数字信号处理课程设计报告基于MATLAB的IIR数字滤波器设计专业班级:电信工程1302班学号:311308000626学生姓名:王海龙指导教师:王科平2016年7月目录摘要 (3)一、课程设计任务及要求 (4)1.本次设计的目的 (4)2.本次设计的要求 (4)二、课程设计原理 (4)1.脉冲响应不变法原理 (4)2.双向性变换法原理 (5)三、IIR数字滤波器设计内容 (5)1.总体方法分析 (5)2.脉冲相应不变法 (6)3.双线性变换法 (7)四、IIR数字滤波器设计过程 (9)1.设计步骤 (9)2.程序流程框图 (11)3.MATLAB程序 (11)4.调试分析过程描述 (19)5．结果分析 (19)五、结论 (22)六、参考文献 (23)分方程为：y (n)= ∑ a i x (n-i)+ ∑ b i y (n-i)系统函数为：H （z ）=( ∑ b r Z )/( 1+ ∑ a Z -k )摘要在当今社会，数字信号处理技术飞速发展，它不但自成一门学科，更是以不同的方式影响和渗透到其他学科的研究中，它变得与我们的生活联系越来越紧密，不断改变着我们的生产生活方式，因此受到人们越来越多的关注。

数字滤波器是对数字信号实现滤波的线性时不变系统。

数字滤波实质上是一种运算过程，实现对信号的运算处理。

输入数字信号（数字序列）通过特定的运算转变为输出的数字序列。

描述离散系统输出与输入关系的卷积和差分方程只是给数字信号滤波器提供运算规则，使其按照这个规则完成对输入数据的处理。

时域离散系统的频域特性:Y(e jw )=X(e jw )H(e jw ),其中、 分别是数字滤波器的输出序列和输入序列的频域特性（或称为频谱特性）,H(e jw )是数字滤波器的单位取样响应的频谱，又称为数字滤波器的频域响应。

数字滤波器是具有一定传输选择特性的数字信号处理装置,其输入、输出均为数字信号,实质上是一个由有限精度算法实现的线性时不变离散系统。

IIR 数字滤波器的特征是，具有无限持续时间冲激响应，需要用递归模型来实现,其差N N i =0 i =1MN-r kr =0k =0设计IIR 滤波器的任务就是寻求一个物理上可实现的系统函数H(z)，使其频率响应H(z)满足所希望得到的频域指标。

本次课程设计分别用脉冲响应不变法、双向性变换法设计IIR 低通、高通、带通、带阻滤波器滤波器。

并在MATLAB 环境下实现了IIR 数字滤波器的设计和仿真。

其主要内容概括为：首先对滤波器的原理和设计进行了介绍；接着描述了IIR数字滤波器的基本概念，其中包括系统的描述、系统的传递函数、系统的模型；接着简单介绍MATLAB ，并对数字滤波器在MATLAB 环境下如何实现进行了介绍；重点描述了IIR 数字滤波器的设计过程，最后对IIR 滤波器进行仿真。

关键词：数字滤波器 频域特性 脉冲响应 双向性变换法 MATLAB一、课程设计任务及要求1.本次设计的目的1）学会MATLAB的使用，掌握MATLAB的程序设计方法；2）掌握数字信号处理的基本概念、基本理论和基本方法；3）掌握MATLAB设计IIR滤波器；4）学会用MATLAB对信号进行分析和处理。

2.本次设计的要求1）分别用脉冲响应不变法、双向性变换法设计IIR低通、高通、带通、带阻滤波器滤波器；2）分别画出其幅频特性、相频特性图；3）IIR滤波器的各项指标:低通：通带截止频率wc=2πs radk/2,阻带截止频率为8πKHZ通带衰减pR小于3dB，阻带衰减大于15dB,采样频率20000Hz;高通：通带截止频率为2.5KHZ,通带衰减不大于2dB,阻带上限截止频率为1.5KHZ，阻带衰减不小于15dB;带通：中心频率为ωp0=0.5π,通带截止频率ωp1=0.4π,ωp2=0.6π;通带最大衰减αp=3dB;阻带最小衰减αs=15dB;阻带截止频率ωs2=0.7π;④带阻：抽样频率为10KHZ,在-2dB衰减处边带频率是 1.5KHZ,4KHZ,在-13dB处边带频率为2KHZ和3KHZ。

