第六章参考答案习题6.11. 在空间直角坐标系中,指出下列各点在哪个卦限? ()3,4,3A -4,()4,3B -; 3,43(),C --; 3()3,4,D ---解 A 在第四卦限, B 在第二卦限, C 在第六卦限, D 在第七卦限.2. 在坐标面上和坐标轴上的点的坐标各有什么特征？指出下列各点的位置: ()0,4,1A ;()1,0,3B ; ()0,2,0C ; 0,0(,1)D -解 在xOy 面上的点的坐标为(,,0)x y ; 在yOz 面上, 的点的坐标为(0,,)y z ; 在zOx 面上, 的点的坐标为(,0,)x z .在x 轴上的点的坐标为(,0,0)x ; 在y 轴上的点的坐标为(0,,0)y , 在z 轴上的点的坐标为(0,0,)z .A 在yOz 面上,B 在xOz 面上,C 在y 轴上,D 在z 轴上.3. 求点(,,)x y z 关于(1)各坐标面; (2)各坐标轴; (3)坐标原点的对称点的坐标. 解 (1)点(,,)x y z 关于x O y 面的对称点为(,,)(,,)x y z x y z -; 点称点(,,)x y z 为(,,)(,,)x y z x y z --; 点(,,)x y z 关于z 轴的对称点为(,,)x y z --.(3)点(,,)x y z 关于坐标原点的对称点为(,,)x y z ---.4. 过()01,2,3M 分别作平行于x 轴的直线和平行于xOy 面的平面, 问在它们上面的点的坐标各有什么特点？解 过0M 且平行于x 轴的直线上点的坐标,其特点是，它们的纵坐标均为2，它们的竖坐标均为3。

过0M 且平行于xOy 面的平面上点的坐标，其特点是，它们的横坐标均为1.5. 求点5,4( ,3)M -到各坐标轴的距离. 解 点M 到x 轴的距离就是点5,4(,3)M -与点(5,0,0)之间的距离, 即22(4)35x d =-+=.点M 到y 轴的距离就是点5,4(,3)M -与点0,4)( ,0-之间的距离, 即 225334y d =+=.点M 到z 轴的距离就是点5,4(,3)M -)与点(0,0,3)之间的距离, 即 225(4)41z d =+-=.6. 求证以1(4,3,1)M 、2(7,1,2)M 、3(5,2,3)M 三点为顶点的三角形是一个等腰三角形.解 因为 222212741()()()32114,M M =-+-+-=222223()( 572()12,)36M M =-+-+-=222213()(542()31,)36M M =-+-+-=所以2313 ,M M M M = 即123 M M M 为等腰三角形.7. 设已知两点 (2, 2, 2)A )和 (1, 3, 0)B 计算向量AB −−→的模、方向余弦和方向角.解 (12, 32, 02)(1, 1, 2)AB =---=--; 22211(2)2AB =++=;21cos -=α, 1cos 2β=, 2cos 2γ=-;32πα=, 3πβ=, 34πγ=.8. 设向量的方向余弦分别满足(1)cos 0=α; (2)cos 1=β;(3)cos cos 0==αβ, 问这些向量与坐标轴或坐标面的关系如何？解 (1)当cos 0=α时, 向量垂直于x 轴, 或者说是平行于yOz 面.(2)当cos 1=β时, 向量的方向与y 轴的正向一致, 垂直于zOx 面.(3)当cos cos 0==αβ时, 向量垂直于x 轴和y 轴, 平行于z 轴, 垂直于xOy 面.9. 一向量的终点在点(2,17)B -, 它在x 轴、y 轴和z 轴上的投影依次为4,4,7-. 求这向量的起点A 的坐标.解 设点A 的坐标为(,,)x y z . 由已知得 ⎪⎩⎪⎨⎧=--=--=-774142z y x ,解得2,3,0x y z =-==. 点A 的坐标为(2,3,0)A -.10. 设358m i j k =++, 247n i j k =--和54p i j k =+-. 求向量43a m n p =+-在x 轴上的投影及在y 轴上的分向量.解因为434()7541()()3715a m n p i j k i j k i j k i j k =+-=+++---+-=++,所以43a m n p =+-在x 轴上的投影为13, 在y 轴上的分向量7j . 11. 设a 的方向角,43ππαβ==，且3=a ，求a 的坐标表示。

