• 初值条件 u |t0 ( x)
• 第一类边界条件：已知端点的温度 u |xl 2(t)
• 第二类边界条件：指定单位时间流出端点的热量
傅里叶定律 d Q k ux Adt
ux |xl Q l /(k A)
已知
dQ dt
|xl
Q l
绝热条件：ux |xl 0 (在端点 x=l 处与外界没有热交换)
第八章 热传导方程的傅里叶解
热传导方程的建立 热传导方程混合问题的分离变量解
➢ 热传导方程的建立，混合问题的求解 作业：习题八 3, 4, 9, 10
§8.1 热传导方程和扩散方程的建立
1. 热传导方程的建立
比热为 C、密度为ρ的物体内部有热源，与周围
的介质通过 (0)
X (l) 0
kn
n
l
(n 0)
X (0) 0 X (l) h X (l) 0 tg (knl) hkn (n N )
cos(kn x) sin(kn x)
➢ 本征函数正交关系的证明
设本征函数 Xn (x), Xm (x) 对应的本征值不相等： Xm m Xm 0 (a), Xn n Xn 0 (b)
k uy y dxdydz dt
➢ 热传导方程的导出
R
dt 时间内体积元积累的总热量
TS
dQ dQin F (r , t)dxdydzdt
这股热量使体积元温度升高
u
u(r , t
dt)
u(r , t)
u
ut
dt
dQin
F (r , t)dxdydzdt
C dxdydz
ut a2 (ux x uy y uz z ) f
本征问题
X X 0
X (0) X (l)
0
Xn(x)
sin
n
l
x
(n N )
(3) 按本征函数展开
( x, t )
Tn (t)sin
n1
n
u : 温度沿面积元法向的变化率；
dl
n
k: 热导系数；负号表示热量由高温流向低温
R (x+dx, y+dy, z+dz)
TS (x, y, z)
dt 时间内流入体积元的热量：
dQin k (ux x uy y uz z ) dxdydz dt
(x+dx, y+dy, z+dz) R
T S dt 时间内，通过前表面 T 流入的热量：
a2 k , f F
C
C
• 热传导的泛定方程 ut a2 2u f 类似的推导：三维弹性体的振动 ut t a2 2u f 二维热传导：ut a2 (ux x uy y ) f ( x, y, t) 一维热传导：ut a2ux x f ( x, t) 实例：侧面绝热的细杆
3.一维热传导方程的定解条件
(x, y, z)
u dQT k y ( x, y, z, t )dxdz dt
dt 时间内，通过后表面 T′流出的热量：
dQT
k
u ( x, y
y dy, z, t )dxdz dt
通过前后表面流入的净热量
dQT
dQT
k[
u ( x, y
y, z,t)
u ( x, y
y dy, z, t )]dxdz dt
2. X X 0 的本征问题
边界条件
本征值 n kn2
X (0) X (l) 0
n
kn l (n N )
本征函数 Xn( x)
sin(kn x)
X (0) X (l) 0
(n 1/ 2)
kn l (n 0)
cos(kn x)
X (0) X (l) 0
(n 1/ 2)
kn l (n 0)
l
0 0 [(a) Xn (b) Xm ]dx
l
(m n ) Xm | Xn 0 ( Xn Xm Xm Xn )dx
( X n X m X m X n ) |0l
在三类齐次边界条件下， Xn Xm Xm Xn 在端点处均为零
例1：非齐次混合问题
uut|
a2 x0
ux x
1(t
• 求解辅助的本征问题
X X 0
X
(0)
X (l )
0
本征值
n
n2
l2
2
本征函数
n x
Xn ( x) sin l
• 求解时间函数 T(t)
T n a2 T 0
T(t) Cn exp(n a2t)
• 待求解展开为特解的叠加形式
u( x, t)
n1
C
n
e
xp(n
a
2
t
)
sin(
),
f (x,t) u |xl
2(t)
(1) (2)
uU
u
|t
0
(
x
)
(3)
(1)选辅助函数
U(x,t)
1(t)
x l
[2
(t
)
1
(t
)],
t a2 |x0
x
0,
x
~f ( |xl
x,
t) 0
(1) (2)
|t0 ~( x)
(3)
~f f Ut
~ U |t0
(2)
§8.2 热传导方程混合问题的求解
1.
求解混合问题
uut|
a2 ux x , x0 u |xl
t 0
0
(1) (2)
u
|t
0
(
x
)
(3)
变量分离形式的特解：uspecial( x, t) X ( x) T(t)
•
带入泛定方程
(1)：
T (t) a2 T(t)
X ( x) X(x)
• 带入边界条件 (2)： X (0) X (l) 0
的分布
u(
x,
y,
z,
t
)
u(r ,
t
)
• 比热：质量为 Δm 的物体温度升高 Δu 需要
的热量 Q C m u C V u
• 热源强度：dt 时间内，体积元 dV 释放 / 吸收
的热量
dQ
F
(r ,
t
)dt
dV
➢ 热传导的傅里叶定律
u1 dS n
dt 时间内，通过面积元dS
u2
的热量 dQ k u dS dt
• 第三类边界条件：端点与周围介质有热交换
牛顿冷却定律：单位时间内，由端点 x=l 流入 温度为m (t) 的介质的热量
Qout h[u(l, t ) m (t )] A
h: 热交换系数
单位时间流出端点 x=l 的热量 Ql k ux |xl A
Q l Q out
(k ux hu) |xl hm (t)
n
l
x)
•
初始条件
(3)
待定系数：( x)
Cn
n1
sin
n
l
x
本征函数的正交性
Cn
2 l
l ( x) sin n
0
l
x dx
➢ 对正交关系的理解
引入函数的内积：
f
|
g
l
0
f
(x) g(x)
dx
本征函数正交： Xn | Xm 0 (m n)
Cn X n
n
Cm
Xm Xm |
|
Xm
,
l Xm | Xm 2