用特征方程求数列的通项一、递推数列特征方程的研究与探索递推(迭代)是中学数学中一个非常重要的概念和方法，递推数列问题能力要求高，内在联系密切，蕴含着不少精妙的数学思想和方法。

递推数列的特征方程是怎样来的？（一）、 若数列{}n a 满足),0(,11≠+==+c d ca a b a n n 其通项公式的求法一般采用如下的参数法，将递推数列转化为等比数列：设t c ca a t a c t a n n n n )1(),(11-+=+=+++则 ，令d t c =-)1(，即1-=c dt ，当1≠c 时可得)1(11-+=-++c d a c c d a n n ，知数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+1c d a n 是以c 为公比的等比数列，11)1(1--+=-+∴n n c c da c d a 将b a =1代入并整理，得()11---+=-c dc bd bc a n n n . 故数列d ca a n n +=+1对应的特征方程是：x=cx+d（二）、二阶线性递推数列,11-++=n n n qa pa a仿上，用上述参数法我们来探求数列{}n n ta a ++1的特征：不妨设)(11-++=+n n n n ta a s ta a ，则11)(-++-=n n n sta a t s a , 令 ⎩⎨⎧==-q st pt s （ ※）（1）若方程组（ ※）有两组不同的实数解),(),,(2211t s t s ,则)(11111-++=+n n n n a t a s a t a , )(12221-++=+n n n n a t a s a t a , 即{}n n a t a 11++、{}n n a t a 21++分别是公比为1s 、2s 的等比数列，由等比数列通项公式可得1111211)(-++=+n n n s a t a a t a ①, 1212221)(1-++=+n n n s a t a a t a ②,∵,21t t ≠由上两式①+②消去1+n a 可得 ()()()nn n s t t s a t a s t t s a t a a 22121221211112..-+--+=.（2）若方程组（ ※）有两组相等的解⎩⎨⎧==2121t t s s ，易证此时11s t -=，则())(2112111111---++=+=+n n n n n n a t a s a t a s a t a=)(11211a t a s n +=-，211121111s a s a s a s a nn n n -=-∴++,即⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n s a 1是等差数列，由等差数列通项公式可知()21112111.1s a s a n s a s a nn --+=，所以n n s n s a s a s a s a s a a 1211122111211.⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=． 这样，我们通过参数方法，将递推数列转化为等比（差）数列，从而求得二阶线性递推数列的通项，若将方程组（※）消去t 即得02=--q ps s ，显然1s 、2s 就是方程q px x +=2的两根，我们不妨称此方程为二阶线性递推数列11-++=n n n qa pa a 的特征方程，所以有结论： 若递推公式为 ,11-++=n n n qa pa a 则其特征方程为 q px x +=21、 若方程有两相异根1s 、2s ，则nnn s c s c a 2211+=；2、 若方程有两等根21s s =，则nn s nc c a 121)(+=. 其中1c 、2c 可由初始条件确定。

（三）分式线性递推数列da c ba a a n n n +⋅+⋅=+1（0,,,,≠∈c R d c b a ），将上述方法继续类比，仿照前面方法，等式两边同加参数t ，则da c ct a dtb a ct a t d ac b a a t a n n n n n +⋅++++=++⋅+⋅=++)(1 ①， 令cta dtb t ++=，即0)(2=--+b t d a ct ②， 记②的两根为21,t t ， （1） 若21t t ≠，将21,t t 分别代入①式可得 d a c t a ct a t a n n n +⋅++=++1111)(，da c t a ct a t a n n n +⋅++=++2221)(以上两式相除得21212111t a t a ct a ct a t a t a n n n n ++⋅++=++++，于是得到⎭⎬⎫⎩⎨⎧++21t a t a n n 为等比数列，其公比为21ct a ct a ++，数列{}n a 的通项n a 可由121211121)(-++⋅++=++n n nct a ct a t a t a t a t a 求得； （2）若21t t =，将1t t =代入①式可得da c t a ct a t a n n n +⋅++=++1111)(,考虑到上式结构特点，两边取倒数得111111)(11t a ct d t a c ct a t a n n n +-++⋅+=++ ③由于21t t =时方程③的两根满足cda t --=12，∴11ct d ct a -=+ 于是④式可变形为111111t a ct a c t a n n +++=++∴⎭⎬⎫⎩⎨⎧+11t a n 为等差数列，其公差为1ct a c +， ∴ 数列{}n a 的通项n a 可由1111)1(11ct a c n t a t a n +⋅-++=+求得．这样，利用上述方法，我们可以把分式线性递推数列转化为等比数列或等差数列，从而求得其通项。