解 设a (,,)x y z a a a =，则x a =a 32cos 3cos42πα==，y a =a 3cos 3cos 32πβ==由222coscos cos 1αβγ++=，得2221c o s1(c o s c o s )4γαβ=-+=，即1c o s 2γ=±。

所以 z a =a 3c o s 3c o s 2γγ==±故a = 3233(,,)222或3233(,,)222- 习题6.21. 已知向量(1,1,2=a (0,1,0)=b,求(1)a a , a b ,⨯a a , ⨯a ba prj a ,b prj a ,cos(,)a b解 22221126⋅==++=a a a ，1011201⋅=⨯+⨯+⨯=a b⨯=a a o ，112(2,0,1)010⨯==-i j ka b ，a prj a 16⋅==a b a ， b p r j b 1⋅==a bbcos(,)a b 16⋅==a b a b 2. 设3a =, 5b =(1,1,2)(5,6,2)(1,3,1)A B C ---,且两向量的夹角3πθ=,试求(2)(32)a b a b -⋅+. 解 因为 15cos 2θ⋅==a b a b 所以 (2)(32)a b a b -⋅+=22344-⋅-a a b b 103=-3. 已知三角形ABC 的顶点分别是(1,2,3)A 、(2,3,4)B 、(2,4,7)C , 求三角形ABC 的面积.解 根据向量积的定义, 可知三角形ABC 的面积→→→→||21sin ||||21AC AB A AC AB S ABC ⨯=∠=∆. 由于→AB =(2, 2, 2), →AC =(1, 2, 4), 因此 →→421222kj i =⨯AC AB =4i -6j +2k .于是 142)6(421|264|21222=+-+=+-=∆k j i ABC S .4. 设力235=-+f i j k 作用在一质点上,质点由1(1,1,2)M 沿直线移动到2(3,4,5)M ,求此力所做的功(设力的单位为N ,位移的单位为m ).解 12(31,41,52)(2,3,3)M M =---= 所以 W=⋅f 12M M (2,3,5)(2,3,3)=-⋅10()J =5. 在杠杆上支点o 的一侧与点o 的距离为1x 的点1P 处, 有一与1OP −−→成角1θ的力1F 作用着; 在o 的另一侧与点o 的距离为2x 的点2P 处, 有一与2OP −−→成角2θ的力1F 作用着. 问1θ、2θ、1x 、2x、1F 、2F 符合怎样的条件才能使杠杆保持平衡.解 因为有固定转轴的物体的平衡条件是力矩的代数和为零,再注意到对力矩正负的规定可得, 使杠杆保持平衡的条件为 111222 0x F sin x F sin θθ⨯-⨯=, 即 111222 x F sin x F sin θθ⨯=⨯.6. 设(3,5,2)=-a ,(2,1,9)=b ，试求λ的值，使得λ+a b 与z 轴垂直。

解 由于 (32,51,29)λλλλ+=++-+a b 要使λ+a b 与z 轴垂直，只要()0λ+⋅=a b k即 (32,51,29)(0,0,1)0λλλ++-+⋅= 亦即290λ-+=，故 92λ=7. 设已知向量23=-+a i j k , 3=-+b i j k 和2=-c i j , 计算:(1)()()-a b c a c b ; (2)()()+⨯+a b b c ); (3)()⨯a b c .解 (1)()21311()38a b ⨯⋅=⨯+--+⨯=, 21(3)(2)8a c ⋅=⨯+-⨯-=,8()()()[()()88823824]a b c a c b c b c b i j i j k j k⋅-⋅=-=-=---+=--. (2)344,233,a b i j k b c i j k +=-++=-+ k j kj i c b b a --=--=+⨯+332443)()(.(3)k j i kj i b a +--=--=⨯58311132,()( 815202)1()a b c ⋅⨯⨯=-⨯+--+⨯=. 8. 已知三点(1,1,2)A -，(5,6,2)B -， (1,3,1)C -，求 (1) 同时与AB 及AC 垂直的单位向量(2) ABC 的面积(3) 从顶点B 到边AC 的高的长度解(4,5,0)AB =-,得(1) 设同时与AB 及AC 垂直的单位向量为a e ，则a e 2221(15,12,16)151216⨯=±=±⨯++AB AC AB AC(2) 12522=⨯=ABCSAB AC (3) 设所求高的长度为h ，由12ABCS AC h =⋅得 222225504(3)ABCSh AC===++-9. 证明平行四边形法则：()2222a b a b a b ++-=+并说明这一法则的几何意义。

