排列组合综合题（3）一、选择题1.在某市记者招待会上，需要接受本市甲、乙两家电视台记者的提问，两家电视台均有记者5人，主持人需要从这10名记者中选出4名记者提问，且这4人中，既有甲电台记者，又有乙电视台记者，且甲电视台的记者不可以连续提问，则不同的提问方式的种数为()A. 1200B. 2400C. 3000D. 36002.用红、黄、蓝三种颜色给如图所示的六个相连的圆涂色，若每种颜色只能涂两个圆，且相邻两个圆所涂颜色不能相同，则不同的涂色方案的种数是()A. 12B. 24C. 30D. 363.将4名学生分配到甲、乙、丙3个实验室准备实验，每个实验室至少分配1名学生的不同分配方案共有()A. 12种B. 24种C. 36种D. 48种4.用四种不同颜色给图中的A，B，C，D，E，F6个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法有()A. 168种B. 240种C. 264种D. 288种5.某地区高考改革，实行“3+2+1”模式，即“3”指语文、数学、外语三门必考科目，“1”指在物理、历史两门科目中必选一门，“2”指在化学、生物、政治、地理以及除了必选一门以外的历史或物理这五门学科中任意选择两门学科，则一名学生的不同选科组合有()A. 8种B. 12种C. 16种D. 20种6.4名大学生到三家企业应聘，每名大学生至多被一家企业录用，则每家企业至少录用一名大学生的情况有()A. 24种B. 36种C. 48种D. 60种7.七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是()A. 3600种B. 1440种C. 4820种D. 4800种8.第十一届全国少数民族传统体育运动会在河南郑州举行，某项目比赛期间需要安排3名志愿者完成5项工作，每人至少完成一项，每项工作由一人完成，则不同的安排方式共有多少种()A. 60B. 90C. 120D. 1509.定义“三角恋写法”为“三个人之间写信，每人给另外两人之一写一封信，且任意两个人不会彼此给对方写信”，若五个人a,b,c,d,e中的每个人都恰好给其余四人中的某一个人写了一封信，则不出现“三角恋写法”写法的写信情况的种数为()A. 704B. 864C. 1004D. 101410.4种不同产品排成一排参加展览，要求甲、乙两种产品之间至少有1种其它产品，则不同排列方法的种数是()A. 12B. 10C. 8D. 6二、填空题（本大题共7小题，共35.0分）11.如图，将标号为1，2，3，4，5的五块区域染上红、黄、绿三种颜色中的一种，使得相邻区域(有公共边)的颜色不同，则不同的染色方法有______种．12.“五一”黄金周将至，小明一家5口决定外出游玩，购买的车票分布如下：窗口 6排A座 6排B座 6排C座走廊 6排D座 6排E座窗口其中爷爷喜欢走动，需要坐靠近走廊的位置；妈妈需照顾妹妹，两人必须坐在一起，则座位的安排方式一共有______种．13.有甲乙丙三项任务，甲乙各需一人承担，丙需2人承担且至少一个是男生，现从3男3女共6名学生中选出4人承担这三项任务，不同的选法种数是______.(用数字作答)14.将红、黄、蓝三种颜色的三颗棋子分别放入3×3方格图中的三个方格内，如图，要求任意两颗棋子不同行、不同列，且不在3×3方格图所在正方形的同一条对角线上，则不同的放法共有____种．15.12名同学站成前后两排，前排4人，后排8人，现要从后排8人中选2人站到前排，若其他同学的相对顺序不变，则不同的调整方法种数为______ 种．16.有6张卡片分别写有数字1，1，1，2，3，4，从中任取3张，可排出不同的三位数的个数是______.(用数字作答)17.在“2022北京冬奥会”宣传活动中，甲、乙、丙、丁等4人报名参加了A、B、C三个项目的志愿者活动，每个项目至少需要1名志愿者，则共有种不同的方案．(用数字填写答案)三、解答题18.