3. 平面任意力系的简化结果
（1）FR´= 0，Mo ≠ 0
（2）FR´ ≠ 0，Mo = 0 （3）FR´≠ 0，Mo ≠ 0 （4）FR´= 0，Mo = 0
i 1 i 1 n n
合力偶，合力偶矩
MO MO( Fi)
i 1
n
合力，合力作用线通过简化中心O。 合力，合力作用线到简化中心O的距离为 d 平衡
平面任意力系等效为两个简单力系：平面 汇交力系和平面力偶系。
F2
F1
=
F2´
M2
F1´
M1 =
FR
MO
´
o Fn
o
Mn
o Fn´
n
平面汇交力系可合成为作用线通过点O的一个力FR´
(3—1) FR´ = F1´+ F2´+…+ Fn´ Fi i 1 = 平面力偶系可合成为一个力偶，这个力偶的矩Mo等于各附加力 偶矩的代数和，又等于原来各力对点O的矩的代数和。 n (3—2) M = M +M +…+M = MO( Fi)
MO FR '
思考题 3-1 某平面任意力系向A,B两点简化的主矩皆为零，此力系简 化的最终结果可能是一个力吗？可能是一个力偶吗？可能平衡吗？ 3-2 平面汇交力系向汇交点以外一点简化，其结果可能是一个 力吗？可能是一个力偶吗？可能是一个力和一个力偶吗？ 3-3 某平面力系向同平面内任一点简化的结果都相同，此力系 简化的最终结果可能是什么？ 3-4 在刚体上A，B，C三点分别作用三个力F1 ， F2 ， F3 ， 各 力的方向如图，大小与△ABC的边长成比例。该力系是否平 衡？为什么？ 3-5 力系如图所示。且F1 = F2 = F3 = F4 。力系向点A和点B简 化的结果是什么？二者是否等效？
o 1 2 n
FR´——主矢 Mo ——主矩 平面任意力系向作用面内任选一点O简化，可得一个力和一 个力偶。这个力等于该力系的主矢，作用线通过简化中心O。 这个力偶的矩等于该力系的主矩。
i 1
F2
F1
=
F2´
M2
y
F1´
M1 x =
y M j
FR
´
j
i
o Fn
o
Mn
o
i
x
Fn´
取坐标系Oxy，i，j为沿x，y轴的单位矢量，力系主 矢的解析表达式为
FR' FRx' FRy ' Fxi Fy j
主矢FR´的大小和方向余弦为
FR' ( F x ) 2 ( F y ) 2
Fx cos( FR' , i ) FR '
i 1
cos( FR' , j )
主矩的解析表达式 n n MO MO( Fi) ( xiFyi - yiFxi)
偶的矩等于原来的力 对新作用点的矩。
2. 平面任意力系向平面内任选一点O简化定理:可得一个 力和一个力偶。这个力等于该力系的主矢，作用线通过简化中 心O。这个力偶的矩等于该力系的主矩。
FR' Fi Fxi Fy j
MO MO( Fi) ( xiFyi - yiFxi)
（1） 平面任意力系简化为一个力偶
FR´= 0，Mo ≠ 0
平面任意力系简化为合力偶，合力偶矩为
MO MO( Fi)
i 1
n
（2）平面任意力系简化为一个合力
FR´≠ 0，Mo = 0
平面任意力系简化为一个力， FR´就是原力系的合力,合力作 用线通过简化中心O。
FR´ ≠ 0，Mo ≠ 0
Mo
FR´ o´ o
FR´
FR o´ o
d
FR o´
o
d
FR´ ´
FR´ = FR =－FR´´
d MO FR '
平面任意力系简化为一个力，合力矢等于主矢；合力的作用 线在点O的那一侧，根据主矢和主矩的方向确定；合力作用线到 点O的距离为d。
（3）平面任意力系平衡 FR´= 0，Mo = 0 平面任意力系平衡。
任意力系平衡的必要和充分条件：力系的主矢和对任 一点的主矩都等于零。
平衡条件的解析式：
Fxi 0
Fyi 0
MO( Fi) 0
任意力系平衡的 解析条件是：所有各力在两个任选的坐 标轴上的投影的代数和分别等于零，以及各力对于任一点的 矩的代数和也等于零。上式为平面任意力系的平衡方程。

