探究勾股数两例
满足a 2+b 2=c 2的三个正整数，称为勾股数．对于给定的三个正整数，若能验证其中最大数的平方等于其他两数的平方和，这组数就一定是勾股数，否则不是．可以验证若a 、b 、c 是一组勾股数，则ka 、kb 、kc （k 为正整数）也是勾股数． 以下几个都可构成勾股数：
1．设n 为正整数，且n >1，a =2n ，b =n 2-1，c =n 2+1; 2．设n 为正整数，a =2n +1，b =2n 2+2n ，c =2n 2+2n +1;
3．设m 、n 为正整数，且m >n ，则a =m 2-n 2，b =2mn ，c =m 2+n 2;
例1 据我国古代《周髀算经》记载，公元前1120年商高对周公说，将一根直尺折成一个直角，两端连结得一个直角三角形，如果勾是三，股是四，那么弦就等于五．后人概括为:“勾三、股四、弦五”．
（1）观察：3、4、5；5、12、13；7、24、25；…发现这些勾股数的“勾”都是奇数，且从3起就没有间断过，计算
21(9-1)，21(9+1)与21(25-1)，2
1
(25+1)，并根据你发现的规律，分别写出能(用勾)表示7、24、25的股和弦的算式；
(2)根据(1)的规律，用n (n 为奇数且n ≥3)的代数式来表示所有这些勾股数的勾、股、弦．猜想它们之间的两种相等关系，并对其中一种猜想加以说明；
（3）继续观察4、3、5；6、8、10；8、15、17；…．可以发现各组的第一个数都是偶数，且从4起也没有间断过，运用类似上述探索的方法，直接用m （m 为偶数且m >4）的代数式来表示它们的股和弦．
分析：本题是一个勾股数的探索问题，考查观察、分析、类比、猜想和论证等能力．第（2）、（3）两小题都具有开放性，能较好地考查大家的创新意识和能力． 解:(1)因为
21(9-1)=21(32-1)=4， 21(9+1)=21(32+1)=5，21(25-1)=2
1
(52-1)=12， 21(25+1)=2
1
(52+1)=13， 对于3、4、5和5、12、13两组勾股数来说，可以表示为：
股=
21(勾2-1)，弦=2
1
(勾2+1)． 所以7、24、25的股24的算式为21(49-1)=21
(72-1)，
7、24、25的弦25的算式为21(49+1)=2
1
(72+1);
(2)当n 为奇数且n ≥3时，勾、股、弦的代数式分别为n ，21(n 2-1），2
1(n 2+1）． 猜想关系式一：弦-股=1；关系式二：勾2+股2=弦2．
说明关系式一：弦-股=
21(n 2+1）-21(n 2-1）=21[（n 2+1）-（n 2-1）]= 2
1
×2=1； 说明关系式二：勾2+股2=n 2+[21(n 2-1)]2=2224)1(4
1
412141+=++n n n =弦2．
(3)探索得：当m 为偶数且m >4时，股、弦的代数式分别为1)2
(,1)2(22+-m
m ．
例2 阅读材料并解答问题：
我国是最早了解和应用勾股定理的国家之一，古代印度、希腊、阿拉伯等许多国家也都很重视对勾股定理的研究和应用，古希腊数学家毕达哥拉斯首先证明了勾股定理，在西方勾股定理又称为“毕达哥拉斯定理”．
关于勾股定理的研究还有一个很重要的内容是勾股数组，在课本中我们了解到：“能够成为直角三角形三边的三个正整数称为勾股数”．以下是毕达哥拉斯等学派研究出的确定勾股数组的两种方法：
方法1：若m 为奇数(m ≥3)，则a =m ，b =
21(m 2-1)和c =2
1
(m 2+1)是勾股数． 方法2:若任意取两个正整数m 和n (m >n )，则a =m 2-n 2，b =2mn ，c =m 2+n 2是勾股数．
(1)在以上两种方法中任选一种，证明以a 、b 、c 为边长的△ACB 是直角三角形． （2）请你根据方法1和方法2按规律填写表格：
表2
（3）某园林管理处要在一块绿地上植树，使之构成如右图所示的图案竟观．该图案由四个
全等的直角三角形组成，要求每个三角形顶点处都植一棵树，各边上相邻两棵树之间的距离均为1米，如果每个三角形最短边上都植6棵树，那么这个四个直角三角形的边上共植树多少棵？
分析：本题是一道集阅读、证明、探究规律、解决实际问题于一体的综合性试题，通过阅读可使考生进一步认识勾股定理的重要性，了解勾股数的意义，感受毕达哥拉斯等学派的巨大的贡献．本题共三问，其中第（1）问是证明题，可利用代数计算解决;第(2)是探索规律问题，可在第(1)问的基础上解决;第(3)是实际应用问题，也是根据第(2)问解决． 解: (1)方法1:
因为a 2+b 2=m 2+[
21(m 2-1)]2=m 2+4
1(m 4-2m 2
+1) = 41m 4+21m 2+41=41
(m 4+2m 2+1) =41(m 2+1)2=[2
1
(m 2+1)]2 =c 2，
所以以a 、b 、c 为边长的△ACB 是直角三角形． 方法2:(请你试一试，相信你一定能成功!
(2)由第(1)可得到表1中第三竖列的勾、股、弦分别为：7、24、25；第四竖列的勾、股、弦分别为9、40、41． 观察表2的变化规律可得:
第九竖列应填5，2，21，20，29； 第十竖列应填5，1，24，10，26．
（3）根据每个直角三角形的最短边上植6棵树，每个树的距离为1米，可知最短边的长为5米，又直角三角形的每个边均为整数，根据第(2)问可知，直角三角形三边的长分别是5，12，13，这样一个直角三角形三边共植30棵树，所以四个三角形共植120棵树．。