五个人站成一排，求在下列条件下的不同排法种数：⑴甲必须在排头；⑴甲、乙相邻；⑴甲不在排头，并且乙不在排尾；⑴其中甲、乙两人自左向右从高到矮排列且互不相邻19.已知某校有歌唱和舞蹈两个兴趣小组，其中歌唱组有4名男生，1名女生，舞蹈组有2名男生，2名女生，学校计划从两兴趣小组中各选2名同学参加演出．(1)求选出的4名同学中至多有2名女生的选派方法数；(2)记X为选出的4名同学中女生的人数，求X的分布列和数学期望．20.一场晚会有5个唱歌节目和3个舞蹈节目，要求排出一个节目单．(1)前4个节目中要有舞蹈，有多少种排法？(2)3个舞蹈节目要排在一起，有多少种排法？(3)3个舞蹈节目彼此要隔开，有多少种排法？21.我校今年五四表彰了19名的青年标兵，其中A，B，C，D 4名同学要按任意次序排成一排照相，试求下列事件的概率(1)A在边上；(2)A和B在边上；(3)A或B在边上；(4)A和B都不在边上．22.五个人站成一排.求分别有多少种不同排法？(1)2人站前排，3人站后排；(2)其中甲必须站在中间；(3)其中甲、乙两人必须相邻；(4)其中甲、乙两人不相邻；(5)其中甲、乙两人不相邻，但甲始终在乙的左边；(6)其中甲、乙两人不站排头和排尾；(7)其中甲不站排头，乙不站排尾；(8)其中甲、乙必须相邻，并且丙、丁不能相邻。

23.甲、乙两校各有3名教师报名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女．(Ⅰ)若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，求选出的2名教师性别相同的概率；(Ⅱ)若从报名的6名教师中任选2名，求选出的2名教师来自同一学校的概率．排列组合综合题（3）一、选择题1.在某市记者招待会上，需要接受本市甲、乙两家电视台记者的提问，两家电视台均有记者5人，主持人需要从这10名记者中选出4名记者提问，且这4人中，既有甲电台记者，又有乙电视台记者，且甲电视台的记者不可以连续提问，则不同的提问方式的种数为()A. 1200B. 2400C. 3000D. 3600【答案】B【解析】解：由题意，甲电台记者选1名，乙电视台记者选3人，不同的提问方式的种数为C51C53C41A33=1200；甲电台记者选2名，乙电视台记者选2人，不同的提问方式的种数为C52C52(A22⋅2A22+ A22A22)=1200，总共不同的提问方式的种数为2400，故选：B．由题意，甲电台记者选1名，乙电视台记者选3人，不同的提问方式的种数为C51C53C41A33=1200；甲电台记者选2名，乙电视台记者选2人，不同的提问方式的种数为C52C52(A22⋅2A22+A22A22)=1200，即可得出结论．本题考查排列组合知识的运用，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．2.用红、黄、蓝三种颜色给如图所示的六个相连的圆涂色，若每种颜色只能涂两个圆，且相邻两个圆所涂颜色不能相同，则不同的涂色方案的种数是()A. 12B. 24C. 30D. 36【答案】C【解析】【分析】本题考查排列、组合及简单计数问题，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．先涂前三个圆，再涂后三个圆．若涂前三个圆用3种颜色，求出不同的涂法种数．若涂前三个圆用2种颜色，再求出涂法种数，把这两类涂法的种数相加，即得所求．【解答】解：先涂前三个圆，再涂后三个圆．因为种颜色只能涂两个圆，且相邻两个圆所涂颜色不能相同，分两类，第一类，前三个圆用3种颜色，三个圆也用3种颜色，若涂前三个圆用3种颜色，有A33=6种方法；则涂后三个圆也用3种颜色，有C21C21= 4种方法，此时，故不同的涂法有6×4=24种．第二类，前三个圆用2种颜色，后三个圆也用2种颜色，若涂前三个圆用2种颜色，则涂后三个圆也用2种颜色，共有C31C21=6种方法．综上可得，所有的涂法共有24+6=30种．故选：C．3.