热传导方程傅里解
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热传导在三维的等方向均匀介质里的传播可用以下方程表达：
其中：
•u =u(t, x, y, z) 表温度，它是时间变量t 与空间变量(x,y,z) 的函数。

•/是空间中一点的温度对时间的变化率。

•, 与温度对三个空间座标轴的二次导数。

•k决定于材料的热传导率、密度与热容。

热方程是傅里叶冷却律的一个推论（详见条目热传导）。

如果考虑的介质不是整个空间，则为了得到方程的唯一解，必须指定u 的边界条件。

如果介质是整个空间，为了得到唯一性，必须假定解的增长速度有个指数型的上界，此假定吻合实验结果。

热方程的解具有将初始温度平滑化的特质，这代表热从高温处向低温处传播。

一般而言，许多不同的初始状态会趋向同一个稳态（热平衡）。

因此我们很难从现存的热分布反解初始状态，即使对极短的时间间隔也一样。

热方程也是抛物线偏微分方程最简单的例子。

利用拉普拉斯算子，热方程可推广为下述形式
其中的是对空间变量的拉普拉斯算子。

热方程支配热传导及其它扩散过程，诸如粒子扩散或神经细胞的动作电位。

热方程也可以作为某些金融现象的模型，诸如布莱克-斯科尔斯模型与 Ornstein-Uhlenbeck 过程。

热方程及其非线性的推广型式也被应用于影像分析。

量子力学中的薛定谔方程虽然有类似热方程的数学式（但时间参数为纯虚数），本质却不是扩散问题，解的定性行为也完全不同。

就技术上来说，热方程违背狭义相对论，因为它的解表达了一个扰动可以在瞬间传播至空间各处。

扰动在前方光锥外的影响通常可忽略不计，但是若要为热传导推出一个合理的速度，则须转而考虑一个双曲线型偏微分方程。

以傅里叶级数解热方程[编辑]
以下解法首先由约瑟夫·傅里叶在他于1822年出版的著作Théorie analytique de la chaleur（中译：解析热学）给出。

先考虑只有一个空间变量的热方程，这可以当作棍子的热传导之模型。

方程如下：
其中u = u(t, x) 是t和x的双变量函数。

•x是空间变量，所以x∈[0,L]，其中L表示棍子长度。

•t是时间变量，所以t≥0。

假设下述初始条件
其中函数f是给定的。

再配合下述边界条件
.
让我们试着找一个非恒等于零的解，使之满足边界条件 (3) 并具备以下形式：
这套技术称作分离变量法。

现在将u代回方程 (1)，
由于等式右边只依赖x，而左边只依赖t，两边都等于某个常数−λ，于是：
以下将证明 (6) 没有λ≤ 0 的解：
假设λ < 0，则存在实数B、C使得
从 (3) 得到
于是有B = 0 = C，这蕴含u恒等于零。

