【知识结构】1.有理数指数幂(1)幂的有关概念①正数的正分数指数幂:0,,1)m n a a m n N n *=>∈>、且;②正数的负分数指数幂: 10,,1)mn mn a a m n N n a -*==>∈>、且③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义.注:分数指数幂与根式可以互化,通常利用分数指数幂进行根式的运算。
(2)有理数指数幂的性质①a r a s =a r+s (a>0,r 、s ∈Q );②(a r )s =a rs (a>0,r 、s ∈Q );③(ab)r =a r b s (a>0,b>0,r ∈Q );.例2 (1)计算:25.02121325.0320625.0])32.0()02.0()008.0()945()833[(÷⨯÷+---;(2)化简:5332332323323134)2(248a a a a a b a a ab b ba a ⋅⋅⨯-÷++--变式:(2007执信A )化简下列各式(其中各字母均为正数):(1);)(65312121132b a b a b a ⋅⋅⋅⋅--(2).)4()3(6521332121231----⋅÷-⋅⋅b a b a b a (3)100.256371.5()86-⨯-+(三)幂函数1、幂函数的定义形如y=x α(a ∈R )的函数称为幂函数,其中x 是自变量,α为常数注:幂函数与指数函数有本质区别在于自变量的位置不同,幂函数的自变量在底数位置,而指数函数的自变量在指数位置。
例1.下列函数中不是幂函数的是( )A .y x =B .3y x =C .2y x =D .1y x -=例2.已知函数()()2531m f x m m x --=--,当 m 为何值时,()f x :(1)是幂函数;(2)是幂函数,且是()0,+∞上的增函数;(3)是正比例函数;(4)是反比例函数;(5)是二次函数;变式 已知幂函数2223(1)m m y m m x --=--,当(0)x ∈+,∞时为减函数,则幂函数y =_______.2.幂函数的图像幂函数y =x α的图象由于α的值不同而不同.α的正负:α>0时,图象过原点和(1,1),在第一象限的图象上升;α<0时,图象不过原点,在第一象限的图象下降,反之也成立;3、幂函数的性质y=xy=x 2 y=x 3 12y x = y=x -1 定义域R R R [0,+∞) {}|0x x R x ∈≠且 值域R [0,+∞) R [0,+∞) {}|0y y R y ∈≠且 奇偶性奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 增 x ∈[0,+∞)时,增; x ∈(,0]-∞时,减增 增 x ∈(0,+∞)时,减;x ∈(-∞,0)时,减 定点(1,1) 例3.比较大小: (1)11221.5,1.7 (2)33( 1.2),( 1.25)--(3)1125.25,5.26,5.26---(4)30.530.5,3,log 0.54.幂函数的性质及其应用幂函数y =x α有下列性质:(1) 单调性:当α>0时,函数在(0,+∞)上单调递增;当α<0时,函数在(0,+∞)上单调递减.(2)奇偶性:幂函数中既有奇函数,又有偶函数,也有非奇非偶函数,可以用函数奇偶性的定义进行判断.例4.已知幂函数223m m y x --=(m Z ∈)的图象与x 轴、y 轴都无交点,且关于原点对称,求m 的值.6.性质:(1)幂函数的图象都过点 ;任何幂函数都不过 象限;(2)当0a >时,幂函数在[0,)+∞上 ;当0a <时,幂函数在(0,)+∞上 ;(3)当2,2a =-时,幂函数是 ;当11,1,3,3a =-时,幂函数是 .例6右图为幂函数y x α=在第一象限的图像,则,,,a b c d的大小关系是 ( )()A a b c d >>>()B b a d c >>> ()C a b d c >>> ()D a d c b >>>例7 若点错误!未找到引用源。
在幂函数错误!未找到引用源。
的图象上,点错误!未找到引用源。
在幂函数错误!未找到引用源。
的图象上,定义错误!未找到引用源。
,试求函数错误!未找到引用源。
的最大值以及单调区间。
例8 若函数错误!未找到引用源。
在区间错误!未找到引用源。
上是递减函数,求实数错误!未找到引用源。
的取值范围。
