解:当函数 y x 2 在 x 0 到 x0 x 之间变化的时候
函数的平均变化率为
f(x 0 x x ) f(x 0 ) (x 0 x x )2 x 0 2 2 x 0 x
变化区间
自变量改变量x
平均变化率
y x
（1，1.1）
0.1
2.1
（1，1.01）
0.01
2.01
(1,1.001)
x
x
x x
显然，“线段”所在直线的斜率的绝对值越大，山
坡越陡。这就是说，竖直位移与水平位移之比 y
x
对值越大，山坡越陡；反之，山坡越平缓。
的绝
现在摆在我们面前的问题是：山路是弯曲的，怎 样用数量刻画弯曲山路的陡峭程度呢？
一个很自然的想法是将弯曲的山路分成许多小段， 每一小段的山坡可视为平直的。可以近似地刻画。
y 有极限．如果 y 不存在极限，就说函数在
x
x
点 x 0 处不可导，或说无导数． （2）x是自变量x在 x 0 处的改变量，x0，而
y = f(x)在点 x0 处的导数记为
f ( x0 )
即 f(x 0 ) lix m 0 y x lix m 0f(x 0 x x ) f(x 0 )
y 也可记作 x xo
★ 若这个极限
不存在，则称 在点x0 处不可 导。
说明：
（1）函数 f ( x) 在点 x 0 处可导，是指 x0时，
y3
D(x3,y3)
y2
C(xy2y,3y4 2) yy34yy00
y1 y0
A(x0,y0)
xx1x0
B(yx21,y1)y2y0 y1y1y0
O
x0
x1
x
Y
y4
E(x4,y4)
y3
D(x3,y3)
y2
C(x2,y2)
y1
B(x1,y1)
y0
A(x0,y0)
xx1x0
O
x0
x1
x
y1
y2
y3 y4
0.001
2.001
(1,1.0001) …
0.0001 …
2.0001 …
瞬时速度
要精确地描述非匀速直线运动，就要知道物 体在每一时刻运动的快慢程度．如果物体的运动规 律是 s =s(t )，那么物体在时刻t 的瞬时速度v，就是
物体在t 到 t+t 这段时间内，当 t0 时平均速度v
的极限．即
v s t lt i0m s(t tt)s(t)
思考：比值 y 表示的意义是什么？
x
它表示每一个单位上的函数值的平均增量。
函数图象上也有类似定义，由此我们引 出函数平均变化率的概念。
建构数学
形 曲线陡峭程度
数 平均变化率
变量变化的快慢
函数的平均变化率
已知函数 y f(x) 在点 x x0 及其附近有定义，
令 xxx0 , y y y 0 f ( x ) f ( x 0 ) f ( x 0 x ) f ( x 0 )
函数的瞬时变化率
设函数 y f (x)在 x 0 附近有定义，
当自变量在 x x0 附近改变 x 时，
函数值相应的发生改变 yf(x 0 x )f(x 0)
如果当 x 趋近于０时，
平均变化率 f(x0 x)f(x0)
x
l 趋近于一个常数 ，
则数 l 称为函数 y f (x)在点 x 0 处的瞬时变化率。
如何用数学来 反映山势的平缓 与陡峭程度？
y
H E D
C
B A
O
X0
X1
X2
Xk
Xk+1
y
y1
A(x0,y0)
y0
x
O
x0
B(x1,y1)
y
x1
选取平直山路AB放大研究 :
若 A (x0,y0)B ,(x1,y1)
自变量的改变量 xx1x0
函数值的改变量 yy1y0
x
直线AB的斜率:
ky1y0 y0y1y x1x0 x0x1 x
则当x0 时,比值 f(x0x)f(x0)y
x
x
叫做函数 y f(x) 在 x 0 到x0 x之间的平均变化率
函数平均变化率: f(x0x)f(x0)
x
函数值的改变量与自变量的改变量之比
思考:函数平均变化率的几何意义？
过曲线 y f (x) 上的点 (x0, f (x0)和(x0x,f(x0x)
y
H E D
D1 C B A
O
X0
X1
y
X2
X3
y1
A(x0,y0)
y0
O x0
B(x1,y1)
x1
x
Xk
Xk+1
y y3
x
D1(x3,y3)
y2 C(x2,y2)
O x2
x3
x
直线AB的Байду номын сангаас率:
k
y1 y0
y
x1 x0 x
直线CD1的斜率:k1
y3 y2 x3 x2
y x
Y
y4
E(x4,y4)
导数的概念
设函数 y = f(x) 在点 x=x0 的附近有定义，当自变量 x 在 x0 处
取得增量 △x ( 点 x0 +△x 仍在该定义内）时， 相应地函数 y 取
得增量 △y = f (x0 +△x)- f (x0 )，若△y与△x之比当 △x→0的极
限存在，则称函数 y = f(x)在点 x0 处可导 ，并称这个极限为函数
分析:当 x 取定值, x 0 取不同数值时,
该函数的平均变化率也不一样.
( 2 ) 求函数 y 1 在 x 0 到 x0 x 之间的平均变化率
x
解:当函数
y 1 x
在 x 0 到 x0 x 之间变化的时候
函数的平均变化率为
1 1
y f (x0 x) f (x0) x0 x x0
x
x
x
1 (x0 x)x0
课堂练习：
甲乙二人跑步路程与时间的关系以及百米赛跑路程和时 间的关系分别如图（1）（2）所示，
（1）甲乙二人哪一个跑得快？
（2）甲乙二人百米赛跑，快到终点时，谁跑得比较快？ y
路程
乙
100m
甲
o 图1 t
甲 乙
o 图2 t0 t
例3：已知函数 f (x) x2，计算函数在下列区间上的平均变化率。
割线的斜率。
y
Y=f(x)
• 观察函数f(x)的图象
f(X0+△x)
B
直线 AB的 斜率
f(x0) O
f(x0x)f(x0)
A△x x
x0 X0+△x
思考：（1） △x 、△ y的符号是怎样的？ （2）该变量应如何对应？
理解：
1、 x2是 x1附近的任 ,即 意 xx一 2x1点 0,
但可正 ; 可负
yf(x2)f(x1)可正可负，也. 可为
2、 对应性：
若
x x 2 x 1 ,则 y f( x 2 ) f( x 1 ).
例1.求函数 y x 2 在 x 0 到 x0 x之间的平均变化率 解:当函数 y x 2 在 x 0 到 x0 x 之间变化的时候
函数的平均变化率为 y x f(x 0 x x ) f(x 0 ) (x 0 x x ) 2 x 0 2 2 x 0 x