特征方程法求解递推关系中的数列通项当f(x)二X 时，x 的取值称为不动点，不动点是我们在竞赛中解决递推式的基本方法。
aa n ■ b 人ax ■ b2典型例子：a n 1-令 x，即 ex • (d -a)x —b = 0ca n+dcx + d令此方程的两个根为 x , , x 21(1)若x , = x 2，则有an^ _x 1a n — X , a - — X ,a — ex ,⑵若X i=X 2,则有—— -=q — -(其中q—)an 半 一 x 2an —X 2a~ cx 2—2x +3例题1：设f(x)=2x —7(i)求函数y = f (x)的不动点；(2 )对(i)中的二个不动点a,b (a ::- b)，求使f (x)_a= kx_a恒成立 f(x)-bx —b的常数k 的值；2X 3⑶对由a —=1,a n= f (a n丄)(n_2)定义的数列｛a n｝，求其通项公式a n。
f(x)=2x —7解析：⑴设函数f (x)的不动点为x 0，则X o2X0 32xo-7-2x 3 1 1 / 1、 1X (x ) x —⑵由 2X-7 2 2 U 2 -2x+3 3 8x+24 -8(x-3) 8 x -32x -7可知使f(x) -a_k x _a 恒成立的常数 f (x)-b x -ba n 1 31 3(1厂-〕—2=2 .(丄严，则a 二吐 2 a n -3 4 8 n「3(—严4 Wa +4例2•已知数列｛a n｝满足性质：对于n ・N,a n1n ,且a^3,求｛a n｝的通项公式.2 a n 31P (其中P )a n- x !a d1 解得x 0或x 0 =3 2 1+ 丄 ，2k 。
(3)由⑵可知an 2 J an 」2，所以数列8a 8 a 丄 (3)-为公比的等比数列。
则8x + 4 2解:依定理作特征方程x ,变形得2x •2x-4=0,其根为‘1 =1,‘2 — -2.故特征方程有两个相异的2x 3根，则有a n 42a n ■： 3 a n ■' 4 - 2a n - 3 a n 1 - -1a n 1 2an 42 a n 2a n +3（1）当p =1时，数列｛a n ｝为等差数列；（2）当p =0时，数列｛a n ｝为常数数列；（3） 当p =1,q =0时，数列｛a n ｝为等比数列；（4） 当p =0,1,q =0时，称x= px q 是数列｛a n ｝的一阶特征方程，其根 x — 叫做特征方程的特征根，这时1-p数列｛a n ｝的通项公式为：a n =（a^x ）p nd x ；例1 :已知数列｛a n ｝中，a^ 5，且n _ 2时，求a n ；、数列的二阶特征方程（a n 2二pa n 1 ' qa n 型）在数列｛a n ｝中，a 1与a 2已知，且a n pa n dqa n（ p,q 是常数），则称x = px q 是数列｛a n｝的二阶特征方程,其根x 1， x 2叫做特征方程的特征根。
2a n 3 亠 4 亠4a n亠6 5a nT0 1 a n -1 即 % 1 一1a n 1 25 a n 2印「1「一 3-12 又 a 12 3 2 5•••数列 —.a na _ 1 I21n是以—为首项，为公比的等比数列25 53厶* a n25 54(」)心1a 55N ] 2, 1、n1 1 (-一) 一 5 52 (-5)n N.例3•已知数列｛a n ｝满足：对于n N,都有 an d13an_25a n 3(1)若 a , = 5,求 a n ;(2)若 a 1 = 6,求a n ；13x _ 25解：作特征方程x 二x +32变形得x -10x25 0,特征方程有两个相同的特征根x = 5.(1)丁 a , =5,. q = x..对于 n(2)，an 「2n. N .n +7一、数列的一阶特征方程（a n = pa nd -q 型)在数列｛a n ｝中，a ,已知，且n _ 2时,a^ pa n j q （ p,q 是常数），（参考答案: a n = 2722(。
当X i =X 2 时，有 a n • C 2X 2; (2)当X i =X 2 时，有 a n 二[3 - (n - 1)d]x ：」其中G ,c 2, d 由a 1,a 2代入a n 后确定。