假设λ = 0，则存在实数B、C使得
仿上述办法可从等式 (3) 推出u恒等于零。

因此必然有λ > 0，此时存在实数A、B、C使得
从等式 (3) 可知C = 0，因此存在正整数n使得
由此得到热方程形如 (4) 的解。

一般而言，满足 (1) 与 (3) 的解相加后仍是满足 (1) 与 (3) 的解。

事实上可以证明满足 (1)、(2)、(3) 的解由下述公式给出：
其中
推广求解技巧[编辑]
上面采用的方法可以推广到许多不同方程。

想法是：在适当的函数空间上，算子可以用它的特征矢量表示。

这就自然地导向线性自伴算子的谱理论。

考虑线性算子Δu = u x x，以下函数序列
（n≥ 1）是Δ的特征矢量。

诚然：
此外，任何满足边界条件f(0)=f(L)=0 的Δ的特征矢量都是某个e n。

令 L2(0, L) 表 [0, L] 上全体平方可积函数的矢量空间。

这些函数e n构成 L2(0, L) 的一组正交归一基。

更明白地说：
最后，序列 {e n}n∈N张出 L2(0, L) 的一个稠密的线性子空间。

这就表明我们实际上已将算子Δ对角化。

非均匀不等向介质中的热传导
一般而言，热传导的研究奠基于以下几个原理。

首先注意到热流是能量流的一种形式，因此可以谈论单位时间内流进空间中一块区域的热量。

•单位时间内流入区域V的热量由一个依赖于时间的量q t(V) 给出。

假设q有个密度Q(t,x)，于是
•热流是个依赖于时间的矢量函数H(x)，其刻划如下：单位时间内流经一个面积为dS而单位法矢量为n的无穷小曲面元素
的热量是
因此单位时间内进入V的热流量也由以下的面积分给出
其中n(x) 是在x点的向外单位法矢量。

•热传导定律说明温度对时间的梯度满足以下线性关系
其中A(x) 是个3 × 3 实对称正定矩阵。

利用格林定理可将之前的面积分转成一个体积分
•温度在x点对时间的改变率与流进x点所在的无穷小区域的热量成正比，此比例常数与时间无关，而可能与空间有关，写作κ(x)。

将以上所有等式合并，便获得支配热流的一般公式。

注记：
•系数κ(x) 是该材料在x点的密度和比热的积的倒数。

•在等方向性介质的情况，矩阵A只是个标量，等于材料的导热率。

•在非等向的情况，A不一定是标量，我们鲜少能明确写出热方程的解。

然而通常可考虑相应的抽象柯西问题，证明它是适定
的，并（或）导出若干定性结果（诸如初始值保持正性、无穷
传播速度、收敛至平衡态或一些平滑化性质）。

这些论证通常有
赖于单参数半群理论：举例来说，如果A是个对称矩阵，那
么由
定义的椭圆算子是自伴而且耗散的，因此由谱定理导出它生成
一个单参数半群。

粒子扩散[编辑]
粒子扩散方程[编辑]
在粒子扩散的模性中，我们考虑的方程涉及
•在大量粒子集体扩散的情况：粒子的体积浓度，记作c。

或者
•在单一粒子的情况：单一粒子对位置的概率密度函数，记作P。

不同情况下的方程：
或者
c与P都是位置与时间的函数。

D是扩散系数，它控制扩散速度，通常以米/秒为单位。

如果扩散系数D依赖于浓度c（或第二种情况下的概率密度P），则我们得到非线性扩散方程。

单一粒子在粒子扩散方程下的随机轨迹是个布朗运动。

如果一个粒子在时间时置于，则相应的概率密度函数具有以下形式：
它与概率密度函数的各分量、和的关系是：
随机变量服从平均数为 0、变异数为的正态分布。

在三维的情形，随机矢量服从平均数为、变异数为的正态分布。

在t=0时，上述的表示式带有奇点。

对应于粒子处在原点之初始条件，其概率密度函数是在原点的狄拉克δ函数，记为
（三维的推广是）；扩散方程对此初始值的解也称作格林函数。

扩散方程的历史源流[编辑]
粒子扩散方程首先由 Adolf Fick 于1855年导得。

以格林函数解扩散方程[编辑]
格林函数是扩散方程在粒子位置已知时的解（数学家称之为扩散方程的基本解）。

当粒子初始位置在原点时，相应的格林函数记作（t>0）；根据扩散方程对平移的对称性，对一般的已知初始位置，相应的格林函数是。

对于一般的初始条件，扩散方程的解可以透过积分分解为一族格林函数的叠加。

举例来说，设t=0时有一大群粒子，根据浓度分布的初始值
分布于空间中。

扩散方程的解将告诉我们浓度分布如何随时间演化。

跟任何（广义）函数一样，浓度分布的初始值可以透过积分表为狄拉克δ函数的叠加：
扩散方程是线性的，因此在之后的任一时刻t，浓度分布变为：
在粒子扩散的情形，我们可以将狄拉克δ函数对应的初始条件理解为粒子落在一个已知位置。

一般而言，任何扩散过程的解都有这种表法，包括热传导或动量的扩散；后者关系到流体的粘性现象。

一维格林函数解列表[编辑]
以下以简写 BC 代表边界条件，IC 代表初始条件。

（可能的问题：根据上解，u(0)=0）。