证 2222()()++-=++-a b a b a b a b 222222=+++-+a ab b a ab b22222()2()=+=+a b a b其几何意义是：平行四边形的对角线的平方和等于相邻两边平方和的2倍。

10. 试用向量证明不等式:||332211232221232221b a b a b a b b b a a a ++≥++++其中1a 、2a 、3a 、1b 、2b 、3b 123123()(),,,,,,a a a a b b b b ==为任意实数, 并指出等号成立的条件.证 设123123()(),,,,,,a a a a b b b b == 则有||||) ,cos(||||^b a b a b a b a ⋅≤⋅=⋅,于是||332211232221232221b a b a b a b b b a a a ++≥++++,其中^cos(, 1)=a b 时, 即a 与b 平行是等号成立.习题6.31. 求满足下列条件的平面方程：(1) 过点0(2,9,6)M -且与向量0OM 垂直；解 所求平面的法线向量为2,9(6),n =-, 由平面的点法式方程，得所求平面的方程为 2299()()(66)0x y z -+---=, 即2961210x y z +--=.(2) 过点(3,0,1)-且与平面375120x y z -+-=平行；解 由于平行平面的法向量相同，法向量(3,7,5)n =-，故所求平面方程为()()()3370510,x y z ---++=, 即2751210x y z -+-=(3) 过点(1,0,1)-，且同时平行于向量2=++a i j k 和=-b i j ；解 法向量2113110=⨯==+--ij kn a b i j k ，所求平面方程为 1(1)1(0)3(1)0x y z ⋅-+⋅--⋅+= 即 340x y z +--=(4) 过三点1(1,0,1)M -、2(1,3,2)M --和3(0,2,3)M ; 解 我们可以用→→3121M M M M ⨯作为平面的法线向量n . 因为→)6 ,4 ,3(21--=M M , →)1 ,3 ,2(31--=M M , 所以→→k j i kj i n -+=----=⨯=9141326433121M M M M .根据平面的点法式方程, 得所求平面的方程为 ()(1429(40))1x y z -++--=, 即 149150x y z +--=.(5) 求过点(1,1,1)，且垂直于平面7x y z -+=和051223=+-+z y x 的平面方程.解 由条件，所求平面的法向量n 与平面7=+-z y x ,051223=+-+z y x 的法向量都垂直，因此 12111101553212=⨯=-=++-ij kn n n i j k 取(2,3,1)=n ，所求方程为 2(1)3(1)1(1)⋅-+⋅-+⋅-=x y z 即 2360++-=x y z(6) 平行于xOy 面且经过点(2,5,3)-;解 所求平面的法线向量为(0,0,1)j , 于是所求的平面为 0205130,(.(3))()x y z z ⋅-+⋅++⋅-==即. (7) 过点(3,1,2)--和y 轴解 所求平面可设为0Ax Cz +=. 因为点(3,1,2)--在此平面上, 所以 320A C --=,将23C A =-代入所设方程得 230Ax Az -=, 所以所求的平面的方程为230x z -= 2. 指出下列平面的特殊位置:⑴ 0y =; ⑵ 310x -=; ⑶ 3260x y --=; ⑷ 0x y -=; ⑸ 1y z +=; ⑹ 230x y z -+= 解 (1) x O z 平面.(2) 垂直于x 轴的平面, 它通过x 轴上的点1(, 0, 0)3.(3) 平行于z 轴的平面, 它在x 轴、y 轴上的截距分别是23-和. (4) 通过z 轴的平面, 它在xOy 面上的投影的斜率为1.(5) 平行于x 轴的平面, 它在y 轴、z 轴上的截距均为1. (6) 通过原点的平面.3.求平面2230x y z -++=与各坐标面的夹角的余弦. 解 此平面的法线向量为(1,2,2)n =-. 