又f(4)-f(1)=-2 7 +6a<0,即f(4)<f(1),
2
所以f(x)在[1,4]上最小值为f(4)= 8a- 4 0 =-1 6 ,
33
得a=1,x2=2,从而f(x)在[1,4]上的最大值为f(2)=1 30 .
例4. 已知函数f(x)= x3x2bxc(x1) 的图象过点(-1,2),且在x=
3
∵f(-1)=2,f(2 )= 4 , f(0)=0, f(1)=0,
3 27
∴f(x)在[-1,1)上的最大值为2. ②当1≤x≤e时,f(x)=aln x, 当a≤0时,f(x)≤0;当a>0时,f(x)在[1,e]上单调递增, ∴f(x)在[1,e]上的最大值为a. 综上:当a≥2时,f(x)在[-1,e]上的最大值为a;当a<2时,f(x)在[-1,e]上 的最大值为2.
alnx(x1)
2 3
处取得极值.
(1)求实数b,c的值;
(2)求f(x)在[-1,e](e为自然对数的底数)上的最大值.
【解析】(1)当x<1时,f'(x)= - 3x2+2x+b,
f ( 1) 2 2 b c 2
由题意得:
f
'(
2 3
)
0
,即 3
4 9
4 3
b
0
,
解得:b=c=0.
3
39
令 2 +2a>0,得a>- 1 .
9
9
所以,当a>- 1 时,f(x)在( 2 ,+∞)上存在单调递增区间.
9
3
(2)令f'(x)=0得两根x1=1
1 8a 2
x2= 1
1 8a.
2
所以f(x)在(-∞,x1),(x2,+∞)上单调递减,在(x1,x2)上单调递增.
当0<a<2时,有x1<1<x2<4,所以f(x)在[1,4]上的最大值为f(x2).
先求函数f(x)在(a,b)内的极值,再将函数f(x)的各极值与f(a)和f(b)比 较,其中最大的是最大值,最小的是最小值.
三 . 定积分
1.定积分的性质
b
a
kf(x)dx=k
b
a
f(x)dx(k为常数);
b
b
b
a [f(x)±g(x)]dx= a f(x)dx± a g(x)dx;
b
c
a f(x)dx= a
例5. 已知函数f(x)=ln x-ax2+(2-a)x.
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)设a>0,证明:当0<x<1
a
时,f(
1 a
1
+x)>f( a
-x);
(3)若函数y=f(x)的图象与x轴交于A,B两点,线段AB中点的横坐标为x0,证 明:f'(x0)<0.
(A) 4 ,0.
27
(B)0, 4 .
27
(C)- 4 ,0.
27
(D)0,- 4 .
27
【答案】A
例3.
(2011年·江西)设f(x)= - 1
3
x3+
1 2
x2+2ax.
(1)若f(x)在(2 ,+∞)上存在单调递增区间,求a的取值范围;
3
(2)当0<a<2时,f(x)在[1,4]上的最小值为- 1 6 ,求f(x)在该区间上的最大值.
专题复习 导数及其应用（1）
一.导数及运算性质
1.常见函数的导数公式:C'=0(C为常数),(xn)'=n·xn-1,(sin x)'=cos x,
1
1
(cosx)'=-sin x,(ex)'=ex,(ax)'=axln a,(ln x)'= x ,(logax)'= x l n a.
2.两个函数的和、差、积、商的求导法则:[f(x)±g(x)]'=f'(x)±g'(x),[f
b
f(x)dx+ c
f(x)dx(其中a<c<b).
2.微积分基本定理
b a
f(x)dx=F(x)
b a
=F(b)-F(a)(其中F'(x)=f(x)).
3.由三条直线x=a,x=b(a<b),x轴及一条曲线
b
y=f(x)(f(x)≥0)围成的曲边梯形的面积S= a f(x)dx;
由曲线y1=f1(x),y2=f2(x)(不妨设f1(x)≥f2(x)≥0),
(2)由(1)知:f(x)=x3 x2(x 1)
a ln x(x 1)
①当-1≤x<1时,f'(x)=-x(3x-2),
由f'(x)>0得0<x<2 ;
3
解f'(x)<0得-1<x<0或2 <x<1
3
∴f(x)在(-1,0)和(2 ,1)上递减,在(0, 2 )上递增,
3
3
由f'(x)=-x(3x-2)=0得x=0或x=2 ,
)
(A)1 5 .
4
(B)1 7 .
4
(C) ln 2.
(D) 2ln 2.
(3)曲线y= 1 x3+x在点(1, 4 )处的切线与坐标轴围成的三角形面积为
3
3
【答案】(1)3 -2 (2)D (3) 1
9
例2. 已知函数f(x)=x3-px2-qx的图象与x轴切于(1,0)点,则f(x) 的极大值、极小值分别为 ( )
2.设函数y=f(x)在某个区间可导,如果f'(x)>0,则f(x)在该区间上为增 函数;如果f'(x)<0,则f(x)在该区间上为减函数.
3.曲线在极大值点左侧切线的斜率为正,右侧的为负;曲线在极小 值点左侧切线的斜率为负,右侧的为正.
4.在区间[a,b]上连续的函数f(x)在[a,b]上必有最大值与最小值.
b
b
及直线x=a,x=b(a<b)围成的图形的面积(如图)S= a f1(x)dx.- a f2(x)dx.
例1. (1)设函数f x =x2+ln x,若曲线y=f x 在点 1, f 1 处的切线方程为y=
ax+b,则a=
,b=
.
1 (2)由直线x= 2 ,
x=2,曲线y= 1 及x轴所围图形的面积是 ( x
3
【分析】(1)f'(x)的解析式为二次函数式,故可利用配方法并借助二次函
数的单调性求a的取值范围;(2)先利用导数研究函数f(x)的单调性,再进一
步研究其最值.
【解析】(1)由f'(x)=-x2+x+2a=-(x- 1 )2+ 1 +2a,
24
x∈[ 2 ,+∞)时,f'(x)的最大值为f'( 2 )=2 +2ห้องสมุดไป่ตู้.
(x)g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x),[ f ( x ) ]'
f '(x)g(x)f(x)g'(x)
=
g2(x)
且g(x)≠0.
g (x)
3.复合函数求导:[f(g(x))]'=f'(g(x))g'(x).
二.导数应用
1.函数y=f(x)在点x0处的导数的几何意义是曲线y=f(x)在点p(x0,f(x0)) 处的切线的斜率.