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定积分在经济学中的应用文稿演示


一、已知边际函数求总函数
问题:已知某边际经济函数,求该总经济量.
设某个经济函数 u(x)的边际函数为u(x), 则有
于是
xu(x)d xu(x)u(0)
0
u(x)u(0)xu(x)d.x 0
1. 已知生产某产品的边际成本为 C ( x ) ,x为产量, 固定成本为C(0), 则总成本函数为
x
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(优选)定积分在经 济学中的应用
4.边际
f(x) 在 x=x0处的边际值为f′(x0).
边际的经济意义:当xx0时, x 改变一个单位, y 改变
f(x0) 个单位 .
5.常用的边际函数
边际成本;边际收益;边际利润
第六章
定积分在经济学中的应用
➢ 一、已知边际函数求总函数 ➢ 二、资金流的现值和未来值
三、收益流的现值与未来值
1. 单利
假设在期初投资一个单位的本金,在每一时期内 都得到完全相同的利息金额,这种计息方式为单利.
设有本金A0,年利率为r,则一年后得利息A0r,本利和 为A0+A0r=A0(1+r),n年后所得利息nA0r,本利和为
An=A0+nA0r=A0(1+nr). 这就是单利的本利和计算公式.
三、收益流的现值与未来值
2. 复利
这种计息方式的基本思想是:利息收入自动被 计入下一期的本金. 就像常说的“利滚利”.
第二年以第一年后的本利和A1为本金,则两年后的 本利和为A2=A0(1+r)+A0(1+r)r=A0(1+r)2,照 此计算,n年后应得本利和为
An=A0(1+r)n. 这就是一般复利的本利和计算公式.
C(80)C(40) C(x)dx 40 143.96 (万元)
当产量从40台增加到80台时,总收入的增量为;
80
R(80)R(40) R(x)dx 40 240 (万元)
二、由变化率求总量
例5 某工厂生产某商品, 在时刻 t 的总产量变化率
为 x(t)10 10 t2 (单位/小时). 求由 t = 2 到 t = 4 这两小时
C(x)0C(x)dxC(0)
2. 已知销售某产品的边际收益为 R(x),x为销售量, R(0)=0, 则总收益函数为
x
R(x)0R(x)dx
3. 设利润函数L(x)=R(x)-C(x),其中x为产量, R(x)是收益函数,C(x)是成本函数,若 L(x),R(x),C(x)均可导,则边际利润为: L (x)=R(x)-C(x).
lni m A0[(1nr)nr]rt
A0ert.
这就是连续复利公式.
3. 连续复利
期数趋于无穷大的极限情况下的计息方式,即每时
每刻计算复利的方式称为连续复利. 因此,在年利率为r的情形下,若采用连续复利,有:
(1)已知现值为A0, 则t年后的未来值为 At=A0ert,
贴现值:时刻t的一个货币单位在时刻0时的价值.
R(x) 30 2 x
1 x2
(万元/台).
5
(1) 若不变成本为C(0)=10 (万元/台),求总成本函数,
总收入函数和总利润函数;
(2)当产量从40台增加到80台时,总成本与总收入的增量;
解:
(1)总成本为 C ( x)
x
C(0)0 C(x)dx
x 150
10 [
1]dx
0 1x2
10150ln(x1x2)x
例2 已知边际收益为 R (x)7 8 2x , 设R(0) = 0, 求
收益函数R(x) .

x
R (x)R (0) (7 82x)dx
0
78xx2.
例3:设某商品的边际收益为 R(Q)200 Q
100
(1) 求销售50个商品时的总收益和平均收益; (2) 如果已经销售了100个商品,求再销售
(2)已知未来值为At , 则贴现值为 A0 = At 道, 若以连续复利率 r 计息, 一笔 P 元人民币 从现在起存入银行, t 年后的价值(将来值)
的总产量 .

总产量
4
4
Q x (t)d t (10 10 t)2 dt
2
2
[10t06t2]4 227. 2
例6 生产某产品的边际成本为C (x ) 1 5 0 .2 x 0 , 当
产量由200增加到300时, 需追加成本为多少?
解 追加成本
C 2300(0 10 500.2x)dx[15x 00.1x2]3 20 00 01000.0
由于当产量为零时总收入为零,即R(0)=0,于是
总收入为
x
R(x)R(0) R(x)dx
0
x
2
00
(30 x)dx 5
30 x 1 x2 5
总利润函数为 L (x)R (x)C (x)
2 9x1x21 5 0ln (x1x2)1 0 5
(2)当产量从40台增加到80台时,总成本的增量为;
80
因此总利润为:
x
L(x)0L(x)dxL(0)
x
0[R (x)C(x)]dxC(0)
例1 生产某产品的边际成本函数为
C (x)3x21x 4 100 固定成本 C(0) = 1000, 求生产 x 个产品的总成本函数 .
解 C(x)C(0) xC(x)dx 0 100 x(3 0 x2 1x 4 1)0 d0 x 0 10x 0 3 0 7x210 x.0
100个商品的总收益和平均收益;
解: (1) 总收益函数:
R(Q)
QR(Q)dQQ[200Q]dQ200Q 1 Q2
0
0
100
200
R(50)9987.5
平均收益: R(50) R(50) 199.75
50
例3:设某商品的边际收益为R(Q)200 Q
100
(1) 求销售50个商品时的总收益和平均收益;
资金周转过程是不断持续进行的, 若一年中分n期计算, 年利率仍为r,于是每期利率为r/n ,则一年后的本利和为
A1=A0(1+ r/n )n, t年后本利和为
At=A0(1+ r/n )nt ,
若采取瞬时结算法,即随时生息,随时计算,也就是n→∞时,
得t年后本利和为 At lni mA0(1nr)nt
(2) 如果已经销售了100个商品,求再销售
100个商品的总收益和平均收益;
解: (2) 总收益为:
R (200)R (100)
200
Q
[200 ]dQ
19850
100
100
平均收益: RR(200)R(100) 198.5
200100
例4:已知生产某产品x台的边际成本为C(x) 150 1
(万元/台),边际收入为
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