以初速度 v0(v0>0)垂直上抛的物体，t 秒时的高度为 s(t)＝ v0t－12gt2，则物体在 t0 时刻的瞬时速度为________．
[答案] v0－gt0
[解析] 因为Δs＝v0(t0＋Δt)－12g(t0＋Δt)2－(v0t0－12gt20) ＝(v0－gt0)Δt－21g(Δt)2， 所以ΔΔst＝v0－gt0－12gΔt， 所以当Δt无限趋近于0时，ΔΔst无限趋近于v0－gt0， 故物体在时刻t0的瞬时速度为v0－gt0.
第一章
1.1 导 数 第2课时 瞬时变化率与导数
复习 平均变化率
一般的，函数 f (x)在区间上 [x1, x2 ]的平均变化率为
f (x1) f (x2 ) y
x1 x2
x
平均速度
v s t
平均速度反映了在某一段时间内
运动的快慢程度,那么,如何刻画在
某一时刻运动的快慢程度呢?
实例:
小明去蹦极,假设小明下降的运动
重要结论:
x 0
平均变化率
瞬时变化率
二、瞬时变化率与导数
设函数 y＝f(x)在 x0 附近有定义，当自变量在 x＝x0 附近的 改变量为 Δx 时，函数值相应地改变 Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)．
如果当 Δx 趋近于 0 时，平均变化率ΔΔxy＝fx0＋ΔΔxx－fx0趋 近于一个常数 l，那么常数 l 称为函数 f(x)在点 x0 处的瞬时变化 率当．Δ记x→作0：时，fx0＋ΔΔxx－fx0→l.上述过程通常也记作 Δlixm→0 fx0＋ΔΔxx－fx0＝l.函数在点 x0 处的瞬时变化率通常称为 f(x)在 x＝x0 处的导数，这时，记作 f′(x0)，即 f′(x0)＝Δlixm→0 fx0＋ΔΔxx－fx0，也可记作 y′|x＝x0.
[答案] 1
2．求导数的步骤：由导数的定义知，求函数 y＝f(x)在点 x0 处的导数的步骤：
(1)求函数值的增量 Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)； (2)求平均变化率ΔΔxy＝fx0＋ΔΔxx－fx0； (3)取极限，得导数 f′(x0)＝Δlixm→0 ΔΔxy(或当 Δx→0 时，ΔΔxy →f′(x0))．上述求导方法可简记为：一差、二化、三极限．
符合方程 s 1 gt2 ,请同学们计算 2
小明从3秒到5秒间的平均速度。
如何计算出在第3秒时的速度,即t=3时
的瞬时速度呢?
s 1 gt 2(s表示位移,t表示时间) 2
解 : 先计算t 3到t 3 t3 t)2
1 g 32 2
1
g(6 t)
t
(3 t) 3
• 注意：“函数f(x)在某一点处的导数”“导函 数”“导数”的区别与联系：
• (1)“函数在某一点处的导数”：就是在该点 的函数值的改变量与自变量的改变量的比， 它是一个常数，不是变数．
• (2)导函数也简称导数，“f(x)在一点x0处的导 数”与“导函数”是个别与一般的关系．
• (3)函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)就是导函数 f′(x)在点x＝x0处的函数值．f′(x0)＝f′(x)|x＝ x0．
2ax＋b，y′|x＝2＝4a＋b.
[方法总结] 求函数在某一点处的导数的思路：
(1)直接利用导数定义，但要注意对式子
Δy Δx
的变形和约
分，变形不彻底可能导致 lim Δx→0
ΔΔxy不存在，得出错误结论．
(2)先求出导函数，再计算该点处的导数值．
求函数 f(x)＝ 2x＋1的导数 及 x=4 时的导数．
•
求函数f(x)＝x2在x＝1处的导
数．
∵Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝(1＋Δx)2－1＝2Δx＋(Δx)2.
∴f′(1)＝Δlixm→0
Δy Δx＝Δlixm→0
2Δx＋Δx2 Δx ＝Δlixm→0
(2＋Δx)＝2.
即 f(x)＝x2 在 x＝1 处的导数 f′(1)＝2.
三、导函数
1．如果 f(x)在开区间(a，b)内每一点 x 都是可导的，则称 f(x)在区间(a，b)可导．这样，对开区间(a，b)内每个值 x，都 对应一个确定的导数 f′(x)．于是，在区间(a，b)内，f′(x)构 成一个新的函数，这个函数称为 y＝f(x)的导函数，记为 f′(x) 或 y′(或 y′x)．导函数通常简称为导数．
2
当t无限趋近于0时, v无限趋近于常数3g,
此即t 3秒时的瞬时时速
一、瞬时速度
设物体运动所经过的路程为
s=s(t). 以t0为起始时刻，物体在t时
间内的平均速度为
vvstst
ff
((tt00
t )t )f t t
(ft
0(t)0。)
。
当t0时， v 常数
这个常数就是物体在t0时刻
的瞬时速度.
• 如果某物体作运动方程为s＝2(1－t2)的直线 运动(s的单位为m，t的单位为s)，那么其在 1.2s末的瞬时速度为( )
• A．－4.8m/s
B．－0.8m/s
• C．0.88m/s D．4.8m/s
• [答案] A
[解析]
v＝Δlitm→0
ΔΔst＝Δlitm→0
2[1－1.2＋Δt2]－21－1.22 Δt
[正解] f′(x)＝lim Δx→0
2x＋Δx＋1－ 2x＋1 Δx
＝ lim Δx→0
2x＋Δx＋1－2x－1 Δx 2Δx＋x＋1＋ 2x＋1
＝ lim Δx→0
2 2x＋Δx＋1＋ 2x＋1
＝
1 2x＋1 .
导数概念的应用
设函数f(x)在点x0处可导，试求下列各式的值.
已知函数 y＝ax2＋bx＋c，求 y′
及 y′|x＝2.
[解析] ∵Δy＝a(x＋Δx)2＋b(x＋Δx)＋c
－(ax2＋bx＋c)＝2axΔx＋a(Δx)2＋bΔx，
∴
Δy Δx
＝
2axΔx＋aΔx2＋bΔx Δx
＝
2ax
＋
b
＋
aΔx，
y′ ＝ Δlixm →0
Δy Δx
＝
Δlixm →0
(2ax ＋ b ＋ aΔx) ＝
＝lim (－4.8－2Δt)＝－4.8(m/s)． Δt→0
6．一木块沿某一斜面自由下滑，测得下滑 的水平距离s与时间t之间的函数关系为s 1 t 2
8 ，则t＝2s时，此木块在水平方向的瞬时速度 为( )
1 [答案] 2
7．一物体的运动方程为s 7t 2 13t 8 ，
则其在t＝________时的瞬时速度为1.