利用导数研究函数的单调性
思考:可导函数f(x)在(a,b)上递增(减)的充要条件是什
么?
提示 可导函数f(x)在(a,b)上递增(减)的充要条件是f′ (x)≥0(f′(x)≤0)在(a,b)上恒成立,且f′(x)在(a,b)的任意子区间 内都不恒等于零.这就是说,函数f(x)在区间上的单调性并不排 斥在区间内的个别点处有f′(x)=0.
三、课堂练习
1.(1)试证明:函数 f(x)=sinx x在区间π2,π上单调递减. (2)试问:若将题中区间改为(0,π),函数 f(x)的单调性如何?
(1)证明
f′(x)=xcos
x-sin x2
x,又
x∈π2,π,
则 cos x<0,∴xcos x-sin x<0,
∴f′(x)<0,∴f(x)在π2,π上是减函数.
3.3 导数在研究函数中的应用 3.3.1 利用导数研究函数的单调性
一、预习检查
1.设函数 y=f(x)在某个区间上的导数为 f′(x) , 如果f′(x)>0 ,那么函数 y=f(x)递增,如果 f′(x)<0 ,那 么函数 y=f(x)递减. 2.从导数定义看,函数的导数就是函数值关于自变量 的 变化率 ,变化率的绝对值越大说明变得越快,绝对值越 小说明变得越慢;从函数的图象看,导数是切线的 斜率,斜率的 绝对值大说明切线 陡 ,曲线也就陡,斜率的绝对值小说明切线 较 平 ,曲线也就平缓一些.
二、课程讲解 题型一 判断或证明函数的单调性 【例 1】 证明:函数 f(x)=lnxx在区间(0,e)上是增函数.
证明
∵f(x)=lnx
x,∴f′(x)=x·1x-xቤተ መጻሕፍቲ ባይዱln
x=1-xl2n
x .
又0<x<e,∴ln
x<ln
e=1.∴f′(x)=
1-ln x2
x
>0,故f(x)在区间
(0,e)上是单调递增函数.
题型二 求函数的单调区间
【例 2】 求函数 f(x)=3x2-2ln x 的单调区间.
解 函数定义域为(0,+∞),
f′(x)=6x-2x=2·3x2x-1=6x-
33x+ x
33,
令 f′(x)>0 则 x> 33或- 33<x<0,
又∵x>0,∴x> 33,
令 f′(x)<0,则 x<- 33或 0<x< 33,
x>
3
a2-3时,f′(x)>0,函数
f(x)单调递增,
当-a-3
a2-3 -a+
<x<
3
a2-3时,f′(x)<0,函数
f(x)单调递减.
此时函数的单调增区间为
(-∞,-a-3
a2-3),-a+3
a2-3,+∞;
单调递减区间为
-a-
3
a2-3,-a+3
a2-3.
故若- 3≤a≤ 3,f(x)在 R 上为增函数;若 a> 3或 a<- 3函数
当 Δ=(2a)2-3×4=4a2-12≤0,即- 3≤a≤ 3时,f′(x)≥0 恒
成立,
此时 f(x)为单调递增函数,单调区间为(-∞,+∞).
当 Δ=(2a)2-3×4=4a2-12>0,即 a> 3或 a<- 3时,函数 f′(x)
存在零解,
此时当
-a-
x<
3
a2-3时,f′(x)>0,
当
-a+
(2)解
f′(x)=xcos
x-sin x2
x,令g(x)=xcos
x-sin
x,
则g′(x)=cos x-xsin x-cos x=-xsin x,
∵x∈(0,π),∴g′(x)<0,故g(x)是减函数,
∴g(x)<g(0)=0,∴x∈(0,π)时,f′(x)<0,
∴f(x)=sinx x在区间(0,π)上是减函数.
预习效果检查
1.若 f(x)在[a,b]上连续且在区间(a,b)内,f′(x)>0,且 f(a)≥0, 则在(a,b)内有( ).
A.f(x)>0 C.f(x)=0
B.f(x)<0 D.不能确定
解析 因f(x)在(a,b)上为增函数, ∴f(x)>f(a)≥0.
答案 A
2.函数f(x)=x+ln x的单调增区间为( ).
2.求函数f(x)=x2-2ln x的单调区间.
解 f′(x)=2x-2x=2x2x-1,
又 f(x)的定义域为{x∈R|x>0},
∴x,f′(x)、f(x)的取值变化情况如下表:
x (0,1) 1 (1,+∞)
f′(x) - 0 +
f(x)
1
由上表可知,函数 f(x)在区间(0,1)上是减函数,在区间(1,+
又∵x>0,∴0<x< 33,
∴f(x)=3x2-2ln
x
的增区间为
33,+∞,减区间
为0,
3
3
.
题型三 已知单调性求参数的取值范围
【例 3】 已知函数 f(x)=x3+ax2+x+1,a∈R.
(1)讨论函数 f(x)的单调区间;
(2)设函数 f(x)在区间-23,-13内是减函数,求 a 的取值范围. 解 (1)f(x)=x3+ax2+x+1,f′(x)=3x2+2ax+1,
∞)上是增函数或直接由 f′(x)>0,
得2x2x-1>0, ∴xx2>-0,1>0, 得x>1; 由f′(x)<0,即x2-x 1<0, 由xx2>-0,1<0, 解得0<x<1. 故f(x)的递增区间为(1,+∞),递减区间为(0,1).
A.(-∞,-1),(0,+∞) B.(0,+∞)
C.(-1,0)
D.(-1,1)
解析 ∵f′(x)=1+1x=x+x 1,
∴由于f′(x)>0,且由f(x)的定义域:{x|x>0},知x>0时,f′(x)>0 恒成立.
答案 B
3.函数y=x3-3x的单调递减区间是________.
解析 ∵y′=3x2-3=3(x2-1), ∴令y′<0,即3(x+1)(x-1)<0,解得-1<x<1. 答案 (-1,1)
f(x)单调递增区间为-∞,-a-3
a2-3,
-a+
3
a2-3,+∞
;
函
数
f(x) 单 调 递 减 区 间 为
-a-
3
a2-3,-a+3
a2-3.
(2)若函数在区间-23,-13内是减函数,则说明 f′(x)=3x2
+2ax+1=0 两根在区间-23,-13外, 因此 f′-23≤0,且 f′-13≤0,由此可以解得 a≥2. 因此 a 的取值范围是[2,+∞).