AD C B a≡b≡d ≡ ≡ P X V H
b′ ′
a′ ′
d′ ′ b 距离 b1 . a2≡b2≡d2 c2
c a
.
d a1 d1 .
H X1 P 1
c
如何确定d 如何确定 1 c1 点的位置？ 点的位置？ 过c1作线平行于x2轴。
P1 P2 X2
21
例2：已知两交叉直线 和CD的公垂线的长度 为MN， ：已知两交叉直线AB和 的公垂线的长度 ， N 为水平线， 的投影。 且AB为水平线，求CD及MN的投影。 M 为水平线 及 的投影
面代替V面 投影体系中， 用 面代替 投影体系中 。 空间分析： P1面代替 面，在P1/H投影体系中，AB//P1。 b′ ′ 作图： 作图： a′′ P1 a′ ′ a1
V
b′ ′ a
A
X
V
B
b1
H
b a
X1 H P1
.
H
b
a1
●
α
b1
●
换H面行吗？ 不行！ 面行吗？ 不行！ 面行吗
新投影轴的位置？ 新投影轴的位置？
●
a′ ′ XV H a c
m′ ′
b′ ′
● ●
m
n
d b
d1
.
●
a1≡b1≡m1
●
c1
n1
d1
.
n1
请注意各点的投 H P 1 影如何返回？ 影如何返回？ X1 求m点是难点。 点是难点。 点是难点
c1
22
●
圆半径=MN 圆半径
点作直线CD与 相交成 相交成60º角 例3: 过C点作直线 与AB相交成 角。 点作直线
4
⑵
新旧投影之间的关系
a′ ′ ax a1
V X H
a′ ′ a1
.
V
A
P1
ax ax1
P1 H X1
ax1 a
H X1
a
X
一般规律： 一般规律： 点的新投影和与它有关的原投影的连线， 点的新投影和与它有关的原投影的连线，必垂直 于新投影轴。 于新投影轴。 点的新投影到新投影轴的距离等于被代替的投影 到原投影轴的距离。 到原投影轴的距离。
1
e1 d1 e' V XH e d' c
c' a' b'
d
a
18
b
五、换面法的应用
1 、求直线实长和与投影面的倾角 将直线变换成投影面的平行线。 将直线变换成投影面的平行线。 2 、求平面实形和形心 将平面变换成投影面的平行面。 将平面变换成投影面的平行面。 3、 求平面与投影面的倾角 、 将平面变换成投影面的垂直面。 将平面变换成投影面的垂直面。 4、 求距离 、 （1）点与直线之间 ） a 将直线变换成投影面垂直线。 将直线变换成投影面垂直线。 b 将点与直线组成的平面变换成投影 面的平行 面。
19
（2） 点与平面之间 ） 将平面变换成投影面垂直面。 将平面变换成投影面垂直面。 （3） 两平行线之间 ） 将两直线变换成投影面垂直线。 将两直线变换成投影面垂直线。 （4） 两平行平面之间 ） 将两平面变换成投影面垂直面。 将两平面变换成投影面垂直面。 5 、求夹角 （1）两直线之间 ） 将两直线组成的平面变换成投影面平行面。 将两直线组成的平面变换成投影面平行面。 （2） 两平面之间 ） 将两平面变换成投影面的垂直面， 将两平面变换成投影面的垂直面 ， 即应将两 平面的交线变换成投影面的垂直线。 平面的交线变换成投影面的垂直线。 20
6
⒉ 更换两次投影面
⑴ 新投影体系的建立
X2
V
P2
a2 A
按次序更换 P1
ax2
a′ ′ ax
a1 ax1
X
a
H
X1
P X1 —1 先把V面换成平面 面换成平面P 先把 面换成平面 1， P1⊥H，得到中间新投影体系 ，得到中间新投影体系: H P1 X2 — 再把H面换成平面 面换成平面P 得到新投影体系: 再把 面换成平面 2， P2⊥ P1，得到新投影体系 P2
13
两平面垂直需满足什么条件？ 两平面垂直需满足什么条件？
空间分析： 空间分析： 如果把平面内的一条直线变换成新投影面的垂 直线，那么该平面则变换成新投影面的垂直面。 直线，那么该平面则变换成新投影面的垂直面。 作图方法： 作图方法：
一般位置直线变换 成投影面垂直线， 成投影面垂直线，需经 几次变换？ 几次变换？ c′ ′ V d′ ′ bΧ Χ
作图： 作图：
● c′ ′
n′ ′ ●
●
●
d′ ′
空间及投影分析： 空间及投影分析：
当直线AB垂直于投影 当直线 垂直于投影 面时， 平行于投影面， 面时，MN平行于投影面， 平行于投影面 这时它的投影m1n1=MN,且 这时它的投影 且 m1n1⊥c1d1。 A
C N M D B a1m1b1 P1Fra bibliotek展开图
6. 把一般位置平面变换成投影面平行面
需经几次变换？ 需经几次变换？ 一次换面, 把一般位置平面变换成新投影面的垂直面； 一次换面 把一般位置平面变换成新投影面的垂直面； 二次换面，再变换成新投影面的平行面。 二次换面，再变换成新投影面的平行面。 AB是水平 是水平 c′ ′ 作 图： 线 a2 ● a′ ′ b′ ′
14
例：把三角形ABC变换成投影面垂直面。 三角形 变 成投影面垂直面。
a′ ′
V X H a b c H X 1 P1 d
.
