d
N
e
d
（五） 把投影面垂直面变为投影面平行面
c1
V1
a1 b1
X1
作 图 过 程
c1 b1
a1
（六） 把一般位置平面变为投影面平行面
a2
b2
实形
d2
c2
d
d
[例题6] 已知E点在平面ABC上，距离A、B为15，求点E的投影。
15 b2
a2 e2
e1
d2
c2
e d
ed
2.5.3 旋转法
1.绕投影面垂直轴旋转的基本规律
1、分析题意:弄清已知条件和所求结果。 2、确定解题的方法和步骤：以所学理论知识为基础
当直线或平面处于一般位置时，则它们的投影不具 备上述的特征。投影变换就是将直线或平面从一般位置 变换为和投影面平行或垂直的位置，以简便地解决它们 的度量和定位问题。
变换投影面法 旋转法
§6-2 换面法
换面法就是保持空间几何要素不动，用新的投影面 替换旧的投影面，使新投影面对于空间几何要素处于有 利于解题的位置。
3) 平面的旋转规律
作图时，可根据旋转前后的不变性，首先做出其不变的投 影，在根据点绕投影面垂直轴的旋转规律作出另一投影。
2.旋转法中的六个基本问题
（1）将投影面的倾斜线旋转成投影面的平行线，可以 求出线段的实长和对投影面的夹角。
（2）将投影面的倾斜线旋转成投影面的垂直线，可以 求出线段的实长。
二、新投影面的选择原则
（二）、新投影面的选择必须符合以下两个基本条件： 1．新投影面必须和空间几何元素处于有利解题的位置。 2．新投影面必须垂直于一个不变投影面。
三、点的投影变换规律
1．点的一次变换 2．点的投影变换规律 3．点的两次变换
1 点的一次换面 换V面
V
a
ax
X
A
a1 V1
ax1 a
第五章 投影变换
基本要求
1、掌握换面法的基本原理和换面法的作图的 投影变化规律。 2、掌握用换面法求线段的实长、平面图形实形及 其对投影面的倾角基本作图方法。 3、掌握换面法解决一般空间几何要素的定位 和度量问题。
2.5 投影变换
当直线或平面相对于投影面处于特殊位置（平行 或垂直）时，它们的投影反映线段的实长、平面的实 形及其投影面的倾角。
（3）将投影面的倾斜线旋转成投影面的垂直线，需要 进行两次转换。
（4）将投影面的倾斜面旋转成投影面的垂直面，可以 求出平面对投影面的夹角。
（5）将投影面的倾斜面旋转成投影面的平行面，可以 求出平面的实形。
（6）将投影面的倾斜面旋转成投影面的平行面，需要 进行两次转换。
2.6 点、线、面综合问题的解题示例
a'2
c'2
距离
k
[例题3] 求两直线AB与CD的公垂线 。
b 1
2
1
2
c2
22
12
d2
a2b2
c'1
2'1
d'1
b'1
a'1
1'1
（四） 把一般位置平面变为投影面垂直面
b
a
d
b1
c
V
D
X
d1H1 H
a1
a
b d
c1
c
d c
[例题4] 求点S到平面ABC的距离
k1 s1
距离
[例题5] 已知E到平面ABC的距离为N，求E点的正面投影e。
ห้องสมุดไป่ตู้
线，并在垂线上量取一段距离，使这段
距离等于被代替的投影到原投影轴的距
离。
2 点的二次换面
⑴ 新投影体系的建立
X2
V a
ax X
H2a2 ax2 V1
A
a
a1
ax1
按次序更换
H
X1
先把V面换成平面V1， V1H，得到中间新投影体系: X1 — VH1
再把H面换成平面H2， H2 V1，得到新投影体系: X2 — HV12
（二） 把投影面平行线变为投影面垂直线 （三） 把一般位置直线变为投影面垂直线
例题2 例题3 （四） 把一般位置平面变为投影面垂直面
例题4 例题5 （五） 把投影面垂直面变为投影面平行面 （六） 把一般位置平面变为投影面平行面
例题6
（一） 把一般位置直线变为投影面平行线
b1
a1
b1
a1
[例题1] 把一般位置直线变为H1投影面平行线
a1
b1
（二） 把投影面平行线变为投影面垂直线
a1 b1
b
a1 b1
b
（三） 把一般位置直线变为投影面垂直线
a2 b2
b1
V1
a1
X1
作 图 过 程
把一般位置直线变为投影面垂直线
a2 b2
b1 a1
[例题2] 求点C到直线AB的距离
提示
作 图 过 程
作图
a1 c1
k1 b1
k'
b'2 k'2
2) 必垂直于新投影轴。 2)点的新投影到新投影轴的距离等于被代替
的投影到原投影轴的距离。
换H面
XV1H1
a1
. ax1
a
O1
XV ax H a
求新投影的作图方法
更换V面
a
V XH
ax
a
ax1
.
H V1
X1
更换H面 XV1H1 a1
. ax1 a ● a1 XV ax H
a
作图规由律点：的不变投影向新投影轴作垂
⑵ 求新投影的作图方法
a
XV
ax
H
作图规律
a2a1 X2 轴 a2ax2 = aax1
a ax1 .
H X1 V1
a2 ax2 .
a1
V1
H2 X2
直线的换面
一次换面
1．把一般位置直线变换为新投影面平行线 反映直线的实长和对投影面的倾角
四、六个基本问题
（一） 把一般位置直线变为投影面平行线 例题1
H
X1
旧投影体系 X—VH
A点的两个投影：a,a
a
V XH
ax
a
a1
. ax1
H
V1 X1
新投影体系 X1—VH1
A点的两个投影：a,a1
新旧投影之间的关系 a
V a
A a1
V1
V XH
ax
. ax1
a1
ax
X
ax1 a
a
H
V1 X1
1) aa1 X1
H
X1
一般规律：
2) a1ax1=aax
1) 点的新投影和与它有关的原投影的连线，
1) 点的旋转规律
当一点绕垂直于投影面的轴旋转时，它的运动轨迹在 轴所垂直的投影面上的投影为一个圆，而在轴所平行的投 影面上的投影为平行于投影轴的直线。
2) 直线的旋转规律
（1）三同旋转规律：同一旋转轴、同一方向、同一角度 。（2）旋转时的不变性：它在轴所垂直的投影面上的投影 长度不变，因此线段与该投影面的倾角不变。
一、换面法的基本概念 二、新投影面的选择原则 三、点的投影变换规律 四、六个基本问题
（1）新投影面必须处于有利于解题的位置。
（2）新投影面必须垂直于原投影体系中的一个投影面， 组成一个新的两投影面体系。
一、换面法的基本概念
V/H 体系变为V1/H 体系 换面法—空间几何元素的位置保持不动，用新的投影面来代替 旧的投影面，使对新投影面的相对位置变成有利解题的位置，然后 找出其在新投影面上的投影。