（1）求 ；
（2）证明：当 时，曲线 与直线 只有一个交点．
15．已知函数 ，其中 ，且曲线 在点 处的切线垂直于 .
（1）求 的值；
（2）求函数 的单调区间与极值.
16．设函数 .
（1）当 时，求函数 在区间 内的最大值；
（2）当 时，方程 有唯一实数解，求正数 的值.
参考答案
1．
【解析】
试题分析：当 时, 在 上为减函数,成立;
利用导数求出函数 的极值点 ，并确定函数 的单调性，得到 ，消去 并化简得到 ，通过构造函数 并利用导数研究函数 的单调性并结合 ，得到 ，从而求出 的值.
（1） ， ，
令 得 . 因为 时， ， 时， ，
所以 在 递增，在 递减；
①当 时，即 时， 在 上递减，
所以 时 取最大值 ；
②当 时，即 时， 在 递增，在 递减，
【解析】
试题分析：函数的定义域为 ，所以 即 ， ，令 ，得 或 （不在定义域内舍），由于函数在区间（k-1，k+1）内不是单调函数，所以 即 ，解得 ，综上得 ，答案选B.
考点：函数的单调性与导数
6．D．
【解析】
试题分析：根据图象可知，函数 先单调递减，后单调递增，后为常数，因此 对应的变化规律为先负，后正，后为零，故选D．
导数单调性练习题
1．函数f(x)＝ax3－x在R上为减函数，则( )
A．a≤0B．a＜1C．a＜0D．a≤1
2．函数 ，则（ ）
（A）在 上递增； （B）在 上递减；
（C）在 上递增； （D）在 上递减
3．设函数 的图像如左图，则导函数 的图像可能是下图中的（）
4．若函数 在区间 单调递增，则 的取值范围是（ ）
当 时, 的导函数为 ,根据题意可知, 在 上恒成立,所以 且 ,可得 .
综上可知 .
考点：导数法判断函数的单调性;二次函数恒成立.
2．D
【解析】
试题分析：因为函数 ，所以 lnx+1, >0,解得x> ,则函数的单调递增区间为 ，又 <0,解得0<x< ,则函数的单调递减区间为(0, ).故选D.
所以 时， 取最大值 ；
③当 即 时， 在 递增，
所以 时 取最大值 ；
（2）因为方程 有唯一实数解，即 有唯一实数解，
设 ，则 ，
令 ， ，因为 ， ，
所以 （舍去）， ，
当 时， ， 在 上单调递减，
当 时， ， 在 上单调递增，
所以 最小值为 ，
则 ，即 ，
所以 ，即 ，
设 ，
， 恒成立，故 在 单调递增，
至多有一解，
又 ，所以 ，即 ，解得 .
考点：1.分类讨论；2.函数的最值；3.函数的零点
12．设函数 是定义在 上的可导函数，其导函数为 ，且有 ，则不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
13．（本小题满分12分）已知函数 R ，曲线 在点 处的切线方程为 ．
（Ⅰ）求 的解析式；
（Ⅱ）当 时， 恒成立，求实数 的取值范围；
14．已知函数 ，曲线 在点 处的切线与 轴交点的横坐标为 ．
（1） ， ．曲线 在点 处的切线方程为 ．由题设得， ，所以 ．
（2）由（1）得， ．设 ．由题设得 ．当 时， ， 单调递增， ， ，所以 在 有唯一实根．当 时，令 ，则 ． ， 在 单调递减；在 单调递增．所以 ．所以 在 没有实根，综上， 在 上有唯一实根，即曲线 与直线 只有一个交点．
考点：1、导数的几何意义；2、利用导数判断函数单调性；3、利用导数求函数的最值．
A． B． C． D．
9．已知 是R上的单调增函数，则 的取值范围是(）
A． B． C． D．
10．设 ， 分别是定义在 上的奇函数和偶函数，当 时， ，且 ，则不等式 的解集是( )
A． B．
C． D．
11．设 是定义在 上的奇函数，且 ,当 时，有 恒成立，则不等式 的解集为 （ ）
A． B． C． D．
考点：导数与函数的单调性.
3．D
【解析】
试题分析：由 图象知，函数先增，再减，再增，对应的导数值，应该是先大于零，再小于零，最后大于0.故选D.
考点：导数与函数的单调性.
