2013年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）
数 学（理）
第I 卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．复数的1
1
Z i =
-模为
A.
12 B.2
2 2．已知集合A={x|0<log4x<1}，B={x|x ≤2}，则A ∩B=
A ．()01，
B ．(]02，
C ．()1,2
D ．(]12， 3．已知点()()1,3,4,1,A B AB -
则与向量同方向的单位向量为
A.3455⎛⎫ ⎪⎝⎭，-
B.4355⎛⎫ ⎪⎝⎭，-
C.3455⎛⎫- ⎪⎝⎭，
D.4355⎛⎫- ⎪⎝⎭
， 4．下面是关于公差0d >的等差数列()n a 的四个命题：
{}1:n p a 数列是递增数列；
{}2:n p na 数列是递增数列； 3:n a p n ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
数列是递增数列；
{}4:3n p a nd +数列是递增数列； 其中的真命题为
A.12,p p
B.34,p p
C.23,p p
D.14,p p
5．某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组一次为[)[)20,40,40,60，
[)[)60,80,820,100.若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是
A.45
B.50
C.55
D.60
6．在ABC ∆，内角,,A B C 所对的边长分别为,,.a b c 1
sin cos sin cos ,2
a B C c B A
b +=
且a b >，则B ∠=
A ．
6π B ．3
π C ．23π D ．56π
7．使得()3n
x n N n
+⎛
∈ ⎝
的展开式中含有常数项的最小的为
A ．4
B ．5
C ．6
D ．7
8．执行如图所示的程序框图，若输入10,n S ==则输出的 A ．
511 B ．1011 C ．3655 D ．7255
9．已知点()()(
)
3
0,0,0,,,.ABC ,O A b B a a ∆若为直角三角形则必有
A ．3
b a = B ．3
1b a a
=+
C ．(
)3
3
10b a b a a ⎛⎫---
= ⎪⎝
⎭ D ．33
10b a b a a
-+--= 10．已知三棱柱111ABC A B C -的6个顶点都在球O 的球面上，若34AB AC ==，，AB AC ⊥，
112AA =，则球O 的半径为
A B ． C ．132 D ．11．已知函数()()()()222222,228.f x x a x a g x x a x a =-++=-+--+设
()()(){}()()(){}{}()12max ,,min ,,max ,H x f x g x H x f x g x p q ==表示,p q 中的较大值，{}min ,p q 表示,p q 中的较小值，记()1H x 得最小值为,A ()2H x 得最小值为B ,则A B -=
A.2
216a a -- B.2
216a a +- C.16- D.16
12．设函数()()()()()2
2
2,2,0,8
x e e f x x f x xf x f x f x x '+==>满足则时， A.有极大值，无极小值 B.有极小值，无极大值 C.既有极大值又有极小值 D.既无极大值也无极小值 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.
13.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 .
14．已知等比数列{}n a 是递增数列，n S 是{}n a 的前n 项和，若13a a ，是方程2
540x x -+=的两个
根，则6S = .
15．已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的左焦点为,F C 与过原点的直线相交于,A B 两点，连接
,AF BF ，若4
10,6,cos ABF 5
AB AF ==∠=
，则C 的离心率e = . 16．为了考察某校各班参加课外书法小组的人数，在全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组
的认为作为样本数据.已知样本平均数为7，样本方差为4，且样本数据互相不相同，则样本数据中的最大值为 .
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）设向量)
()3,sin ,cos ,sinx ,0,.2a x x b x x π⎡⎤
=
=∈⎢⎥⎣⎦
（I ）若.a b x =求的值； （II ）设函数()(),.f x a b f x = 求的最大值
18．（本小题满分12分）如图，AB 是圆的直径，PA 垂直圆所在的平面，C 是圆上的点。
（I ）求证：PAC PBC ⊥平面平面； （II ）2.AB AC PA C PB A ===--若，1，1，求证：二面角的余弦值
19．（本小题满分12分）现有10道题，其中6道甲类题，4道乙类题，张同学从中任取3道题解答。
（I ）求张同学至少取到1道乙类题的概率；
（II ）已知所取的3道题中有2道甲类题，1道乙类题.设张同学答对甲类题的概率都是3
5
，答对每道乙类题的概率都是4
5
，且各题答对与否相互独立.用X 表示张同学答对题的个数，求X 的分布列和数学期望.
20．（本小题满分12分）如图，抛物线()2
2
12:4,:20C x y C x py p ==->，点()00,M x y 在抛物线
2C 上，过M 作1C 的切线，切点为,A B （M 为原点O 时，,A B 重合于O ）01x =，切
线.MA 的斜率为12
-。
（I ）求p 的值；
（II ）当M 在2C 上运动时，求线段AB 中点N 的轨迹方程。
()
,,.A B O O 重合于时中点为 21．（本小题满分12分）已知函数()()()[]3
21,12cos .0,12
e x
x f x x g x ax x x x -=+=+++∈当时，
（I ）求证：()1
1-;1x f x x
≤≤
+ （II ）若()()f x g x ≥恒成立，求实数a 取值范围。
请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做， 则按所做的第一题计分。
作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题 目对应题号下方的方框涂黑。
22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图，.AB O CD O E AD CD D 为直径，直线与相切于垂直于于，
BC 垂直于CD 于C EF ，，垂直于F ，连接,AE BE 。
证明：
（I ）;FEB CEB ∠=∠ （II ）2
.EF AD BC = 23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xoy 中以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立 坐标系.圆1C ，直线2C
的极坐标方程分别为4sin ,cos 4πρθρθ⎛⎫
==-
= ⎪⎝
⎭
. （I ）求1C 与2C 交点的极坐标；
（II ）设P 为1C 的圆心，Q 为1C 与2C 交点连线的中点。
已知直线PQ 的参数方程为
()3312
x t a t R b y t ⎧=+⎪∈⎨=+⎪⎩为参数，求,a b 的值。
24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数()f x x a =-，其中1a >。
（I ）当=2a 时，求不等式()44f x x ≥=-的解集；
（II ）已知关于x 的不等式()(){}
222f x a f x +-≤的解集为{}|12x x ≤≤，求a 的值。
参考答案
一选择题：
1. B
2. D
3. A
4. D
5. B
6. A
7. B
8. A
9. C 10.C 11.B 12.D
二、填空题：
13.1616π- 14. 63 15. 5
7
16. 10 三、解答题： 17．
18．
19．
20．
21．
22．
23．
24．。