离心率的五种求法离心率是圆锥曲线中的一个重要的几何性质，在高考中频繁出现. 椭圆的离心率10<<e ，双曲线的离心率1>e ，抛物线的离心率1=e ． 一、直接求出,a c ，求解e 已知标准方程或,a c 易求时，可利用离心率公式c e a=来求解。
例1. 过双曲线C ：)0b (1by x 222>=-的左顶点A 作斜率为1的直线l ，若l 与双曲线M 的两条渐近线分别相交于点B 、C ，且|AB|=|BC|，则双曲线M 的离心率是（ ）A. 10B. 5C.310D. 25分析：这里的1,a c ==2b ，即可利用定义求解。
解：易知A （-1，0），则直线l 的方程为1x y +=。
直线与两条渐近线bx y -=和bx y =的交点分别为B )1b b ,1b 1(++-、C )1b b,1b 1(--，又|AB|=|BC|，可解得9b 2=，则10c =故有10ace ==，从而选A 。
二、变用公式)c e a =双曲线，)c e a ==椭圆，整体求出e例2. 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的一条渐近线方程为43y x =，则双曲线的离心率为（ ） A.35 B. 34C.45D.23 分析：本题已知b a=34，不能直接求出a 、c ，可用整体代入套用公式。
解：因为双曲线的一条渐近线方程为43y x =，所以 43b a =，则53c e a ===，从而选A 。
1.设双曲线（a ＞0,b ＞0）的渐近线与抛物线21y x =+相切，则该双曲线的离心率等于( C )A. C. D.解：由题双曲线的一条渐近线方程为，代入抛物线方程整理得，因渐近线与抛物线相切，所以，即224b a =e ∴===2.过双曲线的右顶点作斜率为的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为．若12AB BC =uur uu u r，则双曲线的离心率是 ( )A ．B ．C ．D ． 答案：C【解析】对于，则直线方程为，直线与两渐近线的交点为B ，C ，，，222,4AB BC a b =∴=uur uu u r 因此 ，即224b a =，e ∴===3.过椭圆()的左焦点作轴的垂线交椭圆于点，为右焦点，若，则椭圆的离心率为( ) A ． B ． C ． D ．【解析】因为，再由有即2223b a =从而可得e ∴===B三、构造a 、c 的齐次式，解出e根据题设条件，借助a 、b 、c 之间的关系，构造a 、c 的关系（特别是齐二次式），进而得到关于e 的一元方程，从而解得离心率e 。
例3.已知椭圆的左焦点为，右顶点为，点在椭圆上，且轴， 直线交轴于点．若2AP PB =u u r u u r，则椭圆的离心率是（ ）A ．B ．C ．D ． 【解析】对于椭圆，因为2AP PB =u u r u u r，则1.设和为双曲线()的两个焦点, 若，是正三角形的三个顶点,则双曲线的离心率为( ) A ． B ． C ． D ．3 【解析】由有,则,故选B.2.双曲线虚轴的一个端点为M ，两个焦点为1F 、2F ，021120=∠MF F ，则双曲线的离心率为（ ）A 3 B26 C 36D 33解：如图所示，不妨设()b M ,0，()0,1c F -，()0,2c F ，则2221b c MF MF +==，又c F F 221=，在21MF F ∆中， 由余弦定理，得212212221212cos MF MF F F MF MF MF F ⋅-+=∠,即()()()22222222421bc c b c b c +-+++=-，∴212222-=+-c b c b ， ∵222a cb -=，∴212222-=--a c a ，∴2223c a =，∴232=e ，∴26=e ，故选B 3.设是等腰三角形，，则以为焦点且过点的双曲线的离心率为（ B ） A ．B ．C ．D ．4.设双曲线的一个焦点为，虚轴的一个端点为,如果直线与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为( ) A. B. C. D.解析：选D.不妨设双曲线的焦点在轴上，设其方程为：， 则一个焦点为一条渐近线斜率为：，直线的斜率为：，， ，解得.5.设椭圆的两个焦点分别为F 1、F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若21PF F ∆为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（ D ）A.22B.212- C. 22- D. 12-解：由22222222101b PFc a c ac ae e e ==⇒-=+-=⇒=化为齐次式6.双曲线(0,0)a b >>的左、右焦点分别是，过作倾斜角为的直线交双曲线右支于点，若垂直于轴，则双曲线的离心率为（ B ）A．B．C．D．7.设分别是双曲线的左、右焦点，若双曲线上存在点，且，则双曲线的离心率为（ B ）A．B．C．D．解12222212222()()(2)AF AF AF aa eAF AF cì-==ïï??íï+=ïî8．如图，1F和2F分别是双曲线12222=-byax（0,0>>ba）的两个焦点，A和B是以O为圆心，以1OF为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且ABF2∆是等边三角形，则双曲线的离心率为（）A 3B 5 C25D 13+6.解析：连接AF1，∠AF2F1=30°，|AF1|=c，|AF2|=c，∴，双曲线的离心率为，选D。