二、课程设计原理1.脉冲响应不变法原理脉冲响应不变法是实现模拟滤波器数字化的一种直观而常用的方法，它特别适合于对滤波器的时域特性有一定要求的场合。

脉冲响应不变法是从滤波器的脉冲响应出发，使数字滤波器的单位脉冲响应序列h(n)模仿模拟滤波器的冲击响应ha(t),使h(n)正好等于ha(t)的采样值，即h(n)=ha(nT)T为采样周期。

如以Ha(s)及H(z)分别表示ha(t)的拉氏变换及h(n)的z变换，即1jIm[z ]πHa(s)=L[ha(t)]H(z)=Z[h(n)]则根据采样序列z 变换与模拟信号拉氏变换的关系，可知：采用脉冲响应不变法将模拟滤波器变换为数字滤波器时，它所完成的S 平面到Z 平面的变换，正是以前讨论的拉氏变换到Z 变换的标准变换关系，即首先对Ha(s)作周期延拓，然后再经过z=e 的映射关系映射到Z 平面上。

脉冲响应不变法映射关系见图2。

2.双向性变换法：脉冲响应不变法的主要缺点是频谱交叠产生的混淆，这是从S 平面到Z 平面的标准变换z=e 的多值对应关系导致的,为了克服这一缺点，设想变换分为两步。

1)将整个S 平面压缩到S1平面的一条横带里。

2)通过标准变换关系将此横带变换到整个Z 平面上去。

由此建立S 平面与Z 平面一一对应的单值关系，消除多值性，也就消除了混淆现象。

j Ωj Ωπ / T－ 11oσ o－ / Tσ1o Re[z ]S 平 面 S 平面Z 平 面1图1 双线性换法映射关系图双线性换法的主要优点是S 平面与Z 平面一单值对应，S 平面的虚轴(整个j Ω )对应于Z 平面单位圆的一周，S 平面的Ω =0处对应于Z 平面的ω =0处，对应即数字滤波器的频率响应终 止于折迭频率处，所以双线性变换不存在混迭效应。

三、IIR 数字滤波器设计内容1.总体方法分析IIR 数字滤波器是一种离散时间系统，其系统函数为：T T T(1-1)以内时，即T T 1 2 k假设M ≤N ，当M ＞N 时,系统函数可以看作一个IIR 的子系统和一个(M-N)的FIR 子系统的级联。

IIR 数字滤波器的设计实际上是求解滤波器的系数 和，它是数学上的一种逼近问题，即在规定意义上（通常采用最小均方误差准则）去逼近系统的特性。

如果在S 平面上去逼近，就得到模拟滤波器；如果在z 平面上去逼近，就得到数字滤波器。

2.脉冲相应不变法脉冲响应不变法是从滤波器的脉冲响应出发，使数字滤波器的单位脉冲响应序列 h (n )模仿模拟滤波器的冲激响应 h (t )，即将 h (t )进行等间隔采样，使 h (n )aa正好等于 h (t )的采样值，满足:h (n )=h (nT ) 式中,T 是采样周期。

aa如果令 H (s )是 h a(t )的拉普拉斯变换，H (z )为 h (n )的 Z 变换，利用采样序列a的 Z 变换与模拟信号的拉普拉斯变换的关系得X (z) z e sT 1 1 2 X (s jk ) X s j ka s a k k则可看出，脉冲响应不变法将模拟滤波器的 S 平面变换成数字滤波器的 Z平面，这个从 s 到 z 的变换 z =e sT 是从 S 平面变换到 Z 平面的标准变换关系式。

j 3 / TjIm[z]/ To－1 o 1 Re[z]－ / T－3 / TS 平 面Z 平 面图2脉冲响应不变法的映射关系由（1-1）式，数字滤波器的频率响应和模拟滤波器的频率响应间的关系为(1-2)这就是说，数字滤波器的频率响应是模拟滤波器频率响应的周期延拓。

