ψ = ∑Cnϕn + ∫ Cλϕλ dλ
n
(36)
2
< A >= ∑ f n Cn + ∫ fλ Cλ d λ
2 n
(37)
∑C
n
2 n
+ ∫ Cλ d λ = 1
2
(38)
而封闭性关系此时可表为
* * ϕn (r )ϕn (r ' ) + ∫ ϕλ (r ' )ϕλ (r )d λ = δ (r − r ' ) ∑ n
*
(27) (28)
对完备系 {ϕn (r )} 有
ψ (r ) = ∑Cnϕn = ∑< ϕn ,ψ > ϕn
n n
* = ∑[∫ϕn (r ' )ψ (r ' )dr ' ]ϕn (r ) n ' * = ∫ dr ψ (r ' )[∑ϕn (r ' )ϕn (r )] n ' = ∫ dr ψ (r ' )δ (r − r ' )
λ 2 即 lˆ 2 的本征值, 需由本征方程确定, 其中
(17)
代入 Y (θ,ϕ) = Θ(θ )ψ (ϕ) , 方程左右乘 可得
2
sin 2 θ (− ), Θψ
sinθ d dΘ 1 dψ 2 2 ≡ µ (18) (sinθ ) + λ sin θ = − 2 dθ Θ dθ ψ dϕ
其中左边仅与 θ 有关,右方仅与 ϕ有关, 故 2 恒等于一常数 µ ,从而可分离成两个方程:
就可得出
1 ˆ ˆ ( ∆ A) ⋅ ( ∆ B ) ≥ [ A, B ] 2
2 2
(9)
(10)
或者简记为
1 ˆ ˆ ∆ A ⋅ ∆ B ≥ [ A, B ] 2
(11)
此即任意两个力学量A和B在任意量子态下 的涨落必须满足关系式,即不确定度关系.将 这个结果应用于坐标和动量,利 用 [ x, p x ] = i ，则有
,则
2
2
I (ξ ) = ξ A − ξ C + B
2
2
= A (ξ − C
2
) + (B − C )≥0 2 2 2A 4A
2
2
(4)
注意 C , A 均为实数, 不妨令 ξ
2 2
2
= C 2A
2
, 则得
B −C 4A
即
2 2
2
≥0
(5)
1 2 A ⋅B ≥ C 4
(6)
或表示成
A ⋅B
2 2
(29)
故有
* ϕn (r )ϕn (r ' ) = δ (r − r ' ) ∑ n
(30)
这一结果称本征函数系的封闭性关系。
ˆ 利用厄米算符 A 的正交归一完备系，容易给出 在任一态函数 ψ = ∑ Cnϕn 下，力学量A的平均值可 n 表示为 * ˆψ < A >=< ψ , A >= ∫ψ * A dr = ∫ ∑Cmϕm A ψ
利用正交性公式
2 (l + m)! ∫−1 Pl (ξ ) P (ξ )dξ = 2l + 1 ⋅ (l − m)! δ ll′
+1 m m l′
(28)
可以定义一个归一化的 θ 部分的波函数（实）
Θ lm (θ ) = ( − )
m
2 l + 1 (l − m ) ! m i Pl (co s θ ) 2 (l + m ) !
3.厄米算符所有的本征函数组成的函数系构成完备 系统
ˆ 若厄米算符 A 的正交归一本征函数系为
{ϕn(r)} ≡{ϕ1(r),.....,ϕn(r).....}
ψ ( r ) = ∑ C nϕ n ( r )
n
(23)
则任何满足同样边界条件且在同样区间定义 的波函数 ψ (r ) 都可由 {ϕ n } 展开为 (24) 且展开式唯一，其中 Cn 与 r 无关，称本征函 数系 {ϕn (r)} 构成完备函数系，或本征函数系具 有完备性。展开系数 C n 可由下述方法求出
n
而归一化条件可表示为
< ψ ,ψ >= 1 = ∑ C ϕ* m m* m∑C ϕn n
n
= ∑∑C C δ = ∑ Cn
* m n mn m n n
2
(34)
<ψ ,ψ >= 1 = ∫ Cλ dλ
2
(35)
ˆ 若 A 的本征函数既有分立谱又有连续谱时， 完备系为{ϕn , ϕλ } ，则有
此即连带Legendre方程。在 ξ ≤ 1区域中， ξ 方程有两个正则奇点， = ±1 ，其余均为常 点。可以证明仅当
λ = l (l + 1), l = 0,1, 2, ⋅⋅⋅
(26)
时，方程有一个多项式解（另一解为无穷 级数），即连带Legendre多项式
Pl (ξ ),
m
m ≤l
(27)
它在 ξ ≤ 1 区域中是有界的，是物理上可以 接受的解。
4.4共同本征函数
1.不确定度关系的严格证明：
当体系处于力学量A的本征态时,若对它测量A, 则可得到一个确定的值,即相应的本征值,而不会出 现涨落。若在A的这个本征态下测量另一个力学 量B,是否也能得到一个确定的值?不一定。例如, 前面有关章节中, 我们曾分析过, 考虑到波动粒子 两重性, 粒子子的位置和动量不能同时完全确定, 而它们的不确定度 ∆x 与 ∆ p x 必须满足
∆x ⋅ ∆px ≥
注意：均方偏差的定义：
(∆F) = (∆F) = (F − F) = F − 2FF + F = F − F
2 2 2 2 2 2 2
2
(12)
由不确定度关系可以看出,若两个力学量 A和B不对易,一般说来 ∆ A 和 ∆ B 不能同时为 零,即A和B不能同时有确定值,或者说它们不 ˆ ˆ 能有共同本征态。反之, 若两个厄米算符 A和B 对易，则可以找到这样的态, 使得 ∆ A = 0与 ∆ B = 0 同时满足,即可以找出它们的共同 本征态.