4．D
【解析】
试题分析： ，由已知得 在 恒成立，故 ，因为 ，所以 ，故 的取值范围是 ．
【考点】利用导数判断函数的单调性．
5．B
考点：导数与极值
9．B
【解析】
试题分析：先求出函数为递增时b的范围，∵已知 ∴y′=x2+2bx+b+2，∵f（x）是R上的单调增函数，∴x2+2bx+b+2≥0恒成立，∴△≤0，即b2b2≤0，则b的取值是1≤b≤2，故选B.
考点：函数的单调性与导数的进而可得到 在 时单调递增，结合函数 ， 分别是定义在 上的奇函数和偶函数可确定 在 时也是增函数．于是构造函数 知 在 上为奇函数且为单调递增的，又因为 ，所以 ，所以 的解集为 ，故选D．
在 是减函数，所以由 得， ，即 ，故选
考点：1求导；2用导数研究函数的单调性。
13．（Ⅰ） ；（Ⅱ） ．
【解析】
试题分析：（Ⅰ）求导数得 ，由导数几何意义得曲线 在点 处的切线斜率为 ，且 ，联立求 ，从而确定 的解析式；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，不等式等价于 ，参变分离为 ，利用导数求右侧函数的最小值即可．
考点：利用导数研究函数的单调性．
11．D．
【解析】
试题分析：令 ，∴ ，即 在 上单调递减，
∴当 时， ，再由奇函数的性质可知当 时， ，
∴不等式 的解集为 ．
考点：1．奇函数的性质；2．利用导数判断函数的单调性．
12．C
【解析】
试题分析：由 ， 得： ，即 ，令 ，则当 时， ，即 在 是减函数， ， ， ，
试题解析：（Ⅰ）∵ ，∴ ．
∵直线 的斜率为 ，且曲线 过点 ，
∴ 即 解得 ．
所以 4分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得当 时， 恒成立即 ，等价于 ．
令 ，则 ．
令 ，则 ．
当 时， ，函数 在 上单调递增，故 ．
从而，当 时， ，即函数 在 上单调递增，
故 ．
因此，当 时， 恒成立，则 ．
∴ 的取值范围是 ．12分
15．（1） ；（2）单调递增区间 ，单调递减区间 ，
【解析】
试题分析：（1）由 ，
而曲线 在点 处的切线垂直于 ，所以 ，解方程可得 的值；
（2）由（1）的结果知 于是可用导函数求 的单调区间；
试题解析：
解：（1）对 求导得 ，由 在点 处切线垂直于直线 知 解得 ；
（2）由（1）知 ，则
令 ，解得 或 .因 不在 的定义域 内，故舍去.
考点：1、导数几何意义；2、利用导数求函数的极值、最值．
14．（1） ；（2）详见解析．
【解析】
试题分析：（1） ，由导数的几何意义得 ，故切线方程为 ，将点 代入求 ；（2）曲线 与直线 只有一个交点转化为函数 有且只有零点．一般思路往往利用导数求函数的单调区间和极值点，从而判断函数大致图象，再说明与 轴只有一个交点．本题首先入手点为 ，当 时， ，且 ， ，所以 在 有唯一实根．只需说明当 时无根即可，因为 ，故只需说明 ，进而转化为求函数 的最小值问题处理．
（A） （B） （C） （D）
5．若函数 在其定义域内的一个子区间 内不是单调函数，则实数k的取值范围 （ ）
A． B． C． D．
6．函数 的图象如下图所示，则导函数 的图象的大致形状是（ ）
A． B． C． D．
7．若方程 在 上有解，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D． ∪
8．已知函数 的图象如图所示，则 等于（ ）
考点：导数的运用．
7．A
【解析】
试题分析：方程 在 上有解，等价于 在 上有解，故 的取值范围即为函数 在 上的值域，求导可得 ，令 可知 在 上单调递增，在 上单调递减，故当 时 ， ，故 的取值范围 .
考点：1、函数单调性，值域；2、导数.
8．C
【解析】
试题分析：由图象可知f（x）的图象过点（1，0）与（2，0）， 是函数f（x）的极值点，因此 ， ，解得 ， ，所以 ，所以 ， 是方程 的两根，因此 ， ，所以 ，答案选C.
当 时， 故 在 内为减函数；
当 时， 故 在 内为增函数；
由此知函数 在 时取得极小值 .
考点：1、导数的求法；2、导数的几何意义；3、导数在研究函数性质中的应用.
16．（1）详见解析；（2） .
【解析】
试题分析：（1）先求出导数方程 的根，对此根与区间 的位置关系进行分类讨论，确定函数在区间 上的单调性，从而求出函数 在区间 上的最大值；（2）构造函数 ，