概率论与数理统计习题 第三章 多维随机变量及其分布习题3-1 盒子里装有3只黑球、2只红球、2只白球，在其中任取4只球.以X 表示取到黑球的只数，以Y 表示取到红球的只数，求X 和Y 的联合分布律.（X ，Y ）的可能取值为(i , j )，i =0，1，2，3， j =0，12，i + j ≥2，联合分布律为 P {X=0, Y=2 }=351472222=C C C P {X=1, Y=1 }=35647221213=C C C C P {X=1, Y=2 }=35647122213=C C C C P {X=2, Y=0 }=353472223=C C C P {X=2, Y=1 }=351247121223=C C C C P {X=2, Y=2 }=353472223=C C C P {X=3, Y=0 }=352471233=C C C P {X=3, Y=1 }=352471233=C C C P {X=3, Y=2 }=0习题3-2 设随机变量),(Y X 的概率密度为⎩⎨⎧<<<<--=其它,0,42,20),6(),(y x y x k y x f（1） 确定常数k ； （2） 求{}3,1<<Y X P （3） 求{}5.1<X P ； （4） 求{}4≤+Y X P . 分析：利用P {(X , Y)∈G}=⎰⎰⎰⎰⋂=oD G Gdy dx y x f dy dx y x f ),(),(再化为累次积分，其中⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧<<<<=42,20),(y x y x D o解：（1）∵⎰⎰⎰⎰+∞∞-+∞∞---==2012)6(),(1dydx y x k dy dx y x f ，∴81=k （2）83)6(81)3,1(321⎰⎰=--=<<dy y x dxY X P （3）3227)6(81),5.1()5.1(425.10=--=∞<≤=≤⎰⎰dy y x dx Y X P X P （4）32)6(81)4(4020=--=≤+⎰⎰-dy y x dxY X P x习题3-3 将一枚硬币掷3次，以X 表示前2次出现H 的次数，以Y 表示3次中出现H 的次数，求Y X ,的联合分布律以及),(Y X 的边缘分布律。

习题3-4 设二维随机变量),(Y X 的概率密度为⎩⎨⎧≤≤=其它,0,1,),(22y x y cx y x f（1）试确定常数c ；（2）求边缘概率密度. 解: （1）l=⎰⎰⎰⎰⎰∞+∞-+-∞+∞-=⇒===42121432),(1025210c c dy y cydx cx dy dxdy y x f y y（2）⎪⎩⎪⎨⎧--==⎰,0),1(821421)(~42122x x ydy x x f X x X ⎪⎩⎪⎨⎧≤≤==⎰+-其它01027421)(~252y y ydx d y f Y y y Y习题3-5 在第7题中，（1）求条件概率密度)|(|y x f Y X ，特别，写出当21=Y 时X 的条件概率密度；（2）求条件概率密度)|(|x y f X Y ，特别，分别写出当21,31==X X 时Y 的条件概率密度；（3）求条件概率⎭⎬⎫⎩⎨⎧=≥21|41X Y P ，⎭⎬⎫⎩⎨⎧=≥21|43X Y P (注：上面提到的7题应为下面补充的9题）习题3-6 设随机变量),(Y X 的概率密度为⎩⎨⎧<<<=其它,0,10,||,1),(x x y y x f求条件概率密度)|(),|(||x y f y x f X Y Y X .习题3-7 设X 和Y 是两个相互独立的随机变量，X 在)1,0(上服从均匀分布，Y 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-.0,0,0,21)(2y y e y f yY（1）求X 和Y 的联合概率密度；（2）设含有a 的二次方程022=++Y Xa a ，试求a 有实根的概率。

解：（1）X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧∈=其它,0)1,0(,1)(x x f XY 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-.0,00,21)(y y e y f yY 且知X , Y 相互独立，于是（X ，Y ）的联合密度为⎪⎩⎪⎨⎧><<==-其它0,1021)()(),(2y x ey f x f y x f yY X（2）由于a 有实跟根，从而判别式0442≥-=∆Y X即：2X Y ≤ 记}0,10|),{(2x y x y x D <<<<= dx e de dx dy e dx dxdy y x f X Y P x x yy Dx ⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰----=-===≤1010202212222121),()(1445.08555.013413.05066312.21)5.08413.0(21))2()1((212121022=-=⨯-=--=Φ-Φ-=⋅-=⎰-ππππdx ex习题3-8 设X 和Y 是相互独立的随机变量，其概率密度分别为⎩⎨⎧≤>=-0,0,0,)(x x e x f x X λλ ⎩⎨⎧≤>=-0,0,0,)(y y e y f x Y μμ其中0,0>>μλ是常数，引入随机变量⎩⎨⎧>≤=YX Y X Z 当当,0,,1（1）求条件概率密度)|(|y x f Y X ；（2）求Z 的分布律和分布函数.习题3-9 设X 和Y 是两个相互独立的随机变量，其概率密度分别为：⎩⎨⎧≤≤=其它,0,10,1)(x x f X⎩⎨⎧>=-其它,0,0,)(y e y f y Y 求随机变量Y X Z +=的概率密度。