此平面与yOz 面的夹角的余弦为 ^22111cos cos(, )||||32(2)1α⋅====⋅+-+n i n i n i ;此平面与zOx 面的夹角的余弦为321)2(22||||) ,cos(cos 122^-=+-+-=⋅⋅==j n j n j n β; 此平面与xOy 面的夹角的余弦为 ^22122cos cos(, )||||32(2)1γ⋅====⋅+-+n k n k n k .4. 分别在下列条件下确定n m l ,,的值：（1）使08)3()1()3(=+-+++-z n y m x l 和016)3()9()3(=--+-++z l y n x m 表示同一平面；（2）使0532=-++z my x 与0266=+--z y lx 表示二平行平面； （3）使013=+-+z y lx 与027=-+z y x 表示二互相垂直的平面.解：（1）欲使所给的二方程表示同一平面，则：168339133-=--=-+=+-l n n m m l 即： ⎪⎩⎪⎨⎧=-+=-+=-+092072032n l m n l m ， 解之得 97=l ，913=m ，937=n .（2）欲使所给的二方程表示二平行平面，则：6362-=-=m l ，所以4-=l ，3=m . （3）欲使所给的二方程表示二垂直平面，则：7230l ++=所以： 57l =-.5. 求平面011=-+y x 与083=+x 的夹角；解 设011=-+y x 与083=+x 的夹角为θ， 则 32cos 223θ==⨯ 所以 4πθ=.6. 求点(1,1,2)到平面2230x y z ++-=的距离. 解 利用点到平面的距离公式可得222211122343212d ⨯+⨯+⨯-==++ 7. 已知(5,11,3)A --, (7,10,6)B -和(1,3,2)C ---,求平行于ABC ∆所在的平面且与它的距离等于2的平面的方程.解 设所求平面的法向量为n因为n AB ⊥, n AC ⊥, (12,21,9)AB =-, (6,8,5)AC =-则 A B A C ⨯=1221933630685-=-+--ij ki j k 所以取n (11,2,10)=-，则设所求的平面方程为 112100x y z D -++=由已知条件得2221112(3)10(2)211(2)10D ⨯-⨯-+⨯-+=+-+330D -=, 1233,27D D ==-所以所求平面方程为11210330x y z -++= 或 11210270x y z -+-=习题6.41. 求下列各直线方程:⑴ 通过点1(1,2,2)M -和2(2,1,1)M -的直线解 所求直线的方向向量为12(1,3,3)s M M ==-, 所求的直线方程为122133x y z -+-==-. ⑵ 过点(3,2,1)-且平行于直线121123x y z -++==-的直线 解 所求直线的方向向量为(1,2,3)s =-所求的直线方程为321123x y z --+==-. ⑶ 过点(1,3,2)A -且和x 轴垂直相交的直线因为直线过A 点和x 轴垂直相交,所以交点为(1,0,0),B 取(0,3,2),BA s −−→==-所求直线方程⑷ 通过点(1,0,2)且与两直线11111x y z -+==-和11110x y z -+==-垂直的直线. 解 所求直线的方向向量为121112110=⨯=-=----ij ks n n i j k ，所以，直线方程为：12112--==x y z . (5) 通过点(1,2,1)M -且与z y x ,,三轴分别成︒︒︒120,45,60的直线； 解 所求直线的方向向量为：()121cos 60,cos 45,cos120,,222︒︒︒⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，故直线方程为：121112x y z --+==-. 2. 求直线1,234x y z x y z ++=-⎧⎨-+=-⎩的点向式方程与参数方程.解 先求直线上的一点. 取1x = 有 ⎩⎨⎧=+--=+232z y z y .解此方程组, 得2y =-, 0z =, 即(1,2,0)-就是直线上的一点.再求这直线的方向向量s . 以平面1x y z ++=-和234x y z -+=的法线向量的向量积作为直线的方向向量s : ()(23)11143213=++⨯-+==---ij ks i j ki j k i j k 因此, 所给直线的对称式方程为 31241-=-+=-zy x . 