例 2：在数列｛a n ｝中，aj =3,a 2 =7，且 n _3时，a n -3a n 丄「4a n = 0，求 a n ； (参考答案：a n =(-1)n 1 - 22nJ )考虑一个简单的线性递推问题.设已知数列｛a n ｝的项满足a^b , a n ca n■ d其中c = 0, c = 1,求这个数列的通项公式.采用数学归纳法可以求解这一问题，然而这样做太过繁琐，而且在猜想通项公式中容易出错，本文提出一种易于被学 生掌握的解法一一特征方程法：针对问题中的递推关系式作出一个方程 x =cx • d,称之为特征方程；借助这个特征方程的根快速求解通项公式.下面以定理形式进行阐述. 定理i.设上述递推关系式的特征方程的根为x 0，则当x 0二a1时，a n 为常数列，即a n= a 1;S x 0=印时，a n = b nX 0，其中｛b n ｝是以c 为公比的等比数列，即b^ b 1c nJ ,b^a^x 0.-J证明：因为c=0,1,由特征方程得X 0 —.作换元b n =a n -x 0,1 -c n 1当x 0 = a 1时，6=0，数列｛b n ｝是以c 为公比的等比数列，故 b n 二b 1c ;当 X 0 = 3 时，d = 0，｛b n ｝为 o 数列，故 a n = a 1,n • N.(证毕) 下面列举两例，说明定理 1的应用.1例1 •已知数列｛a n｝满足：an da n —2, n ・N, a^ 4,求a n. 3 13 解：作方程Xx -2,则X 0 . 32 3 11 1当a^ 4时，印=a j.数列｛b n｝是以 为公比的等比数列.于是2 2 3例2•已知数列｛a n ｝满足递推关系：a n1 =(2a n 3)i,n ，N,其中i 为虚数单位.则 b n4 二 a n 」-X 。
二 ca n • dd 1 -ccd 1 -c二 c(a n - X 0) =Cb n .b n当a1取何值时，数列｛a n｝是常数数列?+ 3i 6^ + 3 i解：作方程X =（2x • 3）i,则X o = ------------------ .要使a n 为常数，即则必须 a i = --------------------------------------5 5现在考虑一个分式递推问题（*）.a n■ 4例3•已知数列｛a n ｝满足性质：对于n • N,a n 」-,且a 1= 3,求｛a n｝的通项公式'■ 2a - +3于n E N ，都有a n ^ =—q （其中p 、q 、r 、h 均为常数，且ph 式qr,r 式0,a 1式一』）,那么，可作特征方ra n+hr护 px +q 程x.rx h则 d n1"n1 —一’ ep-)「hra n+ hra n+ hd n (P -M) —[r&2 +^(h — p) —q]rd n+ h _r 丸丁九是特征方程的根，二九=— n r 丸2 +入（h — p ） — q = 0. r h+h 将该式代入①式得 d n 1 - d n （ P，- - N.②rd n + h — "ph 二qr,这与已知条件ph 尸qr 矛盾.故特征方程的根八代p ,于是r将这问题一般化，应用特征方程法求解，有下述结果.定理2.如果数列｛a n ｝满足下列条件：已知a 1的值且对（i ）当特征方程有两个相同的根 ■（称作特征根）时，若1若 a 1 二.■-.，则 a n" , n • N,其中 b nb n(n -1)n ^ N .特别地，当存在b n0 =0时，无穷数列｛a n｝不存在.■ 2C n 一（2）当特征方程有两个相异的根 ■ 1、 ■ 2 （称作特征根）时，则 a n = -------6 —1n ・N,其中a 〔 - ' 1 p 一 ’ 1「 n _1--( -)，-N,(其中 a 1= 2).证明：先证明定理的第（ 1）部分.作交换d n 二a n 「％, n • N(d n " ■-)( p -%r) q J hr(d n +G + h将x 二&代入特征方程可整理得rp _ ' r =0.③当d i =0即a^ ■时，由②、③两式可得 d n =0, n ・N.此时可对②式作如下变化:再证明定理的第(2)部分如下:p、 p 、 p由第(1)部分的证明过程知 x不是特征方程的根，故■ 1, '2.rrr_ a +q _'1h故p —q r =0, p -■u 2r =0.