3.1.3 平面固定端约束
一物体的一端完全固定在另一物体上所构成的约 束称为固定端或插入端支座。
A
A
FA A MA
MA
FAy FAx
A
3.1.4 平面任意力系简化结果分析
四种情况：(1) F'R＝0，MO≠0 ; (2) F'R ≠ 0，MO ＝ 0 ; (3) F'R ≠ 0， MO≠0 ; (4) F'R＝0，MO＝0
F1 F2
y FR′
O
j
MO
Oi
x
Fn y
F 1 F 1 F 2 F 2
F n F n
F1′ M1
M2
O Mn
Fn′
F2′
M 1 M O (F1)
M 2 M O (F 2)
x
M n M O (F n)
3.1.2 平面任意力系向一点简化·主矢与主矩
平面任意力系 向一点简化 平面汇交力系+平面力偶系 其中平面汇交力系的合力为
第三章 平面任意力系
3 平面任意力系
• 平面任意力系向作用面内一点的简化 • 平面任意力系的平衡条件和平衡方程 • 物体系统的平衡·静定和超静定问题 • 平面简单桁架的内力计算
3.1 平面任意力系向作用面内一点简化
3.1.1 力线平移定理
定理：可以把作用在刚体上点A的力F平行
移到任一点B，但必须同时附加一个力偶，这
分布在较大范围内，不能看作集中力的荷载称分 布荷载。若分布荷载可以简化为沿物体中心线分布的 平行力，则称此力系为平行分布线荷载，简称线荷载。
思考：三角形分布载荷处理？
y R mA
x q dx l
R
x d l
简化中心：A点
主矢 R0l xl qdx12ql 主矩 LmA0 lxx lqd1 3 xq2l
(1)平面任意力系简化为一个力偶的情形
F'R＝0，MO≠0
原力系合成为合力偶。合力偶矩M等于原力系对简化 中心的主矩。此时主矩与简化中心的位置无关。
MOMO(F)
B
F1
F2
C
A
F4 D F3
四个力是否平衡？
3.1.4 平面任意力系简化结果分析
(2)平面任意力系简化为一个合力的情形·合力矩定理
如果主矩等于零，主矢不等于零，则此时平面 力系简化为一合力，作用线恰好通过简化中心。
Q q
l/2 l/2 Q q
2l
l
3
3
q1
q2
l
[例] 图示力系，已知：P1=100N, P2=50N, P3=200N,图中距离
单位cm。
y
求：1、力系主矢及对A点之矩？
2、力系简化最后结果。 P1
P2
B
4
R
解： 1、建立坐标系
A 6 3C
P3 x
2、X=∑Fx=P3 =200N
Y=∑Fy=P1+ P2 =100+50 =150N
3.1.2 平面任意力系向一点简化·主矢与主矩
平面任意力系中各力的矢量和称为平面任意力系 的主矢。主矢与简化中心的位置无关。
F R F R x + F R y F x i F yj
FR (Fx)2(Fy)2
c o s ( F R , i )
Fx F R
c o s ( F R ,
j)
Fy F R
∴主矢 R X 2 Y 2 22 0 12 0 5 2N 0 50
c o s co R ,s x) (X20 0 .0 8 ∴ =36.9°
R 250
m A m A ( F i ) P 2 6 5 6 3 0 N c 0 m 0
2、简化最终结果
主矢 R 25 N0 方向： =36.9°
F R F 1 F 2 F n F 1 F 2 F n F i
平面力偶系的合成结果为 M O M 1 M 2 M n M O (F 1 ) M O (F 2 ) M O (F n ) M O (F i)
平面汇交力系力，FR′ (主矢，作用在简化中心) 平面力 偶 系力偶，MO (主矩，作用在该平面上)
简化最终结果
R=
R 1 ql 2
x
d
L
1 ql2 3
2l
R 1 ql 3
2
3.1.5 平行分布线荷载的简化
1、均布荷载 Q ql 2、三角形荷载 Q 1 ql
2
3、梯形荷载
可以看作一个三角形荷载和一 个均布荷载的叠加 结论：
1、合力的大小等于线荷载所组成几何 图形的面积。
2、合力的方向与线荷载的方向相同。 3、合力的作用线通过荷载图的形心。
3.1.2 平面任意力系向一点简化·主矢与主矩
原力系各力对简化中心力矩的代数和称为原力系
对简化中心的主矩。一般来说，主矩与简化中心的位
置有关。
n
n
M O M O(Fi) (xiF yiyiF xi)
i1
i1
平面任意力系向作用面内任一点O简化，可得 一个力和一个力偶。这个力等于该力系的主矢， 作用线通过简化中心O 。这个力偶的矩等于该 力系对于点O的主矩。主矢与简化中心的位置 无关，主矩和简化中心的位置有关。
个附加力偶的矩等于原来的力F对新作用点B的
矩。Biblioteka F′BF″ B
F＝
F＝
F′ MB
A
A
A
力线平移定理的逆步骤，亦可把一个力和一 个力偶合成一个力。
说明： ①力的平移定理揭示了力与力偶的关系：力
力+力偶
②力平移的条件是附加一个力偶m，且m与d有关，m=F•d
③力的平移定理是力系简化的理论基础。
3.1.2 平面任意力系向一点简化·主矢与主矩
F M
R
O
0
0
FR (Fx)2 (Fy)2 MO MO(Fi)
3.2 平面任意力系的平衡条件和平衡方程
3.2. 2 平衡方程 由于 F R ( F x)2 ( F y)2,M O M O (F i)
y
P2
P1
mA
B
A
R R C
P3 x
主矩 LA = m A30 N0 cm
最终结果 合力
大小： R R 2N 50方向: =36.9° 在A点左还是右？
位置图示： hL3001.2cm R 250
3.2 平面任意力系的平衡条件和平衡方程
3.2.1 平衡条件
平面任意力系平衡的必要与充分条件是：力系 的主矢和对任一点的主矩都等于零。即
如果主矢和主矩均不等于零，此时还可进一步 简化为一合力。如图
FR′
MO
O
O′
FR′
FR
O d
FR″
O′
O
d
d MO FR
FR O′
3.1.4 平面任意力系简化结果分析
从图中可以看出
M O(F R)F RdM O
由主矩的定义知：
所以
MOMO(Fi) M O(F R)M O(F i)
FR
O
O′
d
结论：平面任意力系的合力对作用面内任一点的矩等 于力系中各力对同一点的矩的代数和。这就是平面任 意力系的合力矩定理。