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函数及其表示练习题含详细答案解析

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2、试判断以下各组函数是否表示同一函数?
(1)f (x )=2x ,g (x )=33x ;
(2)f (x )=x x ||,g (x )=⎩
⎨⎧<-≥;01,01x x (3)f (x )=1212++n n x ,g (x )=(12-n x )2n -1(n ∈N *);
(4)f (x )=x
1+x ,g (x )=x x +2; (5)f (x )=x 2-2x -1,g (t )=t 2-2t -1。

解:(1)由于f (x )=2x =|x|,g (x )=33x =x ,故它们的值域及对应法则都不相同,
所以它们不是同一函数;
(2)由于函数f (x )=x x ||的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),而g (x )=⎩
⎨⎧<-≥;01,01x x 的定义域为R ,所以它们不是同一函数;
(3)由于当n ∈N *时,2n ±1为奇数,
∴f (x )=1212++n n x =x ,g (x )=(12-n x )2n -1=x ,它们的定义域、值域及对应法则都相同,所以它们是同一函数;
(4)由于函数f (x )=x 1+x 的定义域为{x|x ≥0},而g (x )=x x +2的定义域为{x|x ≤-1或x ≥0},它们的定义域不同,所以它们不是同一函数;
(5)函数的定义域、值域和对应法则都相同,所以它们是同一函数
注:对于两个函数y=f (x )和y=g (x ),当且仅当它们的定义域、值域、对应法则都相同时,y=f (x )和y=g (x )才表示同一函数若两个函数表示同一函数,则它们的图象完全相同,反之亦然。

3、求下列函数的值域:
(1)232y x x =-+;(2
)y =3)
312x y x +=-; (4
)y x =+5
)y x =6)|1||4|y x x =-++;
(7)22221x x y x x -+=++;(8)
2211()212x x y x x -+=>-;
解:(1)(配方法)
2212323323()61212y x x x =-+=-+≥, ∴232y x x =-+的值域为23[,)12+∞
(2)求复合函数的值域:

265x x μ=---(0μ≥
),则原函数可化为y 又∵
2265(3)44x x x μ=---=-++≤, ∴04μ≤≤
[0,2],
∴y =[0,2]
(3)(法一)反函数法:
312x y x +=-的反函数为
213x y x +=-,其定义域为{|3}x R x ∈≠, ∴原函数312x y x +=
-的值域为{|3}y R y ∈≠ (法二)分离变量法:
313(2)773222x x y x x x +-+===+---, ∵702x ≠-,∴7332x +≠-, ∴函数312x y x +=
-的值域为{|3}y R y ∈≠
(4
)换元法(代数换元法):设0t =,则21x t =-,
∴原函数可化为2214(2)5(0)y t t t t =-+=--+≥,∴5y ≤,
∴原函数值域为(,5]-∞
注:总结y ax b =+
变形:2y ax b =+
2
y ax b =+(5)三角换元法:
∵21011x x -≥⇒-≤≤,∴设cos ,[0,]x ααπ=∈,
则cos sin )
4y πααα=+=+

[0,]
απ
∈,∴
5
[,]
444
πππ
α+∈
,∴
sin()[
42
π
α+∈

)[
4
π
α+∈-

∴原函数的值域为
[1-
(6)数形结合法:
23(4) |1||4|5(41)
23(1)
x x
y x x x
x x
--≤-


=-++=-<<

⎪+≥
⎩,

5
y≥,∴函数值域为[5,)
+∞
(7)判别式法:∵210
x x
++>恒成立,∴函数的定义域为R

2
2
22
1
x x
y
x x
-+
=
++得:2
(2)(1)20
y x y x y
-+++-=①
①当
20
y-=即2
y=时,①即300
x+=,∴0
x R
=∈
②当
20
y-≠即2
y≠时,∵x R
∈时方程2
(2)(1)20
y x y x y
-+++-=恒有实根,
∴△
22 (1)4(2)0
y y
=+-⨯-≥,
∴15
y
≤≤且2
y≠,
∴原函数的值域为
[1,5]
(8)
2
1 21(21)1111
2
1 21212122
2 x x x x
y x x
x x x x
-+-+
===+=-++ ----


1
2
x>
,∴
1
2
x->


1
12
1
2
2
x
x
-+≥
-

当且仅当
1
12
1
2
2
x
x
-=
-
时,即
1
2
x
+
=
时等号成立

1
2
y≥

∴原函数的值域为1 ,) 2
+∞
4、求函数的解析式
(1)已知
3311()f x x x x +=+,求()f x ; (2)已知2(1)lg f x x +=,求()f x ;
(3)已知()f x 是一次函数,且满足3(1)2(1)217f x f x x +--=+,求()f x ;
(4)已知()f x 满足12()()3f x f x x +=,求()f x ;
解:(1)配凑法:∵
3331111()()3()f x x x x x x x x +=+=+-+, ∴
3()3f x x x =-(2x ≥或2x ≤-); (2)换元法:令21t x +=(1t >),则
21x t =-, ∴2()lg
1f t t =-,2()lg (1)1f x x x =>-;
(3)待定系数法:设()(0)f x ax b a =+≠,
则3(1)2(1)333222f x f x ax a b ax a b +--=++-+-5217ax b a x =++=+, ∴2a =,7b =,
∴()27f x x =+;
(4)方程组法:12()()3f x f x x += ①
把①中的x 换成1x ,得
132()()f f x x x += ②, ①2⨯-②得33()6f x x x =-

1
()2f x x x =-。

5.设a 是正数,ax+y=2(x ≥0,y ≥0),记y+3x -2
1x 2的最大值是M(a),试求:M(a)的表达式; 解 将代数式y+3x -21
x 2表示为一个字母,由ax+y=2解出y 后代入消元,建立关于x 的二
次函数,逐步进行分类求M(a)。

设S(x)=y+3x -21
x 2,将y=2-ax 代入消去y ,得:
S(x)=2-ax+3x -21
x 2
=-21
x 2+(3-a)x+2
=-21[x -(3-a)]2+21
(3-a)2+2(x ≥0)
∵y ≥0 ∴2-ax ≥0
而a>0 ∴0≤x ≤a 2
下面分三种情况求M(a)
(i)当0<3-a<a 2
(a>0),即
⎩⎨⎧>+-<<023302a a a 时
解得 0<a<1或2<a<3时
M(a)=S(3-a)= 21
(3-a)2+2
(ii)当3-a ≥a 2
(a>0)即
⎩⎨⎧≤+->02302a a a 时,
解得:1≤a ≤2,这时 M(a)=S(a 2)=2-a ·a 2+3·a 2-21·2
)2(a
=-22a +a 6
(iii)当3-a ≤0;即a ≥3时
M(a)=S(0)=2
综上所述得:
M (a )=⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧≥<<+-≤≤+-<<+-)3(2)32(2)3(21)21(62)10(2)3(21222a a a a a a a a 。

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