第九讲 排列组合综合应用【内容概述】乘法原理是指做一件事,完成它需要分成几个步骤,做第一步有m 1种不同的方法,做第二步有m 2种不同的方法…做第n 步有m n 种不同的方法,那么完成这件事共有N=m 1×m 2×……×m n 种不同方法(即每一步都不能单独完成这件事情,需要所有步骤合在一起才能完成这件事情)加法原理是指做一件事,完成它可以有几类办法,在第一类办法中,有m 1种不同的方法,在第二类办法中,有m 2种不同的方法……在第n 类办法中,有m n 种不同的方法。
那么完成这件事共有N=m 1+m 2+m n 种不同方法。
(即每一类办法都能独立完成,每一类与另一类不重复,所有这些类型合起来构成这个事情)【典型题解】例1 某人到食堂去买饭,食堂里有4种荤菜,3种素菜,2种汤,他要各买一样,共有多少种不同的买法?【答案解析】根据题目条件可知,买饭可以分3个步骤。
直接利用乘法原理计算。
不同的买法的种数:24234=⨯⨯(种)练习一“IMO ”是国际数学奥林匹克的缩写,把这三个字母用三种不同的颜色来写,现有五种不同颜色的笔,问共有多少种不同的写法?【答案解析】根据题目条件可知,写完IMO 可以分三个步骤,第一步写“I ”有5种写法,第二步写“M ”有4种写法,第三步写“O ”有3种写法。
直接利用乘法原理计算。
不同的写法的种数60345=⨯⨯(种)例2 一个篮球队,五名队员A 、B 、C 、D 、E ,由于某种原因,C 不能做中锋,而其余 四人可以分配到五个位置的任何一个上,问:共有多少种不同的站位方法?【答案解析】把球场的上的五个位置分别称为1、2、3、4、5号位;令1号位为中锋,由于C 不能做中锋,那么还有4种不同的选择方法,2号位还有剩下的4个人可供选择,3号位还有剩下的3个人可供选择,4号位还有剩下的2个人可供选择,5号位只剩个人可供选择,根据乘法原理,它们的积就是全部的选择方法.不同的站位方法:9612344=⨯⨯⨯⨯(种)练习二 广州电话号码有8个数码,其中第一个数字不为0,而且数字不重复,这样的电话号码共有多少个?【答案解析】首先考虑第1个位置,有9种选择。
其它位置根据乘法原理,依次有9、8、7、6、5、4、3种选择。
电话号码个数:163296034567899=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯(个)例3 一个书架分上中下三层,上层有5本科技书,中层有6本故事书,下层有8本文艺书,小华想拿一本书看,它共有多少种不同的拿法?【答案解析】根据题目条件,拿的书可以分3类,所以符合加法原理。
不同的拿法:19++(种)。
65=8练习三书架有6本不同的画报和7本不同的书,从中最多拿两本(不能不拿),有多少种不同的拿法?【答案解析】根据题目条件可知,本题是加法原理和乘法原理的综合运用。
第一类:只拿1本书,共有拿法:13+(种)。
6=7第二类:拿2本书。
这里又可以分3类:第一类,2本都从画报中拿,有15种;第二类,2本都从书中拿,有21种;第三类,1本从画报种拿,另一本从书中拿,运用乘法原理,有42种。
故总的不同拿法种数:91+++(种)。
15214213=例4 有3封不同的信,投入到4个不同的邮筒,一共有多少种不同的投法?【答案解析】根据题目条件可知,每封信都有4种不同的投法,由乘法原理可得,3封信共有64⨯4=⨯种。
44练习四张华、李明等七个同学照相,分别求出在下列条件下有多少种站法?①七个人排成一排【答案解析】根据题目条件可知,七个人排成一排符合乘法原理。
站法种数:5040⨯⨯⨯⨯⨯⨯(种)。
6213457=②七个人排成一排,张华必须站在中间【答案解析】根据题目条件可知,张华位置固定,其他6个人排列符合乘法原理。
站法种数:720⨯⨯⨯⨯(种)。
⨯21346=5③七个人排成一排,张华、李明必须有一人站在中间【答案解析】根据题目条件可知,本题是加法原理和乘法原理的综合运用。
第一类:张华站在中间,由②知共有720种;第二类:李明站在中间,同理,由②知共有720种;+(种)。
720=故总的站法总数:1440720④七个人排成一排,张华、李明必须站在两边。
【答案解析】首先排张华、李明的位置,有2种站法;再排其他人的位置,有⨯⨯⨯⨯种。
5=2411203故总的站法总数:240⨯(种)。
1202=⑤七个人排成一排,张华、李明都没有站在边上。
【答案解析】根据题目条件,两边有205=⨯⨯4⨯⨯34⨯种站法,剩下的人有1205=21种。
故总的站法总数:2400⨯(种)。
20=120⑥七个人排成两排,前排3人,后排4人。
【答案解析】根据题目条件可知,符合乘法原理。
站法种数:5040⨯⨯7=⨯(种)。
⨯⨯⨯216345⑦七个人排成两排,前排3人,后排4人,张华、李明不在同一排。
【答案解析】根据题目条件可知,本题是加法原理和乘法原理的综合运用。
第一类:张华在前排,李明在后排。
从5人中任选2人站前排有10种方法;前排3人(包括张华)有6种方法;后排4人(包括李明)有24种方法;所以一共有10×6×24=1440种方法;第二类:李明在前排,张华在后排。
原理与第一类一样,共有1440种站法。
故总的站法总数:2880+(种)。