将4名学生分配到甲、乙、丙3个实验室准备实验，每个实验室至少分配1名学生的不同分配方案共有()A. 12种B. 24种C. 36种D. 48种【答案】C【解析】【分析】本题考查分步计数原理以及排列、组合的综合应用．根据题意首先把4名学生分为3组，则有C42种分法，再把分好的3组分到甲、乙、丙3个实验室，则有A33种分法，进而再利用分步计数原理计算出答案．【解答】解：因为4名学生分配到甲、乙、丙3个实验室准备实验，每个实验室至少分配1名学生，所以首先把4名学生分为3组，则有一个组有2人，共有C42种分法，再把分好的3组分到甲、乙、丙3个实验室，则有A33种分法，所以共有C42A33=36种分法．故选C．4.用四种不同颜色给图中的A，B，C，D，E，F6个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法有()A. 168种B. 240种C. 264种D. 288种【答案】C【解析】【分析】本题主要考查排列组合的基础知识与分类讨论思想，属于较难题．【解析】解：∵图中每条线段的两个端点涂不同颜色，可以根据所涂得颜色的种类来分类，B，D，E，F用四种颜色，则有A44×1×1=24种涂色方法；B，D，E，F用三种颜色，则有A43×2×2+A43×2×1×2=192种涂色方法；B，D，E，F用两种颜色，则有A42×2×2=48种涂色方法；根据分类计数原理知共有24+192+48=264种不同的涂色方法．故选C．5.某地区高考改革，实行“3+2+1”模式，即“3”指语文、数学、外语三门必考科目，“1”指在物理、历史两门科目中必选一门，“2”指在化学、生物、政治、地理以及除了必选一门以外的历史或物理这五门学科中任意选择两门学科，则一名学生的不同选科组合有()A. 8种B. 12种C. 16种D. 20种【答案】C【解析】解：若在物理、历史两门科目中只选一门，则有C21C42=12种，若在物理、历史两门科目中选两门，则有C22C41=4种，根据分类计数原理可得，共有12+4=16种，故选：C．若在物理、历史两门科目中只选一门，若在物理、历史两门科目中选两门，根据分类计数原理可得本题考查了分类计数原理，考查了运算能力和转化能力，属于基础题．6. 4名大学生到三家企业应聘，每名大学生至多被一家企业录用，则每家企业至少录用一名大学生的情况有( )A. 24种B. 36种C. 48种D. 60种【答案】D【解析】【分析】本题考查排列、组合的综合运用，解题时要先确定分几类，属于基础题．分两类，第一类，有3名被录用，第二类，4名都被录用，则有一家录用两名，根据分类计数原理即可得到答案．【解答】解：分两类，第一类，有3名被录用，有A 43=24种，第二类，4名都被录用，则有一家录用两名，有C 31⋅C 42⋅A 22=36种，根据分类计数原理，共有24+36=60(种)，故选：D ．7. 七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是( )A. 3600种B. 1440种C. 4820种D. 4800种【答案】A【解析】【分析】本题考查了排列组合中的不相邻问题，属基础题．由排列组合中的不相邻问题插空法运算即可得解．【解答】解：①除甲乙外，其余5个排列数为A 55种，②用甲乙去插6个空位有A 62种，综合①②得：不同的排法种数是A 55A 62=3600种，故选：A ．8. 第十一届全国少数民族传统体育运动会在河南郑州举行，某项目比赛期间需要安排3名志愿者完成5项工作，每人至少完成一项，每项工作由一人完成，则不同的安排方式共有多少种( )A. 60B. 90C. 120D. 150【答案】D【解析】解：根据题意，分2步进行分析①、将5项工作分成3组若分成1、1、3的三组，有C 53C 21C 11A 22=10种分组方法， 若分成1、2、2的三组，有C 52C 32C 11A 22=15种分组方法， 则将5项工作分成3组，有10+15=25种分组方法；②、将分好的三组全排列，对应3名志愿者，有A 33=6种情况；所以不同的安排方式则有25×6=150种，故选：D ．