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2018 年全国高中数学联赛安徽省初赛试卷
（考试时间：2018 年 6 月 30 日上午 9:00—11:30）
题号
一
二
总分
9
10
11
12
得分 评卷人
复核人
注意：1.本试卷共 12 小题，满分 150 分； 2.用钢笔、签字笔或圆珠笔作答；
3.书写不要超过装订线；
4.不得使用计算器.
一、 填空题（每题 8 分，共 64 分，结果须化简）
1：设三个复数1, i, z 在复平面上对应的三点共线，且| z |=5 ，则 z =________.
2
：设n 是正整数，且满足n 5 = 438427732293 ，则 n =________
.
3：函数 f (x)=| sin(2x)+sin(3x)+sin(4x) | 的最小正周期=________
.
4：设点 P, Q 分别在函数y = 2x
和y = log x 的图象上，则| PQ | 的最小值__________.
5：从1, 2,,10 中随机抽取三个各不相同的数字，其样本方差 s 2 ≤ 1 的概率为_________
.
6：在边长为 1 的正方体ABCD - A 1B 1C 1D 1内部有一小球，该小球与正方体的对角线段 AC1 相切，则
小球半径的最大值为_________
.
7：设 H 是△ABC 的垂心，且3HA 4HB 5HC 0 ，则cos AHB ________
8：把1,2,……, n 2按照顺时针螺旋方式排成n 行n 列的表格Tn ，第一行是1,2,……,n 例如（图1）：设
2018在T100的第i 行第j 列，则(i,j)=________
(图1)
二、解答题（第 9—10 题每题 21 分，第 11—12 题每题 22 分，共 86 分）
3. 如图所示，设 ABCD 是矩形，点 E , F 分别是线段 AD , BC 的中点，点G 在线段 EF 上，点 D , H 关于
线段 AG 的垂直平分线l 对称.求证: ∠HAB = 3∠GAB .
D
C
E
F
A
B
4.设O 是坐标原点，双曲线C : x
a2
y2
-=1(a > 0, b > 0) 上动点M 处的切线交C 的两条渐近线于A, B b2
两点.
（1）求证: △AOB 的面积S 是定值；
（2）求△AOB 的外心P 的轨迹方程.
5.（1）求证：对于任意实数x, y, z 都有x2 + 2 y2 + 3z2 ≥3(xy +yz +zx) .
（2）是否存在实数k >，使得对于任意实数x, y, z 下式恒成立？
x2 + 2 y2 + 3z2 ≥k (xy +yz +zx)
试证明你的结论.
6.在正2018 边形的每两个顶点之间均连一条线段，并把每条线段染成红色或蓝色.
求此图形中三边颜色都相同的三角形的最小个数
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