图形？ （1）x2+y2-2x+4y+1=0； （2）x2+y2-2x-4y+5 =0； （3）x2+y2-2x+4y+6=0.
2. 圆的一般方程与圆的标准方程的联系
一般方程
配方
标准方程(圆心,半径)
展开
3. 给出圆的一般方程,如何求圆心和半径?
(用配方法求解17)
小结求圆的方程
几何方法
求圆心坐标 （两条直线的交点） （常用弦的中垂线）
待定系数法
设方程为 (x - a)2 + ( y - b)2 = r2 (或x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0)
举例
例1： 求过三点O(0，0)，M1 (1，1) ，M2（4，
2）的方程，并求出这个圆的半径和圆心坐标.
方法二： 解：设所求圆的标准方程为：
（x-a）2+（y-b）2=r2
待定系数法 因为O(0,0),A (1,1),B(4,2)都在圆上
（a）2+（b）2=r2 （1-a）2+（1-b）2=r2 （4-a）2+（2-b）2=r2
=
1 2
(D)a 1 2
D
9
例2：下列方程各表示什么图形?若是圆则求出 圆心、半径.
(1)2x2 + 2 y2 + 4x -12y -1 = 0
(2)x2 + y2 + 2ax = 0(a 0)
解：(1)由2x2 + 2y2 + 4x -12y -1= 0 (2)由x2 + y2 + 2ax = 0
得x2 + y2 + 2x - 6y - 1 = 0 2
得（x + a)2 + y2 = a2 0
即：（x +1)2 + ( y - 3)2 = 21 故它表示以（- a, 0）
2
故它表示以（-1，3）为圆心, 为圆心，a 为半径的圆
42 为半径的圆. 2
10
2019/12/19
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[小结一]:
待定系数法 因为O(0,0),A (1,1),B(4,2)都在圆上，则
F=0

D+E+F+2=0

4D+2E+F+20=0
所求圆的方程为:
F=0
解得

D=-8

E=6
x2+y2-8x+6y=0 即（x-4）2+（y+3）215=25
小结二
注意:求圆的方程时,要学会根据题目条件,恰 当选择圆的方程形式:
4
将 x2+ y2+Dx+Ey+F =0
左边配方，得
(x+
D
2 )
+
(
y
+
E
2 )
=
D2 + E2 - 4F
2
2
4
（1）当
D2+E24F>0
时,
它表示以
-
D 2
,-
E 2

为圆心,
以 r = D2 + E2 - 4F 2
为半径的圆;
5
(2)当D2＋E2－4F＝0时， 方 程表 示 一个
所求圆的方程为：
a=4
解得

b=-3

r=5
即（x-4）2+（y+3）2=25 14
举例
例1： 求过三点O(0，0)，M1 (1，1) ，M2（4，
2）的方程，并求出这个圆的半径和圆心坐标.
解：设所求圆的一般方程为：
方法三：x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0(D2 + E2 - 4F 0)
8
练习
1. 已知圆 x2+y2+Dx+Ey+F=0的圆心坐标为
(-2,3),半径为4,则D,E,F分别等于
D
( A)4,-6,3
(B) - 4,6,3
(C) - 4,6,-3
( D)4,-6,-3
2. x2+y2-2ax-y+a=0 是圆的方程的充要条件
是
( A)a

1
2
(B)a 1 2
(C )a
D2 + E2 - 4F
（2）标准方程易于看出圆心与半径
一般方程突出形式上的特点：
①x2与y2系数相同并且不等于0；
②没有xy这样的二次项 7
例1、判断下列方程能否表示圆的方程,若 能写出圆心与半径
(1) x2+y2-2x+4y-4=0是 圆心（1，-2）半径3 (2) 2x2+2y2-12x+4y=0是 圆心（3，-1）半径 10 (3) x2+2y2-6x+4y-1=0不是 (4) x2+y2-12x+6y+50不=是0 (5) x2+y2-3xy+5x+2y=不0是