根据题意，分2步进行分析：①、分两种情况讨论将5项工作分成3组的情况数目，②、将分好的三组全排列，对应3名志愿者由分步计数原理计算可得答案； 本题考查排列、组合的应用，注意分组时要进行分类讨论；9.定义“三角恋写法”为“三个人之间写信，每人给另外两人之一写一封信，且任意两个人不会彼此给对方写信”，若五个人a,b,c,d,e中的每个人都恰好给其余四人中的某一个人写了一封信，则不出现“三角恋写法”写法的写信情况的种数为()A. 704B. 864C. 1004D. 1014【答案】A【解析】【分析】利用间接法即可求出．【解答】解：由题意写信的情况共有45=1024种，出现三角恋写法的情况有4×4×2×C53=320，所以不出现三角恋写法的情况有1024−320=704，故选A．10.4种不同产品排成一排参加展览，要求甲、乙两种产品之间至少有1种其它产品，则不同排列方法的种数是()A. 12B. 10C. 8D. 6【答案】A【解析】解：4种不同产品排成一排所有的排法共有A44=24种，其中甲、乙两种产品相邻的排法有A22A33=12种，故甲、乙两种产品之间至少有1种其它产品，则不同排列方法的种数是排法有24−12=12种．故选：A．先求出所有的排法，再排除甲乙相邻的排法，即得甲、乙两种产品之间至少有1种其它产品，则不同排列方法的种数．本题主要考查排列与组合及两个基本原理的应用，相邻的问题用捆绑法，属于中档题．二、填空题11.如图，将标号为1，2，3，4，5的五块区域染上红、黄、绿三种颜色中的一种，使得相邻区域(有公共边)的颜色不同，则不同的染色方法有______种．【答案】30【解析】解：1有3种，若2和3相同，则有2种，5有2种，4有1种，若2和3不同，则有2有2，3有1种，若5与2相同，则4有2种，若5与2不同，则4有1种，根据分类分步计数原理可得，共有3[2×2×1+2×1×(2+1)]=30种，故答案为：30根据题意，分2和3相同，2与5相同，根据分类分步计数原理可得本题考查排列、组合的实际应用，涉及分步、分类计数原理的应用，属于基础题．12.“五一”黄金周将至，小明一家5口决定外出游玩，购买的车票分布如下：窗口 6排A座 6排B座 6排C座走廊 6排D座 6排E座窗口其中爷爷喜欢走动，需要坐靠近走廊的位置；妈妈需照顾妹妹，两人必须坐在一起，则座位的安排方式一共有______种．【答案】16【解析】【分析】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．先安排爷爷，再安排妈妈、妹妹，即可得出结论．【解答】解：爷爷选D座，妈妈、妹妹，有2A22A22=8种，爷爷选C座，妈妈、妹妹，有A22A22A22=8种，所以座位的安排方式一共有16种，故答案为16．13.有甲乙丙三项任务，甲乙各需一人承担，丙需2人承担且至少一个是男生，现从3男3女共6名学生中选出4人承担这三项任务，不同的选法种数是______.(用数字作答)【答案】144【解析】【分析】本题考查分类分步计数原理，以及排列组合的综合应用，关键是分类，属于基础题．由题意，分两类，若丙选择一名男生一名女生，若丙选择两名男生，根据分类计数原理即可求出．【解答】解：若丙选择一名男生一名女生，甲乙任意选，故有C31C31A42=108种，若丙选择两名男生，甲乙任意选，故有C32A42=36种，根据分步计数原理可得共有108+36=144种，故答案为：144．14.将红、黄、蓝三种颜色的三颗棋子分别放入3×3方格图中的三个方格内，如图，要求任意两颗棋子不同行、不同列，且不在3×3方格图所在正方形的同一条对角线上，则不同的放法共有____种．【答案】24【解析】【分析】本题考查分步计数原理的应用，注意用间接法分析．根据题意，用间接法分析，先计算三颗棋子分别放入3×3方格图中的三个方格中任意两颗棋子不同行、不同列的放法数目，再排除其中在同一条对角线上的数目，分析即可得答案．