如果我们引入分式线性递推数列d a c b a a a n n n +⋅+⋅=+1的特征方程为dcx bax x ++=，即0)(2=--+b x a d cx ，此特征方程的两根恰好是方程②两根的相反数，于是我们得到如下结论：分式线性递推数列d a c b a a a n n n +⋅+⋅=+1的特征方程为dcx bax x ++=1、若方程有两相异根1s 、2s ，则⎭⎬⎫⎩⎨⎧--21s a s a n n 成等比数列，其公比为21cs a cs a --； 2、若方程有两等根21s s =，则⎭⎬⎫⎩⎨⎧-11s a n 成等差数列，其公差为1cs a c -. 值得指出的是，上述结论在求相应数列通项公式时固然有用，但将递推数列转化为等比（等差）数列的思想方法更为重要。

如对于其它形式的递推数列，我们也可借鉴前面的参数法，求得通项公式，其结论与特征方程法完全一致，三、例题例1、 已知数列,5,121==a a 且)2(4411≥-=-+n a a a n n n ，求通项公式n a 。

解 设)(11-++=+n n n n ta a s ta a ，∴11)(-++-=n n n sta a t s a 令⎩⎨⎧-==-44st t s ， 可得⎩⎨⎧-==22t s ， 于是 =-=-=----+)2(2)2(2221211n n n n n n a a a a a a (1)12123)2(2--⋅=-=n n a a ，∴432211=-++n n n n a a ，即⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n a 2是以21211=a 为首项、43为公差的等差数列， ∴43)1(212⋅-+=n a nn ，从而22)13(-⋅-=n n n a . 例2、设数列{}n a 满足n n n n a a a a a 求,7245,211++==+.解： 对等式两端同加参数t 得()(),7252475272475272451++++⋅+=++++=+++=++n n n n n n n a t t a t a t a t t a a t a 令5247++=t t t ，解之得1-=t ，2，代入上式 得 721311+-⋅=-+n n n a a a ， ,722921++⋅=++n n n a a a 两式相除得,21312111+-⋅=+-++n n n n a a a a即31,41212111公比为是首项为=+-⎭⎬⎫⎩⎨⎧+-a a a a n n 的等比数列， ∴134234,34121111-⋅+⋅=⋅=+----n n n n n n a a a 从而． 四、本课小结：1．可用特征方程解决递推数列的三类模型⑴．线性递推关系： 已知),0(,11≠+==+c d ca a b a n n⑵．齐次二阶线性递推关系： 已知,,21b a a a == 且 ,11-++=n n n qa pa a ⑶．分式递推关系： 已知b a =1， da c ba a a n n n +⋅+⋅=+12. 特征根方程及求法 ⑴． {1,11n a n n pa q a =++=的特征根方程为 x=px+q ，其根为α,则1n a α+-=p(1n a α+-)⑵. 1221(1)(2)n n n a n a a n pa qa++=⎧⎪==⎨⎪+⎩的特征根方程为2x px q =+设两实根为α,β ①.若α≠β时,则n a =1112n n c c αβ--+,其中1c ,2c 是由1a ,2a 确定 ②. 若α=β时,则112()n n a c n c α-=+其中1c ,2c 是由, 1a 2a 确定⑶. 1n n n pa q a ra h++=+的特征根方程为px qx rx h+=+若方程的两根为α,β 若1,a αβ≠且αβ≠,则11n n n n a a p r a p r a αααβββ++---=⋅---即{n n a a αβ--}等比数列若1a αβ=≠且0p h +≠,则1121n n r a p h a αα+=+-+-即{ 1n a α- }等差数列五、练习1．已知数列}{n a 满足：,4,N ,23111=∈--=+a n a a n n 求.n a 2.已知数列{n a }满足1a =3,2a =6,2n a +=41n a +-4n a 求n a 3. 已知数列{n a }满足1a =3,2a =6,2n a +=21n a ++3n a 求n a4. 各项均为正数的数列{n a }1a =a, 2a =b ，且对任意的m+n=p+q 的正整数 m ，n ，p ，q ， 都有(1)(1)(1)(1)p q m n n m n q a a a a a a a a ++=++++当a=12,b=45时 ，求通项n a 5:已知数列{}n a 满足*1112,2,n n a a n N a -==-∈,求通项n a . 