因此，量子力学中的力学量以线性厄米 算符来表示，力学量取确定值的态就是力学量 算符的本征态，力学量的数值就是算符的本征 值，力学量算符的本征函数构成正交归一完备 系。
在任意状态 ψ 下，力学量一般不取确定的 值，而是一系列可能值，用力学量本征函数 ψ 展开，其展开系数的模方 Cn 2 则 完备系将 给出力学量在该状态下取 f n 数值的几率，即 力学量测量的数值必是其算符的本征值之一， 而测得该值的几率振幅为 Cn 。这就是量子力 学中有关力学量算符表示的基本原理，由理 论与实验结果的一致性而得以证实。
不确定性原理,是微观粒子运动的基本规 律,是微观粒子波粒二象性和波函数统计解 释导致的必然结果。从这个关系我们可以 看出,它根本不涉及测量,只要有波函数的统 计解释和力学量的平均值公式,就可以导出 不确定原理。过去常有一种误解，似乎粒 子本身具有确定的坐标和动量，只不过我 们不能同时测量它们罢了。实际情况是， 由于波粒二象性和波函数的统计解释，粒 子在客观上不能同时具有确定的坐标和动 量，当然也不可能同时准确地测量它们。
事实上，ˆ 2 的本征函数 Y (θ , ϕ ) 可分离变量,令 l
Y (θ ,ϕ) = Θ(θ )ψ (ϕ)
代入本征方程
(15)
ˆ2Y (θ ,ϕ) = λ 2Y (θ ,ϕ) l
2 ∂ ∂Y ∂2Y 2 (sin θ ) − 2 − =λ Y 2 sin θ ∂θ ∂θ sin θ ∂ϕ 2
(16)
π
= δll′δmm′
L 和L z 的本征值都是量子化的.l 称为轨道 角动量量子数，m称为磁量子数。对于给 2 定的l, L 的本征函数是不确定的，它有 (2l+1)个简并态，分别对应于(2l+1)个不同 的磁量子数m。Ylm 就是用 L z 的本征值m 来对这些简并态进行分类的。
2
3.求共同本征函数的一般原则
m = l , l − 1, ..., − l + 1, − l
(29) (30)
满足
∫
π
0
Θlm (θ )Θl ′m (θ ) sin θ dθ = δ ll ′
于是，L2 , Lz ) 的共同的正交归一的本征态 ( 可以表示为
Ylm (θ , ϕ ) = (−1)
m
2l + 1 (l − m)! m imϕ i Pl (cos θ )e (31) 4π (l + m)!
∆x∆px ≥
下面普遍地分析此问题。
(1)
设有两个任意的力学量A和B。考虑下 列积分不等式
ˆ ˆ I (ξ ) = ∫ ξ Aψ + iBψ dτ ≥ 0
2
(2)
式中ψ 为体系的任意一个波函数, ξ 为任 ˆ ˆ A 与 B 均为厄米算符. 意实参数,
上述不等式可化为
I ( ξ ) = ( ξ Aψ + i Bψ , ξ Aψ + i Bψ )
2. (l , l z ) 的共同本征态,球谐函数
2
在球坐标下, lˆ 2 可表示成
1 ∂ ∂ 1 ∂2 ˆ2 = − 2 [ l sin θ + 2 ] 2 sin θ ∂θ ∂θ sin θ ∂ϕ 2 ∂ ∂ 1 ˆ2 lz =− + sin θ 2 (13) ∂θ sin θ sin θ ∂θ 2 由于[l , l z ] = 0 ,故 lˆ 2 的本征函数可以同时 也取为 l z 的本征态, 即 1 imϕ ψ m (ϕ ) = e , ( m = 0, ± 1, ± 2, ⋅ ⋅ ⋅) 2π (14) l zψ m (ϕ ) = m ψ m (ϕ )