【解答】解：根据题意，用间接法分析：若三颗棋子分别放入3×3方格图中的三个方格内，且任意两颗棋子不同行、不同列；第一颗棋子有3×3=9种放法，第二颗棋子有2×2=4种放法，第三颗棋子有1种放法，则任意两颗棋子不同行、不同列的放法有9×4×1=36种，其中在正方形的同一条对角线上的放法有2×A33=12种，则满足题意的放法有36−12=24种；故答案为：24．15.12名同学站成前后两排，前排4人，后排8人，现要从后排8人中选2人站到前排，若其他同学的相对顺序不变，则不同的调整方法种数为______ 种．【答案】840【解析】【分析】先从后排的8人中抽2人，再把抽出的2人插入前排，其他人的相对顺序不变，利用乘法原理可得结论．本题考查排列、组合知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，考查学生的计算能力，属于中档题．【解答】解：从后排的8人中抽2人有C82种方法，把抽出的2人插入前排，其他人的相对顺序不变有A62种方法，故共有C82A62=840种不同调整方法故答案为：84016.有6张卡片分别写有数字1，1，1，2，3，4，从中任取3张，可排出不同的三位数的个数是______.(用数字作答)【答案】34【解析】【分析】本题考查排列、组合的应用，注意6张卡片中相同的情况．根据题意，按取出3张的卡片中写有1的卡片的张数分4种情况讨论，求出每种情况下排出不同的三位数的个数，由加法原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，分4种情况讨论：①、取出3张的卡片全部是写有数字1的，有1种情况，②，取出3张的卡片有2张写有数字1的，有C31C31=9种情况，③，取出3张的卡片有1张写有数字1的，有C32A32=18种情况，④，取出3张的卡片没有写有数字1的，有A33=6种情况，则一共有1+9+18+6=34种情况，即可以排出34个不同的三位数；故答案为34．17.在“2022北京冬奥会”宣传活动中，甲、乙、丙、丁等4人报名参加了A、B、C三个项目的志愿者活动，每个项目至少需要1名志愿者，则共有种不同的方案．(用数字填写答案)【答案】36【解析】解：4人选2人1组，有C42=6种，然后进行全排列有C42A33=6×6=36，故答案为：36先分组，然后全排列进行计算即可．本题主要考查计数问题的应用，先分组后排列是解决本题的关键．三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）18.五个人站成一排，求在下列条件下的不同排法种数：⑴甲必须在排头；⑴甲、乙相邻；⑴甲不在排头，并且乙不在排尾；⑴其中甲、乙两人自左向右从高到矮排列且互不相邻【答案】解：(1)特殊元素是甲，特殊位置是排头；首先排“排头”不动，再排其它4个位置，所以共有：A44=24种，(2)把甲、乙看成一个人来排有A22=2种，而甲、乙也存在顺序变化，所以甲、乙相邻排法种数为A22⋅A44=48种；(3)甲不在排头，并且乙不在排尾排法种数为：A55−2A44+A33=78种；(4)先将其余3个全排列A33=6种，再将甲、乙插入4个空位C42=6种，所以，一共有6×6=36种不同排法．【解析】本题考查了排队问题中的几种常用的方法，审清题意，选择合理的方法是关键，属于中档题．(1)特殊元素是甲，特殊位置是排头；首先排“排头”不动，再排其它4个位置，(2)利用捆绑法，把甲乙二人看作一个复合元素，再和另外3的全排列．(3)利用间接法，先任意排，再排除甲在排头，乙在排尾的情况，(4)先排剩余的3人，形成4个空，再插入甲乙即可．19.已知某校有歌唱和舞蹈两个兴趣小组，其中歌唱组有4名男生，1名女生，舞蹈组有2名男生，2名女生，学校计划从两兴趣小组中各选2名同学参加演出．(1)求选出的4名同学中至多有2名女生的选派方法数；(2)记X为选出的4名同学中女生的人数，求X的分布列和数学期望．