小学奥数知识点梳理1——数论数论是研究整数及其性质的学科。
其中包括奇偶、整除、余数、质数合数、约数倍数、平方、进制和位值等方面的内容。
首先，奇偶性是整数的基本属性之一，一个整数要么是奇数，要么是偶数。
对于奇偶数的运算性质，有以下规律：（1）奇数加减奇数得偶数，偶数加减偶数得偶数，奇数加减偶数得奇数，偶数加减奇数得奇数；（2）奇数个奇数的和或差为奇数，偶数个奇数的和或差为偶数，任意多个偶数的和或差总是偶数；（3）奇数乘奇数得奇数，偶数乘偶数得偶数，奇数乘偶数得偶数；（4）若干个整数相乘，其中有一个因数是偶数，则积是偶数；如果所有的因数都是奇数，则积是奇数；（5）偶数的平方能被4整除，奇数的平方被4除余1.总之，几个整数相加减，运算结果的奇偶性由算式中奇数的个数所确定。
其次，整除是数论中的重要概念。
要掌握能被30以下质数整除的数的特征。
例如，被2整除的数的特征为它的个位数字之和可以被2整除，被3或9整除的数的特征为它的各位数字之和可以被3或9整除，被5整除的数的特征为它的个位数字之和可以被5整除。
而对于被7、11、13整除的数的特征，可以使用关键性式子7×11×13=1001.判定一个数能否被7或11或13整除，只需把这个数的末三位与前面隔开，分成两个独立的数，取它们的差（大减小），看它是否被7或11或13整除。
此法则可以连续使用。
最后，还有进制和位值等方面的内容。
其中，进制是指计数的基数，如十进制、二进制、八进制和十六进制等。
而位值则是指数位所代表的数值大小，如十进制数中的个位、十位、百位等。
掌握进制和位值的概念，可以更好地理解数的表示和计算方法。
总之，数论是一门重要的数学学科，涉及到整数及其性质的多个方面。
掌握数论的基本概念和规律，可以更好地理解和应用数学知识。
N=xxxxxxxx，判断N能否被17整除。
由于429=25×17+4，所以N不能被17整除。
N=xxxxxxx，判断N能否被17整除。
由于935=55×17，所以N可被17整除。
接下来推导被19整除的简易判别法。
我们寻找关键性式子：19×53=1007.因此，判断一个数是否能被19整除，只需要将其末三位与前面隔开，看末三位与前面隔出数的7倍的差（大减小）是否能被19整除。
例如，对于N=xxxxxxxx9，我们得到603=31×19+14，所以N不能被19整除。
再例如，对于N=xxxxxxx，我们得到57=3×19，所以N 可被19整除：×19=xxxxxxx。
接下来推导被23、29整除的简易判别法。
我们寻找关键性式子：随着质数增大，简易法应该在N的位数多时起主要作用，现有23×435＝，29×345=.因此，判断一个数是否能被23或29整除，只需要将其末四位与前面隔开，看末四位与前面隔出数的5倍的差（大减小）是否能被23或29整除。
例如，对于N=xxxxxxx，我们得到5336=23×232=23×29×8，所以很快判断出N可被23及29整除。
三、余数下面介绍三大余数定理：1）余数的加法定理：a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。
例如，对于23和16除以5的余数分别是3和1，所以23+16=39除以5的余数等于4，即两个余数的和3+1.当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数。
例如，对于23和19除以5的余数分别是3和4，所以23+19=42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数为2.2）余数的减法定理：a与b的差除以c的余数，等于a,b 分别除以c的余数之差。
例如，对于23和16除以5的余数分别是3和1，所以23-16=7除以5的余数等于2，两个余数差3-1=2.当余数的差不够减时，补上除数再减。
例如，对于23和14除以5的余数分别是3和4，23-14=9除以5的余数等于4，两个余数差为3+5-4=4.3）余数的乘法定理：a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。
例如，对于23和16除以5的余数分别是3和1，所以23×16除以5的余数等于3×1=3.当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c的余数。
在数学中，我们经常会遇到模运算和同余定理。
模运算是指在除法中，除数为m时，求出的余数。
例如，23除以5的余数是3.同余定理则是指，如果两个整数a和b除以自然数m 的余数相同，那么a和b对于模m同余。
用数学符号表示为a≡b(modm)。
同余定理具有重要的性质和推论，例如，如果a和b除以同一个数m得到的余数相同，那么它们的差一定能被m整除。
弃九法是一种常用的检验算式是否正确的方法。
这种方法来源于公元前9世纪的印度数学家XXX。
在计算时，他们通常在一个铺有沙子的土板上进行计算，为了避免以前的计算结果丢失，他们经常检验加法运算是否正确。
检验方法是计算等式左边几个加数除以9的余数的和再除以9的余数，如果与等式右边和除以9的余数不同，那么等式就是错误的。