9. 设1F、2F分别是椭圆12222=+byax（0>>ba）的左、右焦点，P是其右准线上纵坐标为c3（c为半焦距）的点，且PFFF221=，则椭圆的离心率是（）A213-B21C215-D2210.设双曲线12222=-byax（ba<<0）的半焦距为c，直线L过()0,a，()b,0两点.已知原点到直线的距离为c43，则双曲线的离心率为( )A. 2B. 3C. 2D. 332解：由已知，直线L的方程为0=-+abaybx，由点到直线的距离公式，得cbaab4322=+，又222bac+=, ∴234cab=,两边平方，得()4222316caca=-，整理得1616324=+-ee，得42=e或342=e，又ba<<0，∴2122222222>+=+==ababaace，∴42=e，∴2=e，故选A11.知1F 、2F 是双曲线12222=-by a x （0,0>>b a ）的两焦点，以线段12F F 为边作正三角形21F MF ，若边1MF 的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（ ）A. 324+B. 13-C. 213+ D. 13+ 解：如图，设1MF 的中点为P，01160,,,,P(,)2222P P c c OF P PF c x y ∠==∴=-=-Q 即把P 点坐标代人双曲线方程，有22223=144c c a b-， 化简得42840e e -+=解得1e e ==，故选D 四、第二定义法由圆锥曲线的统一定义（或称第二定义）知离心率e 是动点到焦点的距离与相应准线的距离比，特别适用于条件含有焦半径的圆锥曲线问题。
例4：设椭圆12222=-by a x （0,0>>b a ）的右焦点为1F ，右准线为1l ，若过1F 且垂直于x 轴的弦的长等于点1F 到1l 的距离，则椭圆的离心率是.解：如图所示，AB 是过1F 且垂直于x 轴的弦，∵1l AD ⊥于D ，∴AD 为1F 到准线1l 的距离，根据椭圆的第二定义，21211===AD AB AD AF e 1．在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为2，焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的离心率为（ ） A 2 B22 C 21 D42解：221222===ADAF e 2．在给定双曲线中，过焦点垂直于实轴的弦长为2，焦点到相应准线的距离为21，则该双曲线的离心率为（ ） A22B 2C 2D 22 五、构建关于e 的不等式，求e 的取值范围1．已知双曲线12222=-by a x （0,0>>b a ）的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为060的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（ ）A []2,1B ()2,1C [)+∞,2D ()+∞,22．椭圆12222=+by a x （0>>b a ）的焦点为1F 、2F ，两条准线与x 轴的交点分别为M 、N ，若212F F MN ≤，则该椭圆离心率的取值范围是（ ）A ．⎥⎦⎤ ⎝⎛21,0B ．⎥⎦⎤ ⎝⎛22,0 C ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,21D ．⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,22 1.双曲线的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率，∴ ≥，离心率e 2=，∴ e ≥2，选C2.椭圆的焦点为，，两条准线与轴的交点分别为，若，，，则，该椭圆离心率e ≥，选D3.已知、是椭圆的两个焦点，满足的点总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（C ）A ．B ．C ．D ．解析：满足的点总在椭圆内部，所以c<b. 4.设，则双曲线的离心率的取值范围是（ B ） A ．B ．C ．D ．。