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高考数学 高频考点归类分析 排列组合、二项式定理(真

高频考点排列组合、二项式定理一、分类计数原理的应用:典型例题:例1. (2012年北京市理5分)从0,2中选一个数字,从1,3,5中选两个数字,组成无重复数字的三位数.其中奇数的个数为【】A. 24B. 18C. 12D. 6【答案】B。

【考点】排列组合问题。

【解析】由于题目要求是奇数,那么对于此三位数可以分成两种情况:奇偶奇;偶奇奇。

如果是第一种奇偶奇的情况,可以从个位开始分析(3 种情况),之后十位(2 种情况),最后百位(2 种情况),共12 种;如果是第二种情况偶奇奇:个位(3 种情况),十位(2 种情况),百位(不能是O ,一种倩况),共6 种。

因此总共有12 + 6 = 18 种情况。

故选B。

例2. (2012年安徽省理5分)6位同学在毕业聚会活动中进行纪念品的交换,任意两位同学之间最多交换一次,进行交换的两位同学互赠一份纪念品,已知6位同学之间共进行了13次交换,则收到4份纪念品的同学人数为【】()A1或3()B1或4()C2或3()D2或4【答案】D。

【考点】排列组合。

【解析】∵261315132C-=-=,∴在6位同学的两两交换中少2种情况。

不妨设甲、乙、丙、丁、戍、己6人①设仅有甲与乙,丙没交换纪念品,则甲收到3份纪念品,乙、丙收到4份纪念品,丁、戍、己收到5份纪念品,此时收到4份纪念品的同学人数为2人;②设仅有甲与乙,丙与丁没交换纪念品,则甲、乙、丙、丁收到4份纪念品,戍、己收到5份纪念品,此时收到4份纪念品的同学人数为4人。

故选D。

例3. (2012年山东省理5分)现有16张不同的卡片,其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张,从中任取3张,要求这些卡片不能是同一种颜色,且红色卡片至多1张,不同取法的种数为【】A 232B 252C 472D 484【答案】C。

【考点】排列组合的应用。

【解析】3321164412161514416725608846C C 7C 2C ⨯⨯--=--=-=。

故选C 。

例4. (2012年浙江省理5分)若从1,2,3,…,9这9个整数中同时取4个不同的数,其和为偶数,则不同的取法共有【 】A .60种B .63种C .65种D .66种 【答案】D 。

【考点】分类讨论,计数原理的应用。

【解析】1,2,2,…,9这9个整数中有5个奇数,4个偶数.要想同时取4个不同的数其和为偶数,则取法有:4个都是偶数:1种;2个偶数,2个奇数:225460C C =种; 4个都是奇数:455C =种。

∴不同的取法共有66种。

故选D 。

例5. (2012年陕西省理5分) 两人进行乒乓球比赛,先赢三局着获胜,决出胜负为止,则所有可能出现的情形(各人输赢局次的不同视为不同情形)共有【 】A. 10种B.15种C. 20种D. 30种 【答案】D 。

【考点】排列、组合及简单计数问题,分类计数原理。

【解析】根据分类计数原理,所有可能情形可分为3:0,3:1,3:2三类,在每一类中可利用组合数公式计数,最后三类求和即可得结果:当比分为3:0时,共有2种情形;当比分为3:1时,共有12428C A =种情形; 当比分为3:2时,共有225220C A =种情形。

总共有282030++=种。

故选D 。

二、分步计数原理的应用: 典型例题:例1. (2012年全国大纲卷理5分)将字母 , , , , a a b b c c ,排成三行两列,要求每行的字母互不相同,每 列的字母也互不相同,则不同的排列方法共有【 】A.12种 B.18种 C.24种 D.36种【答案】A。

【考点】排列组合的应用,分步计数原理。

【解析】利用分步计数原理,先填写最左上角的数,有3种,再填写右上角的数为2种,再填写第二行第一列的数有2种,一共有3×2×2=12种。

故选A。

例2. (2012年全国大纲卷文5分)6位选手依次演讲,其中选手甲不在第一个也不在最后一个演讲,则不同的演讲次序共有【】A. 240种B.360种C.480种D.720种【答案】C。

【考点】排列组合的应用。

【解析】根据特殊元素优先的原则,选手甲不在第一个也不在最后一个演讲,在其余4个次序演讲有14C种组合,则其余5 位选手进行全排列。

因此,不同的演讲次序共有1545480C A⋅=种。

故选C。

例3. (2012年全国课标卷理5分)将2名教师,4名学生分成2个小组,分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动,每个小组由1名教师和2名学生组成,不同的安排方案共有【】()A12种()B10种()C9种()D8种【答案】A。

[]【考点】排列组合。

【解析】每个小组由1名教师和2名学生组成,不同的安排方案共有122412C C=种。

故选A。

例4. (2012年辽宁省理5分)一排9个座位坐了3个三口之家,若每家人坐在一起,则不同的坐法种数为【】(A)3×3!(B) 3×(3!)3 (C)(3!)4 (D) 9!【答案】C。