弃九法原理是任何一个整数模9同余于它的各数位上数字之和。
利用十进制的这个特性，我们不仅可以检验几个数相加，对于检验相乘、相除和乘方的结果对不对同样适用。
注意，弃九法只能知道原题一定是错的或有可能正确，但不能保证一定正确。
同余定理在数学中也有重要的应用。
如果两个整数a和b 除以自然数m的余数相同，那么a和b对于模m同余。
同余式用数学符号a≡b(modm)表示。
同余定理有许多重要的性质和推论，例如，如果a和b除以同一个数m得到的余数相同，那么它们的差一定能被m整除。
p，那么p就是合数，否则p就是质数。
因此，判断一个数是否为质数的方法就是找到小于这个数的所有质数，看是否有能够整除它的质数。
如果没有，那么这个数就是质数。
余数判别法是一种简便的方法来求一个数被另一个数除的余数。
其基本思想是找到一个较简单的数，使得它与被除数对于除数同余。
然后，计算这个简单数被除数的余数，就可以得到被除数被除数的余数。
例如，整数被2或5除的余数等于它的个位数被2或5除的余数。
整数被3或9除的余数等于它的各位数字之和被3或9除的余数。
整数被11除的余数等于它的奇数位数之和与偶数位数之和的差被11除的余数。
质数是除了1和它本身没有别的约数的数，而合数则是除了1和它本身还有别的约数的数。
特别地，1既不是质数也不是合数。
在100以内，常用的质数有25个，包括2、3、5、7、11、13等。
如果一个质数是某个数的约数，那么这个质数就是这个数的质因数。
将一个合数分解成质因数的形式，就叫做分解质因数。
例如，30可以分解成2×3×5，其中2、3、5都是30的质因数。
判断一个数是否为质数的方法是找到小于这个数的所有质数，看是否有能够整除它的质数。
如果没有，那么这个数就是质数。
如果能够找到一个小于这个数的质数，使得它能够整除这个数，那么这个数就是合数。
如果一个数p不能被小于p的质数整除，那么p就是质数。
但是如果p很大，这种计算方法会非常耗时。
对于较小的p，我们可以先找到一个大于且接近p的平方数K2，然后列出所有不大于K的质数，用这些质数去除p，如果没有能够除尽的，那么p就是质数。
例如，149很接近144=12×12，根据整除的性质，149不能被2、3、5、7、11整除，所以149是质数。
在求最大公约数时，可以使用分解质因数法，先分解质因数，然后把相同的因数连乘起来。
例如，(231,252)=3×7=21.另一种方法是短除法，先找出所有共有的约数，然后相乘。
例如，(12,18)=2×3=6.还可以使用辗转相除法，每一次都用除数和余数相除，能够整除的那个余数，就是所求的最大公约数。
例如，求600和1515的最大公约数：1515÷600=2余315；600÷315=1余285；315÷285=1余30；285÷30=9余15；30÷15=2.所以1515和600的最大公约数是15.最大公约数有几个性质：几个数都除以它们的最大公约数，所得的几个商是互质数；几个数的公约数，都是这几个数的最大公约数的约数；几个数都乘以一个自然数n，所得的积的最大公约数等于这几个数的最大公约数乘以n。
求一组分数的最大公约数可以先把带分数化成假分数，其他分数不变；求出各个分数的分母的最小公倍数a；求出各个分数的分子的最大公约数b；a即为所求。
求一个数约数的个数可以先分解质因数，之后将不同质因数的次数均加1，之后相乘。
所得结果就是这个数不同约数的个数。
例如，252=2×3×7，则252的不同约数的个数为(2+1)×(2+1)×(1+1)=3×3×2=18.求最小公倍数的方法可以使用分解质因数的方法。
例如，[231,252]=2^2×3^2×7×11=2772.1.凡个位数字是5但末两位数字不是25的自然数不是完全平方数；末尾只有奇数个“0”的自然数不是完全平方数；个位数字为1，4，9而十位数字为奇数的自然数不是完全平方数。
2.平方差公式：22a-b=(a+b)(a-b)3.进制：1) 十进制是我们常用的进制，特点是“逢十进一”。
除了十进制，还有其他的大于1的自然数进位制，如二进制、八进制、十六进制等。
2) 计算机中采用的计数法是二进制，即“逢二进一”，只用两个数字0和1.二进制数可以写成展开式的形式，如在二进制中表示为：()2=1×25+0×24+0×23+1×22+1×21+0×20.二进制的运算法则为“满二进一”、“借一当二”，乘法口诀是：零零得零，一零得零，零一得零，一一得一。
3) 对于k进位制，每个数是由k个数码组成，共k-1个计数单位，进位制计数单位是k，k²，k³，如二进位制的计数单元是2，21，22，八进位制的计数单位是8，81，82.4) k进位制数可以写成不同计数单位的数之和的形式，如an×kn-1+an-1×kn-2+。
+a1×k+a0.5) k进制的四则混合运算和十进制一样，先乘除后加减，同级运算先左后右，有括号时先计算括号内的。
4.进制间的转换：将十进制整数化为k进制数的方法是：除以k取余数，一直除到被除数小于k为止，余数由下到上按从左到右顺序排列即为k进制数。
反过来，k进制数化为十进制数的方法是：将k进制数按k的次幂形式展开，然后按十进制数相加即可得结果。