电子的能量
E

2 2
2me a
( n n n ) 2
2 x 2 y 2 z
对于任一由nx , ny , nz 各取一定值所确定 的空间或轨道状态，电子具有一定的能量。 且同一 ( n n n ) 值可以由许多nx , ny , nz 值组合而得，电子的能级是简并的。
2 x 2 y 2 z
第二十九章 固体中的电子
电子具有波动性，因此在金属中的电子只 要它们的德布罗意波长比周期势场的空间周期 大得多，它们的运动就不受到这种势场的明显 影响。 因此，金属中的公共的电子可认为是自由 电子，而其集体称为自由电子气。

U

d

r
29-2 自由电子按能级的分布
第二十九章 固体中的电子
例1：铜的密度为 8.9×103kg/m3，试求铜 离子的间距. 解：已知铜的密度
第二十九章 固体中的电子
态密度：单位体积单位能Байду номын сангаас区间的量子态数， 记为g(E)
dns (2me ) 12 g (E) E 2 3 dE 2
g( E )
a
32
g( E ) g( E ) g( E )
b 0 E EF 电子态密度分布曲线和 0K时电子能量分布
E EF 电子态密度分布曲线和 300K时电子能量分布
费米能量
EF (3 )
2 23
23 n 2me
2
费米能量EF仅决定于金属的自由电子数密度 费米速度：和费米能量对应的自由电子具有 一定的最大速
2 EF vF me
费米速度可达106 m/s !
费米温度：电子具有费米能量时的温度
EF TF k
各金属的费米温度均高于104 K
29-2 自由电子按能级的分布
0
EF
29-2 自由电子按能级的分布
EF
第二十九章 固体中的电子
Etotol Eg (E )dE
0
(2me ) 12 E E d E 2 3 0 2 52 1 3 3 2 EF (2me ) nEF 2 3 5 5
EF
32
电子的平均能量
Etotol 3 E EF n 5
2a x , nx
2a 2a y , z , ny nz 量子数 nx , ny , nz 1,2,3, x
a a a y
29-2 自由电子按能级的分布
第二十九章 固体中的电子
电子在各方向的动量分量
2a 2a x , y , nx ny h 2 依 p
1 4 3 Ns 2 R 8 3 3 1 32 a 32 (2me ) E 2 3 3
nz
( nx , ny , nz )
ny
nx
29-2 自由电子按能级的分布
第二十九章 固体中的电子
单位体积内自由电子能量小于E 的可能 状态总数 32
Ns 1 32 E ns 3 (2me ) 2 3 a 3
29-2 自由电子按能级的分布
第二十九章 固体中的电子
金属价带中的电子能量较高为共有化电子， 且都要受晶格上正离子的库仑力的作用。因此 这些正离子对共有化电子形成周期性的库仑势 场，其空间周期为离子的间距 d。
对于波动，线度比波长小得多的障碍物对 波的传播是没有什么影响的。

U

d

r
29-2 自由电子按能级的分布
3
64 10 3 3 23 8.9 10 6.02 10 10 2.3 10 m
29-2 自由电子按能级的分布
第二十九章 固体中的电子
例2：室温下电子的德布罗意波长。
3 kT 解：电子的方均根速率 v me 电子的德布罗意波长 h h h p mev 3me kT 34 6.63 10 31 23 3 9.1 10 1.38 10 300 9 6 10 m
与能量E 对应的量子态半径 R
nz
( nx , ny , nz )
2me a R E 2 2
2
ny
nx
29-2 自由电子按能级的分布
第二十九章 固体中的电子
能量小于E的状态数就是在此球内的所有 状态数。 当R足够大时，球内1/8体积内的状态数就 等于球内相应的体积。 该金属块具有的能量小于E 的可能状态总数
由能量最低原理和泡利不相容可知，电子 将从能量最低的状态开始一个个逐一向上占据 能量较高的能级。 用 n 表示金属中单位体积内的自由电子数。 费米能级：在T = 0时，金属中自由电子可能 占据的最高能级，相应的能量叫费米能量EF
n ns
29-2 自由电子按能级的分布
第二十九章 固体中的电子
0
29-2 自由电子按能级的分布
第二十九章 固体中的电子
例：求0K时单位体积内自由电子的总能量和 每个电子的平均能量。 解：依态密度
(2me ) 12 g (E) E 2 3 2
32
单位体积内，能量 E + dE 的状态数
dns g (E )dE
单位体积内自由电子的总能量
Etotol Eg (E )dE
m 3 3 8.9 10 kg/m V
铜的摩尔质量
M mol 64 10 kg/mol
3
单位体积内铜离子数
n

M mol
NA
29-2 自由电子按能级的分布
第二十九章 固体中的电子
单位体积内铜离子数
铜离子的间距
n

M mol
NA
1 d3 n
3
M mol NA
2a z , nz
p x nx , a
p y ny , a
2
p z nz , a
电子的能量（按非相对论情况考虑）
1 p 1 2 2 2 2 E mev ( px p y pz ) 2 2me 2me
29-2 自由电子按能级的分布
第二十九章 固体中的电子
波长比离子间距大得多，所以铜块中的电 子可以看成是自由电子。
29-2 自由电子按能级的分布
第二十九章 固体中的电子
由于在常温下，电子很难逸出表面，所以 金属表面对电子有一个很高的势垒。 作为一级近似，可认为金属中的自由电子 处于一个三维的无限深方势阱中。 三维的无限深方势阱中，粒子的每一个能 级本征态对应的德布罗意波为驻波，即要求三 个方向都为驻波的形式， z 设金属块的边长为a，则
29-2 自由电子按能级的分布
第二十九章 固体中的电子
以nx , ny , nz 为三个相互垂直的坐标轴建立 量子数空间，则各量子数均为正值的1/8空间内， 任一具有整数坐标值的点都给出一组量子数， 因而代表电子的一个可能的状态。
半径 R
n n n 的球面
2 x 2 y 2 z
上各点具有相同的能量。