习题3-10 设Y X ,是相互独立的随机变量，它们都服从正态分布),0(2σN . 试验证随机变量22Y X Z +=具有概率密度⎪⎩⎪⎨⎧<≥=-.0,0,0,)(222z z e z z f z Z σσ我们称Z 服从参数为)0(>σσ的瑞利)(Rayleigh分布.习题3-11 设随机变量),(Y X 的概率密度为⎩⎨⎧+∞<<<<=+-其它,0,0,10,),()(y x be y x f y x（1）确定常数b ；（2）求边缘概率密度)(),(y f x f Y X ；（3）求函数),max (Y X U =的分布函数。

习题3-12 设Y X ,是相互独立的随机变量，).(~),(~21λπλπY X 证明).(~21λλπ++=Y X Z解： )(~,)(!)!(!!!)!(!}{}{}{}{!}{,!}{2121)(0)(21)(0)(2102121212121λλλλλλλλλλλλλλλλλλ+∴+=-=-⋅=-=⋅===+======+-=-+-=---=--∑∑∑P Z z e i z i z z e i z e i ei z Y P i X P z Y X P z Z P k ek Y P k ek X P z z i i z i zi i z i zi k k习题3-13 设随机变量),(Y X 的分布律为（1）求{}{}0|3,2|2====X Y P Y X P ；（2）求{}Y X V ,max =的分布律；（3）求{}Y X U ,min =的分布律；（4）求Y X W +=的分布律.解：（1）由条件概率公式P {X=2|Y=2}=}2{}2,2{===Y P Y X P=08.005.005.005.003.001.005.0+++++=2.025.005.0=同理 P {Y=3|X=0}=31（2）变量V=max {X , Y }显然V 是一随机变量，其取值为 V ：0 1 2 3 4 5P {V=0}=P {X=0 Y=0}=0P {V=1}=P {X=1，Y=0}+ P {X=1，Y=1}+ P {X=0，Y=1}=0.01+0.02+0.01=0.04P {V=2}=P {X=2，Y=0}+ P {X=2，Y=1}+ P {X=2，Y=2}+P {Y=2, X=0}+ P {Y=2, X=1}=0.03+0.04+0.05+0.01+0.03=0.16P {V=3}=P {X=3，Y=0}+ P {X=3，Y=1}+ P {X=3，Y=2}+ P {X=3，Y=3} +P {Y=3, X=0}+ P {Y=3, X=1}+ P {Y=3, X=2}=0.05+0.05+0.05+0.06+0.01+0.02+0.04=0.28P {V=4}=P {X=4，Y=0}+ P {X=4，Y=1}+ P {X=4，Y=2}+ P {X=4，Y=3} =0.07+0.06+0.05+0.06=0.24P {V=5}=P {X=5，Y=0}+ …… + P {X=5，Y=3}=0.09+0.08+0.06+0.05=0.28（3）显然U 的取值为0，1，2，3P {U=0}=P {X=0，Y=0}+……+ P {X=0，Y=3}+ P {Y=0，X=1}+ ……+ P {Y=0，X=5}=0.28同理P {U=1}=0.30 P {U=2}=0.25 P {U=3}=0.17或缩写成表格形式（2）V0 1 2 3 4 5P k0 0.04 0.16 0.28 0.24 0.28（3）U0 1 2 3P k0.28 0.30 0.25 0.17（4）W=V+U显然W的取值为0，1， (8)P{W=0}=P{V=0 U=0}=0P{W=1}=P{V=0, U=1}+P{V=1U=0}∵V=max{X，Y}=0又U=min{X，Y}=1不可能上式中的P{V=0，U=1}=0，又P{V=1 U=0}=P{X=1 Y=0}+P{X=0 Y=1}=0.2故P{W=1}=P{V=0, U=1}+P{V=1，U=0}=0.2P{W=2}=P{V+U=2}= P{V=2, U=0}+ P{V=1，U=1}= P{X=2 Y=0}+ P{X=0 Y=2}+P{X=1 Y=1}=0.03+0.01+0.02=0.06P{W=3}=P{V+U=3}= P{V=3, U=0}+ P{V=2，U=1}= P{X=3 Y=0}+ P{X=0，Y=3}+P{X=2，Y=1}+ P{X=1，Y=2} =0.05+0.01+0.04+0.03=0.13P{W=4}= P{V=4, U=0}+ P{V=3，U=1}+P{V=2，U=2}=P{X=4 Y=0}+ P{X=3，Y=1}+P{X=1，Y=3}+ P{X=2，Y=2} =0.19P{W=5}= P{V+U=5}=P{V=5, U=0}+ P{V=5，U=1}+P{V=3，U=2} =P{X=5 Y=0}+ P{X=5，Y=1}+P{X=3，Y=2}+ P{X=2，Y=3} =0.24P{W=6}= P{V+U=6}=P{V=5, U=1}+ P{V=4，U=2}+P{V=3，U=3} =P{X=5，Y=1}+ P{X=4，Y=2}+P{X=3，Y=3} =0.19P{W=7}= P{V+U=7}=P{V=5, U=2}+ P{V=4，U=3}=P{V=5，U=2} +P{X=4，Y=3}=0.6+0.6=0.12P{W=8}= P{V+U=8}=P{V=5, U=3}+ P{X=5，Y=3}=0.05或列表为W 0 1 2 3 4 5 6 7 8 P0 0.02 0.06 0.13 0.19 0.24 0.19 0.12 0.05。