【答案】解：(1)由题意知，所有的选派方法共有C52⋅C42=60种，其中有3名女生的选派方法共有C41⋅C11⋅C22=4种，所以选出的4名同学中至多有2名女生的选派方法数为60−4=56种；(2)X的可能取值为0，1，2，3，，P(X=1)=C41C11C22+C42C21C21C52C42=4+2460=715，，P(X=3)=C41C11C22C52C42=460=115，所以X的分布列为10153015所以.【解析】本题主要考查了排列组合与概率的综合应用，属于基础题．(1)根据排列组合的知识求解即可；(2)写出X的所有取值情况，并求解对应的概率即可．20.一场晚会有5个唱歌节目和3个舞蹈节目，要求排出一个节目单．(1)前4个节目中要有舞蹈，有多少种排法？(2)3个舞蹈节目要排在一起，有多少种排法？(3)3个舞蹈节目彼此要隔开，有多少种排法？【答案】解(1)∵8个节目全排列有A88=40320种方法，若前4个节目中要有舞蹈的否定是前四个节目全是唱歌有A54A44，∴前4个节目中要有舞蹈有A88−A54A44=37440；(2)∵3个舞蹈节目要排在一起，∴可以把三个舞蹈节目看做一个元素和另外5个元素进行全排列，三个舞蹈节目本身也有一个排列，有A66A33=4320；(3)3个舞蹈节目彼此要隔开，可以用插空法来解，先把5个唱歌节目排列，形成6个位置，选三个把舞蹈节目排列，有A55A63=14400．【解析】本题是一个排列组合典型，实际上所有的排列都可以看作是先取组合，再做全排列；同样，组合如补充一个阶段(排序)可转化为排列问题．(1)先不考虑限制条件，8个节目全排列有A88种方法，前4个节目中要有舞蹈的否定是前四个节目全是唱歌有A54A44，用所有的排列减去不符合条件的排列，得到结果；(2)要把3个舞蹈节目要排在一起，则可以采用捆绑法，把三个舞蹈节目看做一个元素和另外5个元素进行全排列，不要忽略三个舞蹈节目本身也有一个排列；(3)3个舞蹈节目彼此要隔开，可以用插空法来解，即先把5个唱歌节目排列，形成6个位置，选三个把舞蹈节目排列．21.我校今年五四表彰了19名的青年标兵，其中A，B，C，D 4名同学要按任意次序排成一排照相，试求下列事件的概率(1)A在边上；(2)A和B在边上；(3)A或B在边上；(4)A和B都不在边上．【答案】解：基本事件总数为A44=24种，(1)4名学生排成一排，A在边上先排A，有2种排法，再排另外3名学生，共有2A33= 12种排法，∴A在边上的概率为：p1=1224=12；(2)A和B都在边上，先排A和B，有A22种排法，再排另外两人，有A22种排法，共有2×2=4种，∴A和B都在边上的概率为：p2=424=16；(3)A和B都不在边上的排法有种，有A22种排法，再排另外两人，有A22种排法，共有2×2=4种，∴A或B在边上的概率：p3=1−424=56；(4)A和B都不在边上的排法有种，有A22种排法，再排另外两人，有A22种排法，共有2×2=4种，∴A和B都不在边上的概率为：p4=424=16．【解析】本题考查概率的求法，是中档题，解题时要注意排列组合知识和对立事件概率计算公式的合理运用．(1)4名学生排成一排，先求出基本事件总数，A在边上先排A，再排另外3名学生，由此能求出A在边上的概率；(2)4名学生排成一排，先求出基本事件总数，A和B都在边上，先排A和B，再排另外两人，由此能求出A和B都在边上的概率；(3)先求出A和B都在中间的概率，再由对立事件概率计算公式能求出A或B在边上的概率；(4)4名学生排成一排，先求出基本事件总数，先排A和B都不在边上，再排另外两人，由此能求出A和B都不在边上的概率．22.五个人站成一排.求分别有多少种不同排法？(1)2人站前排，3人站后排；(2)其中甲必须站在中间；(3)其中甲、乙两人必须相邻；(4)其中甲、乙两人不相邻；(5)其中甲、乙两人不相邻，但甲始终在乙的左边；(6)其中甲、乙两人不站排头和排尾；(7)其中甲不站排头，乙不站排尾；(8)其中甲、乙必须相邻，并且丙、丁不能相邻。