所以由⑤式可得：p —'点订nP 仝订 “⑥6十=— ■ --- ，n ^= NP —上2 r c 4 q ^-2 ha n ；p - '2「px + q2：特征方程x有两个相异根’1、 ’ 2一 方程rx • x(h - p) - q = 0有两个相异根’1、' 2，而方程rx hd n 1 d n (p-r)h - ,；.,r 1 r-------- ——+ --------- p -t r d n p -'』；r由■是方程x 二rx + hpX―q 的两个相同的根可以求得2r令b nd n•- b n h2r 将此式代入④式得d n 1 d n——r — ,n N. p 「％r2rN.则 bm=b 1(n -1)=b n,n 三N.故数列｛b n｝是以p - ：r为公差的等差数列.N.其中b 1d 1 a1 - ■ 当 n N ,b n= 0 时,N.当存在n° • N,使b n 0an 0 二d n 。
n o —'无意义.故此时，无穷数列b ｛a n ｝是不存在的.n 。
T 特征方程有两个相异的根'2，二其中必有一个特征根不等于a 1，不妨令■ 2 = a 1.于是可作变换a n,n N.故C n 1a n 1 " '1..—，将a n 卅an 1 一 ' 2pa n J 代入再整理得 ra n h C n 1 -a n (P - ’*) q - \h ,n E N a n (p - ‘2。
q - 2hq _ 2h = 一工—x二匸型与方程rx2—x(h - p) — q二0又是同解方程• 匚』二-二p -xr将上两式代入⑥式得^^=^^Cn, n ・ Np —扎2 r a n —入 2 p — Z-2 r当G , =0,即a 1 =「时，数列｛c n ｝是等比数列，公比为现在求解前述例3的分类递推问题(”).■ 1r-.此时对于n 三N 都有P - '当C i=0即a 1 = ■ 1时，上式也成立.由C nN.所以a n注:当 ph =qr 时ra n +h—q 会退化为常数 ；当r=0时，a n4 = -Pan q可化归为较易解的递推关系，在此不再赘 ra n +h根,、x + 4 解:依定理作特征方程x ,变形得2x +3使用定理2的第(2)部分，则有2x 2 • 2x - 4 = 0,其根为■ 1= 1, ■ 2二-2.故特征方程有两个相异的C na 1/ P - ‘1 r 、n 」 ( ) P - *3 -1 ,1 -1 2、n 』 ( )3 2 1-22,n N. 二 C n /(-丄)：n N.5 5例4. C n-1勻一丄厂-1——n e2(」)n — 1 ' 5 5N.即 a n2 (-5)nN.已知数列 ｛a n ｝满足：对于n • N,都有an -113a n -25 a n 3(0若a 1 = 5,求a n ; (2)若印=3,求a n ; (3)若a 1 = 6,求a n ; (4)当a 1取哪些值时，无穷数列｛a n ｝不存在?解：作特征方程X 二13x一25.变形得X 2 - 10x • 25 = 0,x +3特征方程有两个相同的特征根 & =5.依定理2的第(1)部分解答.(1)丁a 1=5r a<)=对于 n • N,都有 a n二’=5; (2)va 1=3,. a^i = ； .「• b n=—1(n -1)——a r _人p _ r 九1 1 (n -1)1- 3 -513-1 5令b n =0，得n =5.故数列｛a.｝从第5项开始都不存在，当n < 4, N时，a. ■ =2^1!b n n — 5(3)v a1二6, ■二5,二a1■- /..1r n —1 r-bn=(n -1)-=1 , n N .令b n= 0,则n = -7 ' n.二对于n N, b n= 0a1一扎P-■ r8115n 43 “■- -+ 几=5,n N.b n n -1n 718(4)显然当a^ -3时，数列从第2项开始便不存在.由本题的第(1)小题的解答过程知，a^ 5时，数列｛a n｝是1 r 1 n -1存在的，当印--■ = 5时，则有b n(n -1) , n • N.令b n= 0,则得a1 —丸p —r a1 — 5 85n-13 口a1 , n N 且n > 2.n -1t 5n —13二当a1(其中N且N >2)时，数列｛a n｝从第n项开始便不存在.n -1于是知：当a1在集合｛-3或5n ~13： n・N,且n >2｝上取值时，无穷数列｛a n｝都不存在.n —1。