1440=1440【课后精练】1王芳有六件上衣,五条裤子,三双皮鞋,他能有多少天穿戴装束不同?【答案解析】第一步选上衣,有6种选择;第二步选裤子,有5种选择;第三步选皮鞋,有3种选择。
根据乘法原理,不同穿戴种数有90⨯⨯(种)。
56=32张老师从长沙到上海参加全国奥数教研培训会,之后再到广州参加全国奥数夏令营活动。
其中她从长沙到上海可乘汽车、火车或飞机,而她从上海到广州,可乘火车或飞机,那么她从长沙经上海到广州,共有多少种不同走法?【答案解析】根据题目条件可知,张老师从长沙到上海有3种选择,从上海到广州有2种选择。
根据乘法原理,不同走法有6⨯种。
23=3 如图,从甲地到乙地有两条路,从乙地到丙地有两条路,从甲地到丁地有四路,从丁地到丙地有两条路,问:从甲地到丙地共有多少种走法?【答案解析】根据题目条件可知,本题是加法原理和乘法原理的综合运用。
第一类:走甲→乙→丙路线。
第一步甲→乙有2种选择,第二步乙→丙有2种选择,根据乘法原理,共有422=⨯种。
第二类:走甲→丁→丙路线。
第一步甲→丁有4种选择,第二步丁→丙有2种选择,根据乘法原理,共有824=⨯种。
故总的走法:1284=+(种)。
4 有6个不同的稻谷品种,4个不同的小麦品种,3个不同的棉花品种,生物小组的同学们要从中任选一种作物的一个品种,在学校的试验田里种植,有多少种不同的选法【答案解析】根据题目条件可知,该题符合加法原理。
不同的选法:13346=++(种)。
5下图中从“华”字开始,每次向下移动到一个相邻的字,可以读出“华罗庚学校”,那么一共有多少种不同的读法?华罗 罗庚 庚 庚学 学 学 学校 校 校 校 校【答案解析】根据题目条件可知,该题符合法乘法原理。
第一步,“华”有1种选择;第二步,“罗”有2种选择;第三步,“庚”有3种选择;第四步,“学”有4种选择;第五步,“校”有5种选择。
故可以读出“华罗庚学校”的读法有12054321=⨯⨯⨯⨯种。
6 阳阳跟爸爸、妈妈、奶奶、哥哥一起照“全家福”,五个人站成一排,奶奶要站在正中间,有多少种站法?【答案解析】根据题目条件可知,奶奶位置固定,其他4个人排列符合乘法原理。
站法种数:241234=⨯⨯⨯(种)。
7某班有20个学生,毕业后他们每两个人都相互通了一封信,他们一共通了多少封信?【答案解析】20个学生每两个相互写信一次,因此每一个人要给其他的19个人每人写信一封 所以一共写信3802019=⨯封。
8一个口袋中有4个球,另一个口袋中有6个球,这些球颜色各不相同,从两个口袋中各取2个球,共有多少种不同结果?【答案解析】第一步从第一个口袋取2个球,有624=C 种;第二步从第二个口袋取2个求,有15C 26=种。
根据乘法原理,不同结果有90156=⨯种。
9书架上层放有6本不同的数学书,下层放有5本不同的语文书。
(l )从中任取一本,有多少种不同取法?(2)从中任取一本数学书与语文书,有多少种不同取法?【答案解析】(l )根据加法原理,有11种取法;(2)第一步取数学书,有6种选择;第二步取语文书,有5种选择。
根据乘法原理,不同取法有3056=⨯种。
10有两个骰子,均有六个面均标有1~6这六个自然数。
则两个骰子的数字之和出现偶数的情况一共有多少种?【答案解析】根据题目条件可知,本题是加法原理和乘法原理的综合运用。
第一类:奇数+奇数。
根据乘法原理,有933=⨯种;第二类:偶数+偶数。
根据乘法原理,有933=⨯种。
总情况种数:1899=+(种)。
11萱萱要从4幅水墨画、3幅油画和2幅水彩画中选取两幅不同类型的画布布置客厅,有几种选法?【答案解析】根据题目条件可知,本题是加法原理和乘法原理的综合运用。
第一类:两幅画都从水墨画中选,有6C 24=种选择;第二类:两幅画都从油画中选,有3C 23=种选择;第三类:两幅画都从水彩画中选,有1种选择;第四类:从水墨画和油画中各选一幅,有1234=⨯种选择;第五类:从水墨画和水彩画中各选一幅,有824=⨯种选择;第六类:从油画和水彩画中各选一幅,有623=⨯种选择。
总选法的种数:366812136=+++++(种)。
【拓展练习】1甲、乙两人打乒乓球,谁先连胜头两局,则谁赢。
如果没有人连胜头两局,则谁先胜3局谁赢,打到决出输赢为止,问有多少种可能的情况?【答案解析】根据题目条件可知,该题符合法加法原理。
第一类:只打2局,有2种情况。
第二类:打4局。
甲赢,有(甲、乙、甲、甲)、(乙、甲、甲、甲)2种情况;同理乙赢也有2种情况。
第三类:打5局。
甲赢,有(甲、乙、甲、乙、甲)、(甲、乙、乙、甲、甲)、(乙、甲、乙、甲、甲)(乙、甲、甲、乙、甲)4种情况;同理乙赢也有4种情况。
故总共有14842=++种情况。
2 从右图中11个交点中任取3个点,可画出多少个三角形?【答案解析】首先,构成三角形与三个点的顺序无关,因此是组合问题。
另外考虑特殊点的情况:如三点共线,则此三点不能构成三角形,四点在一条直线上,则其中任意三点也不能构成三角形。
本题我们采用正难则反的思路,选三点能够构成三角形的情况比较复杂,而根据上面的分析,不能构成三角形的情况却相对简单。
任取三个点的取法有165C 311=种,三点共线不构成三角形的有7C 733=⨯种,四点共线不构成三角形的有8C 234=⨯种,可画出三角形的取法有15087165=--种。