b′ ′
d′
c′ ′
作 图 过 程： ★ 在平面内取一条水平 线AD。 。 ★ 将AD变换成新投影 变换成新投影 面的垂直线。 面的垂直线。
α
a1≡d1
● ●
c1
●
d1
反映平面对哪 个投影面的夹角？ 个投影面的夹角？
15
5 . 将投影面的垂直面变成投影面的平行面 功用： 功用： 一次换面后可求解 平面实形、形心、 平面实形、形心、 a1' V1 a' 两直线交角等 问题的关 键： 新投影轴 必须平行于 必须平行于 该平面的积 聚性投影。 聚性投影。
V c' b1' b' C B b a H c
16
A
c1' X1
到直线AB的距离 例1：求点 到直线 的距离，并求垂足 。 ：求点C到直线 的距离，并求垂足D。 空间及投影分析： 空间及投影分析： 作图: 作图
点到直线AB的距离 求C点到直线 的距离， c′ 点到直线 的距离， ′ 就是求垂线CD的实长 的实长。 就是求垂线 的实长。 如下图：当直线 如下图：当直线AB 垂直于投影面时， 平 垂直于投影面时，CD平 行于投影面， 行于投影面，其投影反映 实长。 实长。
1
被替换 的投影
被替换 的投影面
新投影
V
老轴
a' B
b1'
新投影面
b' X
老投影体系 被保留 V/H 的投影
b A H
被保留 的投影面
V1
a1'
a
新轴
α X1
新投影体系 V1/H
2
二、新投影面的选择原则
a′ ′
V P
A B a
H
a1 b1
b′ ′
平行于新的投影面 垂直于新的投影面
b
1. 新投影面必须对空间物体处于最有利的解 新投影面必须对空间物体处于最有利的解 题位置。 题位置。 2. 新投影面必须垂直于某一保留的原投影面， 新投影面必须垂直于某一保留的原投影面， 垂直于某一保留的原投影面 以构成一个相互垂直的两投影面的新体系。 以构成一个相互垂直的两投影面的新体系。
H P X1 1
P2 c1 P1 X 1
的两面角。 例4：求平面 ：求平面ABC和ABD的两面角。 和 的两面角
空间及投影分析： 在投影图中, 两平面的交线垂直于投影面时， 在投影图中 两平面的交线垂直于投影面时，则两平面 由几何定理知： 由几何定理知：两面角为两平面同时与第三平面垂直相交 垂直于该投影面，它们的投影积聚成直线， 垂直于该投影面，它们的投影积聚成直线，直线间的夹角为 时所得两交线之间的夹角。 时所得两交线之间的夹角。 所求。 所求。 d′ ′ a′ ′ XV H c′ ′ a c b c2
平行。 与ab平行。
9
2 将投影面的平行线变换为投影面的垂直线 功用:一次换面后可用于求点与直线 一次换面后可用于求点与直线,两直线间的距 功用 一次换面后可用于求点与直线 两直线间的距 问题的关键： 离等。 离等。问题的关键：新轴要垂直于反映实长的那个 投影。 投影。 a1 b1 X1 H1 V b' b' a1'• b1' a' a' B V X X A b H a b H a 10
X V H
空间分析： 空间分析：
a b c
H P1 X1
.
●
a1≡b1 .
b2●
●
c2
平面的实形
●
c1
17
X2轴的位置？ 与其平行 的位置？
已知直线AB与 平面平行， 例 3 已知直线 与∆CDE平面平行，且相距 平面平行 且相距20mm， ， 求直线AB的 求直线 的 a1 b1 水平投影。 水平投影。 c
.
a1
X
a H
H1 ● X1 P1 a1 X1
●
b1 a2≡b2
X2轴的位置？ 轴的位置？
与a1b1垂直
11
例1 已知等腰三角 形ABC的底边 的底边 为AB，试用 ， 换面法求出等 腰三角形ABC 腰三角形 的正面投影。 的正面投影。
c'