基本不等式与最值
——不等式补充材料
２０１5.４.２5
一． 基本不等式及其变形和推论
1. (,0,)2
a b a b a b +≤>=当且仅当时取"="
2. 变形：,0,)a b a b a b +≥>=当且仅当时取"="
3. 2a b +≤≤(,0,)a b a b >=当且仅当时取"=" ②22
2()22
a b a b ab ++≤≤(,,)a b R a b ∈=当且仅当时取"=" 二． 核心原理
和定积最（值），积定和最（值），
三． 经典例题
类型1：无条件求最值
例1 设01,x <<求(1)y x x =-的最大值。

（答案：
14） 变式1-1：设30,2x <<求(32)y x x =-的最大值。

（答案：98
）
变式1-2：当01x ≤≤，求函数y =的最大值。

（答案：
12） 例2 设0,x >求1y x x
=+的最小值。

（答案：2） 变式2-1：设0,x ≠求1y x x
=+的取值范围。

（答案：(][),22,-∞-⋃+∞） 变式2-2：求函数1(2)2
y x x x =+>-的最小值。

（答案：4） 变式2-3：求函数22914y x x =++的最小值。

（答案：114
） 变式2-4：设1,x >-求函数(2)(5)1
x x y x ++=+的最小值。

（答案：9） 例3 设,0x y >，求： ①1
1()()x y x y
++的最小值；（答案：4）
②12()()x y x y
++
的最小值；（答案：3+ 例4 正数,a b 满足3ab a b =++，求：
① ab 的最小值；（答案：9）
② a b +的最小值（答案：６）.
例５0a b >>，求： ①216()
a b a b +-的最小值；（答案：１６） ②2
16()b a b a -⋅
的最大值（答案：４）。

类型２：有条件求最值
例１设,0x y >，41x y +=，
① 求xy 的最大值；（答案：116
） 变式：求lg lg x y +的最大值（答案：lg 4-）。

② 求
11x y
+的最小值。

（答案：９） 例２ 设lg lg 2x y +=，
① 求x y +的最小值；（答案：２０） ② 求11x y +的最小值；（答案：15
） ③ 求lg lg x y ⋅的最大值。

（答案：１）
例３设,0x y >，且411x y
+=， ① 求xy 的最小值；（答案：１６）
变式：求lg lg x y +的最小值；（答案：lg16）
② 求x y +的最小值，（答案：９）
变式：求22x y ⋅的最小值。

（答案：５１２）
例4 设,0x y >，且221,2y x +=求。