两类递推数列通项公式的不动点求法
【摘要】数列及其性质的研究，对确定数列的通项公式起着至关重要的作用。

文章介绍了两类递推数列通项公式的不动点求法，给出了两个结论并举例说明。

【关键词】递推数列通项公式不动点
【中图分类号】o122 【文献标识码】a 【文章编号】1674-4810（2013）08-0129-01
求递推数列的通项公式或研究其性质是高中数学的重点内容，也是高考热点之一。

研究数列问题时，熟练地求出通项，是解决问题的关键。

数列的通项公式可以看做函数的解析式，而函数解析式深刻地反映了函数性质。

因此，利用函数知识求数列的通项公式，值得我们研讨。

利用函数的不动点知识，我们得到了两类递推数列通项公式的一般性解决。

一般地，若x0满足f（x0）=x0，则称x0是函数f（x）的一个不动点。

定理1：若f（x）=ax+b（a2+b2≠0），则x0为f（x）的不动点，{an}满足an=f（an-1）（n≥2），则{an-x0}是以公比为a的等比数列。

证明：由x0是函数f（x）的一个不动点，知ax0+b=x0，即
-ax0=b-x0。

于是an-x0=（a·an-1+b）-x0=a·an-1-ax0=a（an-1-x0）命题得证。

定理2：设，数列{un}
满足un=f（un-1）（n≥2），且初始条件u1≠f（u1），则有：（1）若f（x）有两个不动点p，q则数列是以公比为
的等比数列。

（2）若f（x）只有一个不动点p，则数
列是以公差为的等差数列。

证明：（1）由题知，得：，同理有：。

所以：。

（2）p为f（u）唯一不动点，知，cp2+（d-a）p
-b=0，，。

故数列是以公差为的等差数列。

例1，（2005年高考·山东卷）已知数列{an}的首项为a1=5，前n项和为sn，且sn+1=2sn+n+5（n∈n*），求{an}的通项公式。

解：由已知sn+1=2sn+n+5（n∈n*），得：
当n≥2时，sn=2sn-1+（n-1）+5，两式相减得an+1=2an+1。

当n=1时，由a1=5，所以a2=11，从而a2=2a1+1，故an+1=2an+1，对n∈n*成立。

令x=2x+1，求出不动点x=-1。

由定理1得：数列{an+1}是公比为2的等比数列，所以an+1=（a1+1）·2n-1，故an=3·2n-1。

例2，〔2011年高考理科数学（必修+选修ii）全国1卷〕
设{an}数列满足a1=0，且，求{an}的通项公
式（注：本题只选其中一问作答）。

解：易得联想到an=f（an-1）（n≥2）形式，
恰好是不动点！令得x=1。

依据定理2（2）有d=-1，
所以，解得。

例3，（2012年高考全国大纲卷理22）函数f（x）=x2-2x-3，定义数列{xn}如下：x1=2，xn+1是过两点p（4，5）、qn〔xn，f（xn）〕的直线pqn与x轴交点的横坐标，求数列{xn}的通项公式。

解：由题意可得直线pqn的方程为，
令y=0，解得，又由方程可得不动点
x1=-1，x2=3。

由定理2知数列是以-3为首项5为公比的等比
数列，所以，故。

参考文献
[1]陈传理、张同君.竞赛数学教程（第二版）[m].北京：高等教育出版社，2005
〔责任编辑：高照〕。