二次函数中的动点问题
三角形的存在性问题
一、技巧提炼
1、利用待定系数法求抛物线解析式的常用形式
（1）、【一般式】已知抛物线上任意三点时，通常设解析式为，然后解三元方程组求解；（2）、【顶点式】已知抛物线的顶点坐标和抛物线上另一点时，通常设解析式为求解；
2、二次函数y=ax2+bx+c 与 x 轴是否有交点，可以用方程ax2 +bx+c = 0是否有根的情况进行判定；
判别式 b 24ac二次函数与x 轴的交点情况一元二次方程根的情况△＞ 0与 x 轴交点方程有的实数根
△＜ 0与 x 轴交点实数根
△＝ 0与 x 轴交点方程有的实数根
3、抛物线上有两个点为A（x ， y）， B（ x ， y）
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(1) 对称轴是直线x x 1 x2Q 2
(2) 两点之间距离公式：
已知两点 P x1 , y1,Q x2 ,y2 ，P G
( x1 x2 ) 2( y1 y2 ) 2O
则由勾股定理可得：PQ
练一练：已知 A（ 0， 5）和 B（－ 2， 3），则 AB＝。

4、常见考察形式
1）已知 A（ 1,0 ）， B（ 0， 2），请在下面的平面直角坐标系
坐标轴上找一点C，使△ ABC是等腰三角形；
总结：两圆一线
方法规律 :平面直角坐标系中已知一条线段，构造等腰三角形，用的是“两圆一线”：分别以线段的两个端点为圆心，线段长度为半径作圆，再作线段的垂直平分线；
2）已知 A（ -2,0 ）， B（ 1， 3），请在平面直角坐标系中坐标轴
上找一点C，使△ ABC是直角三角形；
总结：两线一圆
方法规律 {平面直角坐标系中已知一条线段，构造直角三角形，用的是“两线一圆”：分别过已知线段的两个端点作已知线段的垂线，再以已知线段为直径作圆；
5、求三角形的面积：
（ 1）直接用面积公式计算；（ 2）割补法；（ 3）铅垂高法；
如图，过△ ABC 的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，
A铅垂高
外侧两条直线之间的距离叫△ABC 的“水平宽” （ a），中间的C
h
这条直线在△ ABC 内部线段的长度叫△ ABC 的“铅垂高” （ h）．
我们可得出一种计算三角形面积的新方法：B
水平宽1
S△ABC =2ah，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半。

a
6、二次函数中三角形的存在性问题
解题思路：（ 1）先分类，罗列线段的长度；（2）再画图；（3）
后计算
二、精讲精练
1.由动点产生的等腰三角形问题
如图，抛物线y＝ ax2＋ bx＋ c 经过 A( － 1,0) 、B(3, 0)、C(0 ,3)三点，直线l 是抛物线的对称轴．
（1）求抛物线的函数关系式；
（2）设点 P 是直线 l 上的一个动点，当△ PAC的周长最小时，求点 P 的坐标；
（3）在直线l 上是否存在点M，使△ MAC为等腰三角形，若存在，求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．
如图，抛物线y=ax2+bx+c 经过点 A（ -3 ， 0）， B（ 1.0 ）， C（0， -3 ）．
（1）求抛物线的解析式；
S，求S 的最大值并求出此时点P 的坐标；（2）若点P 为第三象限内抛物线上的一点，设△PAC的面积
为
（3）设抛物线的顶点为D，DE⊥ x轴于点E，在y 轴上是否存在点M，使得△ADM是直角三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
备用图
例. 在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板放在第一象限，斜靠在两坐标轴上，且点A（ 0， 2），点 C（ 1， 0），如图所示，抛物线 y=ax 2-ax-2 经过点 B．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线上是否还存在点 P（点 B 除外），使△ ACP仍然是以 AC为直角边的等腰直角三角形？若存在，求
所有点 P 的坐标；若不存在，请说明理由．
三、实战训练
1、如图，抛物线y=ax 2-5ax+4 经过△ ABC的三个顶点，已知BC∥ x 轴，点 A 在 x 轴上，点 C 在 y 轴上，且AC=BC．
（1）求抛物线的对称轴；
（2）写出 A， B， C 三点的坐标并求抛物线的解析式；
（3）探究：若点P 是抛物线对称轴上且在x 轴下方的动点，是否存在△PAB是等腰三角形？若存在，求出
所有符合条件的点P 坐标；不存在，请说明理由．
2、如图，直角梯形OABC中， OC∥ AB， C（ 0， 3），B（ 4， 1），以 BC 为直径的圆交x 轴于 E， D 两点（ D 点
在 E 点右方）．
（1）求点 E， D的坐标；
（2）求过 B， C， D 三点的抛物线的函数关系式；
（3）过 B，C，D 三点的抛物线上是否存在点 Q，使△ BDQ是以 BD为直角边的直角三角形？若不存在，说明理
由；若存在，求出点 Q的坐标．。