6．已知数列{}n a 满足*12212,3,32()n n n a a a a a n N ++===-∈，求数列{}n a 的通项n a 7．已知数列{}n a 满足*12211,2,44()n n n a a a a a n N ++===-∈，求数列{}n a 的通项n a8．已知数列{}n a 满足11122,(2)21n n n a a a n a --+==≥+，求数列{}n a 的通项n a9．已知数列{}n a 满足*11212,()46n n n a a a n N a +-==∈+，求数列{}n a 的通项n a练习答案1、解：作特征方程.23,231-=--=x x x 则 .211231=+a 数列13n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是以31-为公比的等比数列.于是 13n a +=（231+a ）.N ,)31(21123,)31(211)31(111∈-+-=-=----n a n n n n2、解：作特征方程x 2=4x-4由特征根方程得α=β=2故设n a =(1c +2c n) 12n -,其中3=1c +2c ,6=(1c +22c ).2， 所以1c =3, 2c =0,则n a =3.12n -3、解：作特征方程x 2=2x+3由特征根方程得α=3, β=-1所以n a =1c 13n -+2c 1(1)n --其中3=1c +2c , 6=31c -2c ， 得1c =94, 2c =34所以n a =14.13n ++341(1)n -- 4、解:由(1)(1)(1)(1)p q m nm n p q a a a a a a a a ++=++++得121121(1)(1)(1)(1)n n n n a a a a a a a a --++=++++将14,25a b ==代入上式化简得11212n n n a a a --+=+考虑特征方程212x x x +=+得特征根1x =±所以11111121112112113112n n n n n n n n a a a a a a a a ------+--+-==⋅+++++，所以数列11n n a a ⎧⎫-⎨⎬+⎩⎭是以111113a a -=-+为首项,公比为13的等比数列，，故11111()()1333n nn n a a --=-⋅=-+ 即3131n n n a -=+ 5、解: 考虑特征方程12x x=-，得特征根1x =，111111111111111(2)11n n n n n n a a a a a a -----====+------ 所以数列11n a ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是以1111a =-为首项,公差为1的等差数列， 故11n n a =- 即1n n a n+= 6．解：其特征方程为232x x =-，解得121,2x x ==，令1212n n n a c c =⋅+⋅，由1122122243a c c a c c =+=⎧⎨=+=⎩，得12112c c =⎧⎪⎨=⎪⎩， 112n n a -∴=+7．解：其特征方程为2441x x =-，解得1212x x ==，令()1212nn a c nc ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由1122121()121(2)24a c c a c c ⎧=+⨯=⎪⎪⎨⎪=+⨯=⎪⎩，得1246c c =-⎧⎨=⎩， 1322n n n a --∴=8．解：其特征方程为221x x x +=+，得2220x -=，解得121,1x x ==-，令111111n n n n a a c a a ++--=⋅++由12,a =得245a =，可得13c =-，∴数列11n n a a ⎧⎫-⎨⎬+⎩⎭是以111113a a -=+为首项13-为公比的等比数列，1111133n n n a a --⎛⎫∴=⋅- ⎪+⎝⎭，3(1)3(1)n nn n na --∴=+- 9．解：其特征方程为2146x x x -=+，即24410x x ++=，解得1212x x ==-，令 1111122n n c a a +=+++ ， 由12,a =得2314a =，求得1c =，∴数列112n a ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪+⎩⎭是以112152a =+为首项，以1为公差的等差数列， 123(1)11552n n n a ∴=+-⋅=-+，135106n n a n -∴=-。