B
M
只要满足：
F = F´ = － F´´
M = Fd = MB ( F )
2 .平面任意力系向内平面内一点简化 • 主失和主矩
F2 F1
=
F2´
M2
F1´
M1 = M
FR
´
o Fn
o
Mn
o Fn´
O —— 简化中心
F1´ = F1 ， F2´ = F2 ，… ，Fn´ = Fn Mi = Mo ( Fi ) (i = 1，2，…，n)
P3 P1 6m 12m P2
A
FA
2m 2m
B
FB
解：选起重机为研究对象。 （1）要使起重机不翻倒，应使作用在起重机上的力 系满足平衡条件。 满载时，为使起重机不绕点B翻倒，力系满足平 衡方程 MB( F ) 0 。在临界情况下，FA=0。求出的 P3 值是所允许的最小值。 MB( F ) 0 P3min(6 2) 2P1 P2(12 2) 0
Fx 0
FAX 1 q 3a Fcos30 0 2

l B
l
M
D
30 ° F
Fy 0
MA( F ) 0
MA M
FAy p Fsin30 0
3l
P
FAy
q
A
MA
解方程得
1 q 3l l Fsin30 l Fcos30 3l 0 2 1 FAX Fcos30 q 3a 316.4kN 2
ql F q ( x)dx 2
l 0
q(x)dx A x dx l xc B
设合力作用线到A 端的距离为 xC ， 根据合力矩定理 F xc
q( x) xdx
l 0
1 l qx 2 ql 2 ql 2 xC 0 dx l F l 3 2 3
小结 1. 力的平移定理:平移一力的同时必须附加一个力偶，附加力

FAx
FAy p Fsin30 300kN

1 MA M q 3l l Fsin30 l Fcos30 3l 1188kN 2

平面平行力系的平衡条件和平衡方程 如图：物体受平面平行力系 F1 ，F2 ， …， Fn的作用。
y F1 Fn
i 1
Fy FR '
一物体的一端完全固定在另一物体上，这种约 束称为固定端或插入端支座
A
FAy
MA A
FA
MA
FAx
3. 平面任意力系的简化结果分析
如前分析，平面力系总可以简化为一个主矢和一个主矩，可 能有以下几种情况，即：（1）FR´= 0，Mo ≠ 0；（2）FR´≠ 0， Mo = 0；（3）FR´≠ 0，Mo ≠ 0；（4）FR´= 0，Mo = 0。
如取 x 轴与各力垂直，不论力系 是否平衡，恒有 Fx 0 则平行力系的独立平衡方程为 ： Fy 0
MA( F ) 0
O
F2
F3
x
平行力系平衡方程的二力矩式：
MA( F ) 0
MB( F ) 0
例3-5 塔式起重机如图。机架重为P1=700KN，作用 线通过塔架的中心。最大起重量P2=200KN，最大悬臂长 为12m，轨道AB的间距为4m。平衡荷重P3，到机中心距 离为6m。求： （1）保证起重机在满 载和空载时都不致翻 倒，平衡荷重P3 为多 少？ （2）当平衡荷重P3 =180KN时，求满载时 轨道A 、 B给起重机 轮子的反力？
C F1 A
60 60 60
°
F2
B
F1 F2 B A
° ° F3
F3
F4
§ 3–2 平面任意力系的平衡条件和平衡方程
讨论平面任意力系的主矢和主矩都等于零的情形： FR´= 0 Mo = 0 主矢等于零，表明作用于简化中心O的汇交力系为平衡力系； 主矩等于零，表明附加力偶系也是平衡力系，所以原力系必为平 衡力系。上式为平面任意力系平衡的充分条件。 由上节分析结果可知：主矢和主矩有一个不等于零时，则力系 简化为合力或合力偶；若主矢和主矩都不等于零，可进一步简化为 一个合力。上述情况下力系都不能平衡，只有当主矢和主矩都等于 零时，力系才能平衡，上式为平面任意力系平衡的必要条件。
第三章 平面任意力系
§ 3–1 平面任意力系向内平面内一点简化
§ 3–2 平面任意力系的平衡条件和平衡方程 § 3–3 物体系的平衡 • 静定和超静定问题 § 3–4 平面简单桁架的内力计算
第三章 平面任意力系
作用在物体上的 力的作用线都分布在同一平面内 （或近似分布在同一平面内），并呈任意分布的力系 ； 当物体所受的力都对称于某一平面时，为平面任意力 系问题 。
例3-1 已知F1=150N，F2=200N ， F3=300N ， F= F´ =200N 。求力系向点O的简化结果，并求力系合力 的大小及其与原点O的距离。 解
Fx
y
F1cos45 F2
1 10
j
F
1 3
F
´
x
1
2
2 F3 437.6 N 5 3 F2 Fy F1sin45 10 1 F3 161.6 N 5