导数第2节 导数的应用（1）单调性
1.（优质专题天津文20（1）） 已知函数4
()4,,f x x x x =-∈R 求()f x 的单调性；
2.(优质专题广东文21）设函数3
2
()()f x x kx x k =-+∈R ． (1) 当1k =，求函数()f x 的单调区间；
3.（优质专题四川文21（1））已知函数()2
2
2ln 2f x x x x ax a =-+-+，其中0a >.
设()g x 为()f x 的导函数，讨论()g x 的单调性；
4.（优质专题全国2文21(1)）设函数()()
21e x f x x =-. （1）讨论()f x 的单调性；
5.（优质专题重庆文19（1））已知函数()()32f x ax x a =+∈R 在4
3
x =-处取得极值. 若()()e x g x f x =，讨论()g x 的单调性.
6.（优质专题湖北文21） 设0a >，0b >，已知函数()1
ax b
f x x +=
+． （1） 当a b ≠时，讨论函数()f x 的单调性；
7.（优质专题江苏19（1））已知函数()32f x x ax b =++(),a b ∈R ．试讨论()f x 的单调性.
8.（优质专题山东文20（1））设()()2
ln 21f x x x ax a x =-+-，a ∈R .
（1）令()()g x f x '=，求()g x 的单调区间；
9.（优质专题新课标2卷文21(1)）已知函数()()=ln +1f x x a x -.讨论()f x 的单调性.
10.（优质专题全国1文21*（1））已知函数()()
2e e x x f x a a x =--. （1）讨论()f x 的单调性；
导数第2节 导数的应用（1）单调性答案
1. 解析 （1）由4
()4f x x x =-，可得3
()44f x x '=-， 当()0f x '> ，即1x <时，函数()f x 单调递增； 当()0f x '< ，即1x >时，函数()f x 单调递减.
2. 解析 （1）当1k =时，()()322,321f x x x x f x x x '=-+=-+，
因为4431∆=-⨯⨯80=-<，所以()0f x '>恒成立，所以函数()f x 在R 上单调递增，故函数()f x 的单调递增区间为(),-∞+∞，函数()f x 没有单调递减区间.
3. 解析 由已知可得函数()f x 的定义域为()0,+∞.
()()()21ln g x f x x x a '==---，所以()()2122x g x x x
-'=-
=，
当()0,1x ∈时，()0g x '<，()g x 单调递减； 当()1,x ∈+∞时，()0g x '>，()g x 单调递增.
所以函数()f x 的单调递增区间是(),1-∞，单调递减区间是()1,+∞.
4.解析 （1）()()()
222e 1e 12e x x x f x x x x x '=-+-=--.
令()0f x '=，得2210x x +-=
，解得11x =
，21x .
所以当11x <<时，
()0f x '>，
当1x <-
或1x <时，()0f x '<，所以()f x 在区
间()
,1-∞
，
)1,+∞
上是减函数，在区间()
1上是增函数.
5. 解析 由（1）得()321e 2x g x x x ⎛⎫=+
⎪⎝⎭， 故()232312e e 22x x g x x x x x ⎛⎫⎛⎫
'=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
32152e 22x x x x ⎛⎫
=++ ⎪⎝⎭
()()114e 2x x x x =++．
令()0g x '=，解得0x =，1x =-或4x =-． 则x ，()g x '，()g x 的变化如下表所示：
所以()g x 在(),4-∞-和()1,0-上为减函数，在()4,1--和()0,+∞上为增函数．
6.解析 （1）()f x 定义域为()
(),11,-∞--+∞，()()()
()
()
2
2
111a x ax b a b
f x x x +-+-'=
=
++.
当a b >时，()0f x '>，函数()f x 在()(),1,1,-∞--+∞上单调递增； 当a b <时，()0f x '>，函数()f x 在()(),1,1,-∞--+∞上单调递减.
7.解析 由题意，()2
'32f x x ax =+233x x a ⎛
⎫=+
⎪⎝
⎭，
1︒当2
03
a -
=，即0a =时，()2'30f x x =对x ∈R 恒成立， 故()f x 的单调递增区间为(),-∞+∞； 2︒当2
03
a -
>，即0a <时， 令
()2'303f x x x a ⎛
⎫=+> ⎪⎝
⎭，则0x <或23x a >-，
所以()f x 的单调递增区间为(),0-∞和,23a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭，单调递减区间为30,2a ⎛
⎫-
⎪⎝
⎭； 3︒当2
03
a -<，即0a <时，
令()2'303f x x x a ⎛⎫=+> ⎪⎝
⎭，则2
3x a <-或0x >，
所以()f x 的单调递增区间为23,a ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭和()0,+∞，单调递减区间为023,a ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
．
8.解析 （1）由()ln 22,f x x ax a '=-+ 可得()()ln 22,0,g x x ax a x =-+∈+∞， 则()1122ax
g x a x x
-'=
-=
， 当0a 时，()0,x ∈+∞时，()0g x '>，函数()g x 单调递增；当0a >时，当10,2x a ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭时，
()0g x '>，函数()g x 单调递增；当1,2x a ⎛⎫
∈+∞ ⎪⎝⎭
时，()0g x '<，函数()g x 单调递减.
综上所述，当0a 时，函数()g x 单调递增区间为()0,+∞； 当0a >时，函数()g x 单调递增区间为10,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递减区间为1,2a ⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
.
9.解析 ()f x 的定义域为()0+∞，
，()1
f x a x
'=-. 若0a
，则()0f x '>，所以()f x 在()0+∞，
上单调递增. 若0a >，则当10x a ⎛
⎫∈ ⎪⎝⎭
，时，()0f x '>；当1a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
，时，()0f x '<. 所以()f x 在 10a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递增， 在1+a
⎛⎫∞ ⎪⎝⎭
，
上单调递减.
10.解析 （1）()()
2
22e e x
x f x a a '=--()()
2e e x x a a =+-.
①当0a =时，()()
2
2e 0x
f x '=>恒成立，所以()f x 在R 上单调递增；
②当0a >时，2e 0x a +>恒成立，令()0f x '>，则e 0x a ->，
故ln x a >，所以()f x 在()ln ,a +∞上单调递增，在(),ln a -∞上单调递减；
③当0a <时，e 0x a ->恒成立，令()0f x '>，则2e 0x a +>，即ln 2e e 2
a x a
⎛⎫
- ⎪⎝⎭>-=，
所以ln 2a x ⎛⎫>- ⎪⎝⎭，所以()f x 在ln 2,a ⎛⎫- ⎪⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭⎭⎝上单调递增，同理在n 2,l a ⎛⎫- ⎛⎫
-∞
⎪⎝
⎪⎝⎭⎭上单调递减．。