【巩固练习】1.在函数22031,3,,y y x y x x y x x===-=中,幂函数的个数为 ( )b cA .0B .1C .2D .32、幂函数的图象都经过点( )A .(1,1)B .(0,1)C .(0,0)D .(1,0)3、幂函数25-=x y 的定义域为( )A .(0,+∞)B .[0,+∞)C .RD .(-∞,0)U (0,+∞)4.若幂函数()a f x x =在()0,+∞上是增函数,则 ( )A .a >0B .a <0C .a =0D .不能确定5.若幂函数()1m f x x -=在(0,+∞)上是减函数,则 ( )A .m >1B .m <1C .m =lD .不能确定6.若函数f (x )=x 3(x ∈R),则函数y =f (-x )在其定义域上是( )A .单调递减的偶函数B .单调递减的奇函数C .单调递增的偶函数D .单调递增的奇函数7.已知幂函数f (x )=x α的部分对应值如下表:x1 12 f (x) 122 则不等式f (|x |)≤2的解集是( )A .{x |-4≤x ≤4}B .{x |0≤x ≤4}C .{x |-2≤x ≤2}D .{x |0<x ≤2}8.如果幂函数y =(m 2-3m +3)的图象不过原点,则m 的取值是( ) A .-1≤m ≤2B .m =1或m =2C .m =2D .m =19、当x ∈(1,+∞)时,函数)y =a x 的图象恒在直线y =x 的下方,则a 的取值范围是A 、a <1B 、0<a <1C 、a >0D 、a <0二、填空题:11、若21)1(-+a <21)23(--a ,则a 的取值范围是____; 12.函数23-=x y 的定义域为___________.(A ) (B ) (C ) (D ) (E ) (F )13.幂函数y =f (x )的图象经过点⎝⎛⎭⎪⎫-2,-18,则满足f (x )=27的 x 的值是________.14.已知a =5-12,函数f (x )=a x ,若实数m ,n 满足f (m )>f (n ),则m , n 的大小关系为________.幂函数的性质与图像测试一、填空题1.若幂函数()y f x =的图像过点2⎫⎪⎪⎝⎭,则函数()y f x =的解析式为__________.2.已知函数()()22144mm f x m m x --=--是幂函数,则实数m 的值为__________. 3.幂函数223n n y x --=()n N ∈的图像与两坐标无交点且关于y 轴对称,则n 的值等于_________.4.设1112,1,,,,1,2,3232a ⎧⎫∈---⎨⎬⎩⎭,已知幂函数()f x x α=是偶函数,且在区间()0,+∞上是减函数,则满足要求的α值的个数是__________.5.已知函数()1a x f x x a -=--的图像的对称中心是()3,1-,则函数()f x 的单调递减区间是_________.6.已知幂函数()y x R αα=∈的图像当01x <<时,在直线y x =的上方;当1x >时在直线y x =的下方,则α的取值范围是__________.7.函数y =的图像可以看成由幂函数12y x =的图像向__________平移________个单位.8.已知()()1133132x x --+<-,则实数x 的取值范围是_________.二、选择题9.如图,M 、N 、P 、Q 分别为幂函数图像上的点,且他们的纵坐标相同,若四个幂函数为①3y x -=;②2y x -=;③23y x -=;④13y x -=,则M 、N 、P 、Q 与四个函数序号的对应顺序只可能是( ). (A )①②③④(B)②③④① (C)②①③④ (D)③②①④10.下列函数中,是奇函数且在()0,+∞上是增函数的是( ).(A)53y x -=(B) 53y x = (C)54y x = (D)43y x = 11.当()1,x ∈+∞时,下列函数的图像全在直线y x =下方且为偶函数的是( ). (A)12y x = (B) 4y x -= (C)4y x = (D)1y x -=12.设()y f x =和()y g x =是两个不同的幂函数,集合()(){}|M x f x g x ==,则集合M 中元素的个数是( )(A)1或2或0(B) 1或2或3 (C)1或2或3或4(D)0或1或2或3 三、解答题13.研究函数23y x =的定义域、值域、奇偶性和单调性,并画出其大致图像.。