正如采样定理所讨论的，只有当模拟滤波器的频率响应是限带的，且带限于折叠频率H (e j ) H ja kH (j ) 0| |asT 2(1-3)才能使数字滤波器的频率响应在折叠频率以内重现模拟滤波器的频率响应，而不产生混叠失真，即H (e j ω) = H j ⎪T ⎝ T ⎭a))3 2 π1 ⎛ ω ⎫a |w|<π （1-4）但是，任何一个实际的模拟滤波器频率响应都不是严格限带的，变换后就会产生周期延拓分量的频谱交叠，即产生频率响应的混叠失真，如图 7-4 所示。

这时数字滤波器的频响就不同于原模拟滤波器的频响，而带有一定的失真。

当模拟滤波器的频率响应在折叠频率以上处衰减越大、越快时，变换后频率响应混叠失真就越小。

这时，采用脉冲响应不变法设计的数字滤波器才能得到良好的效果。

H ( j Ω2π T－π o Tπ T 2π TΩH (e j ω……－ π－ π－ oπ2π3πω＝Ω T图 3 脉冲响应不变法中的频响混叠现象对某一模拟滤波器的单位冲激响应 h (t )进行采样，采样频率为 f ，若使 fass增加，即令采样时间间隔（T =1/f ）减小，则系统频率响应各周期延拓分量之间 s相距更远，因而可减小频率响应的混叠效应。

3.双线性变换法脉冲响应不变法的主要缺点是产生频率响应的混叠失真。

这是因为从 S 平面到Ｚ平面是多值的映射关系所造成的。

为了克服这一缺点，可以采用非线性频率压缩方法，将整个频率轴上的频率范围压缩到-π /T ～π /T 之间，再用 z =e sT 转换到 Z 平面上。

这样就使 S 平面与 Z 平面建立了一一对应的单值关系，消除了多值变换性就消除了频谱混叠现象，映射关系如图 4 所示。

Ω= tan 1 ⎪2 e j Ω1T / 2 - e j Ω1T / 22 e s 1T / 2 - e - s 1T / 2 2 ⎛ s T ⎫ 2 1 - e -s 1T s 1T / 2 + e -s 1T / 2 = s =（1-6）2 T （1-7）2 1 - e - j ω 2 ⎛ω ⎫ （1-8）j Ωj Ω 1 jIm[z ]π / T－ 1 1oσ o－π / Tσ1o Re[z ]S 平 面S 平面 Z 平 面1图 4 双线性变换的映射关系为了将 S 平面的整个虚轴 j Ω 压缩到 S1 平面 j Ω 1 轴上的-π /T 到π /T 段上，可以通过以下的正切变换实现2 ⎛Ω T ⎫T ⎝ 2 ⎭式中,T 仍是采样间隔。

（1-5）当Ω 1 由-π /T 经过 0 变化到π /T 时，Ω 由-∞经过 0 变化到+∞，也即映射了整个 j Ω 轴。

将式（1-5）写成j Ω = ⋅T e j Ω1T / 2 + e - j Ω1T / 2将此关系解析延拓到整个 S 平面和 S1 平面，令 j Ω =s ，j Ω 1=s 1，则得s = ⋅ tanh 1 ⎪ = ⋅T e T ⎝ 2 ⎭ T 1 + e -s 1T再将 S1 平面通过以下标准变换关系映射到 Z 平面z =e s 1T从而得到 S 平面和 Z 平面的单值映射关系为：2 1 - z -1T 1 + z -1T 2 1 + s + sz == T 2 1 - s - s2 T式（1-6）与式（1-7）是 S 平面与 Z 平面之间的单值映射关系，这种变换都是两个线性函数之比，因此称为双线性变换式（1-5）与式（1-6）的双线性变换符合映射变换应满足的两点要求。