【考点】分步计数原理。

【解析】此排列可分两步进行,先把三个家庭分别排列,每个家庭有3!种排法,三个家庭共有3!3!3!⨯⨯3(3!)=种排法;再把三个家庭进行全排列有3!种排法。

因此不同的坐法种数为4(3!)。

故选C。

例5. (2012年湖北省理5分)回文数是指从左到右与从右到左读都一样的正整数。

如22,,11,3443,94249等。

显然2位回文数有9个:11,22,33...,99.3位回文数有90个:101,111,121,...,191,202, (999)则(Ⅰ)4位回文数有 ▲ 个;(Ⅱ)2n +1(n ∈N +)位回文数有 ▲ 个。

【答案】(Ⅰ)90;(Ⅱ)910ng 。

【考点】计数原理的应用。

【解析】(I )4位回文数的特点为中间两位相同,千位和个位数字相同但不能为零,第一步,选千位和个位数字,共有9种选法;第二步,选中间两位数字,有10种选法,故4位回文数有9×10=90个。

(II )第一步,选左边第一个数字,有9种选法;第二步,分别选左边第2、3、4、…、n 、n +1个数字,共有10×10×10×…×10=10n 种选法,故2n +1(n ∈N +)位回文数有910ng 个。

三、二项式定理的应用: 典型例题:例1. (2012年四川省理5分)7(1)x +的展开式中2x 的系数是【 】 A 、42 B 、35 C 、28 D 、21 【答案】D 。

【考点】二项式的通项公式。

【解析】∵二项式7(1)x +展开式的通项公式为+17k k k T C x =,∴令k =2,则2237T C x =。

∴2x 的系数是27C 21=。

故选D 。

例2. (2012年天津市理5分)在251(2)x x-的二项展开式中,x 的系数为【 】 (A )10 (B)-10 (C)40 (D)-40 【答案】D 。

【考点】二项式定理。

【分析】∵251+15=(2)()r r r r T C x x --⋅-=510352(1)r r r rC x ---,令103=1r -,得=3r ,∴x 的系数为23345=2(1)=40T C --。

故选D 。

例3. (2012年安徽省理5分)2521(2)(1)x x+-的展开式的常数项是【 】 ()A 3- ()B 2- ()C 2 ()D 321世纪教育网 【答案】D 。

【考点】二项式定理。

【解析】∵第一个因式取2x ,第二个因式取21x得:1451(1)5C ⨯-= , 第一个因式取2,第二个因式取5(1)-得:52(1)2⨯-=-,∴展开式的常数项是5(2)3+-=。

故选D 。

例4. (2012年重庆市文5分)5(13)x - 的展开式中3x 的系数为【 】 (A )-270 (B )-90 (C )90 (D )270 【答案】A 。

【考点】二项式系数的性质。

【分析】设的展开式的通项公式为r 1T +,则r rr 15T C 3x+=-(), 令r=3,得3x 的系数为:335C 3=270--()。

故选A 。

例5. (2012年湖北省理5分)设a Z ∈,且013a ≤≤,若201251+a 能被13整除,则=a 【 】A.0B.1C.11D.12 【答案】D 。

【考点】二项式定理的应用。

【解析】∵52能被13整除, ∴()()20122012020121201120112012201220122012201251+=521+=5252++52++a a C C C C a ---L 。

显然上式除了20122012+=1+C a a 外,其余各个因式都能被13整除。

∴201251+a 能被13整除,只需=12a 。

故选D 。

例6. (2012年重庆市理5分)321⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 的展开式中常数项为【 】A.1635 B.835 C.435D.105 【答案】B 。

【考点】二项式定理的应用【分析】求二项展开式中特定项一般利用通项公式解决: ∵8)21(xx +的展开式的通项为41881()(()22rr r r rr T C x C x x-+==,令4=0r -得=4r ,∴常数项为438135()28C =。

故选B 。

例7. (2012年全国大纲卷理5分)若1nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等,则该展开式中21x 的系数为 ▲ 。

【答案】56。

【考点】二项式定理中通项公式的运用。

【解析】利用二项式系数相等,确定n 的值,然后进一步借助于通项公式,分析项的系数。

根据已知条件可知26268nn C C n =⇒=+=。

∴81x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的通项为882188r r r r rr T C x x C x ---+=⋅=,令822r -=-,5r =。

∴系数为5856C =。

例8. (2012年全国大纲卷文5分)81()2x x+的展开式中2x 的系数为 ▲ . 【答案】7。

【考点】二项式定理中通项公式的运用。

【解析】利用二项式系数展开,分析项的系数。

∵81()2x x +的展开式的通项为8821881122r rr r r r r T C x C xx --+⎛⎫⎛⎫=⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 令822r -=,3r =。

∴2x 的系数为33811678=728123C ⨯⨯⎛⎫=⨯ ⎪⨯⨯⎝⎭。

例9. (2012年上海市理4分)在6)2(xx -的二项展开式中,常数项等于 ▲ . 【答案】-160。

【考点】二项式定理。

【解析】∵展开式通项662166(1)2(1)2r r r r r r r r rr T C x x C x ---+=-=-,令620r -=,得3r =.∴常数项为1602336-=⨯-C 。

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