132.032x y z -+-==-令t zy x =-=-+=-31241, 得所给直线的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧-=--=+=tz t y t x 3241.3. 求过点(1,2,3)-且与直线⎩⎨⎧=+-+=-+-012530742z y x z y x 垂直的平面方程.解 所求平面的法线向量n 可取为直线⎩⎨⎧=+-+=-+-012530742z y x z y x 的方向向量, 即k j i kj i n 111416253421)2 ,5 ,3()4 ,2 ,1(++-=--=-⨯-=.所平面的方程为()()()1611421130,x y z --+++-=,即161411110---=x y z . 4. 求直线l ：21111-=-=-z y x 与平面π：032=--+z y x 的交点坐标和夹角. 解直线l 的参数方程为：⎪⎩⎪⎨⎧+=+=-=t z t y tx 211设交点处对应的参数为0t ，代入得03)21()1()(2000=-+-++-⨯t t t , 10-=t ，从而交点为101-（，，）. 又设直线l 与平面π的交角为θ，则：21662111)1(2sin =⨯⨯-⨯+-⨯=θ， 所以 6πθ=.5. 判别下列直线与平面的位置关系:⑴ 34273x y z++==-- 和 42230x y z ---= ⑵ 121327x y z -+-==- 和 641450x y z -+-= ⑶ 53250210x y z x y z -+-=⎧⎨---=⎩ 和 43770x y z -+-=⑷ 2994x t y t z t =⎧⎪=-+⎨⎪=-⎩和 347100x y z -+-=解 （1）所给直线的方向向量为(2,7,3)=--s , 所给平面的法线向量为(4,2,2)=--n . 因为()()(247232)()0⨯=-+--+⨯⨯-=⨯s n , 所以 ⊥s n ,从而所给直线与所给平面平行. 又因为直线上的点(3,4,0)--不满足平面方程4223--=x y z , 所以所给直线不在所给平面上.（2） 所给直线的方向向量为, 所给平面的法线向(3,2,7)s =-量为(6,4,14)n =-. 因为s n , 所以所给直线与所给平面是垂直的.（3）直线的方向向量为：1253259211=⨯=-=++--i j ks n n i j k ，平面的法向量为437=-+n i j k ，而(59)(437)0⋅=++⋅-+=s n i j k i j k ， 所以直线与平面平行或者直线在平面上；取直线上的点)0,5,2(--M ，显然点在)0,5,2(--M 也在平面上（因为4(2)3(5)70⨯--⨯--=），所以，直线在平面上.（4）直线的方向向量为(1,2,9)=-s ，因为 097)2(413≠⨯+-⨯-⨯ 所以直线与平面相交但不垂直. 6. 求下列各平面的方程：⑴ 通过点(2,0,1)M -，且又通过直线32121-=-=+z y x 的平面； 解 (1) 解 所求平面的法线向量与直线32121-=-=+z y x 的方向向量1(2,1,3)s =-)垂直. 因为点(2,0,1)-和(1,0,2)-都在所求的平面上, 所以所求平面的法线向量与向量2(1,0,2)(2,0,1)(3,0,3)s =---=-也是垂直的. 因此所求平面的法线向量可取为122135303=⨯=-=++-ij kn s s i j k .所求平面的方程为251)),(0(x y z -+++= 即015=-++z y x⑵ 通过直线115312-+=-+=-z y x 且与直线⎩⎨⎧=-+-=+-+01012z y x z y x 平行的平面；解 直线⎩⎨⎧=-+-=+-+01012z y x z y x 的方向向量为k j i kj i s 32111121)1 ,1 ,1()1 ,2 ,1(1--=--=-⨯-=,所求平面的法线向量可取为121231323151=⨯=--=-----i j kn s s i j k ,又平面过点(2,3,1)--，由平面点法式方程得， 所求平面的方程为 ()()13223310()x y z ---+-+= 即 1323170x y z ++-= 7. 求点(2,1,0)-在平面10.+-+=x y z 上的投影.解 平面的法线向量为(1,1,1)n =-. 过点(1,2,0)-并且垂直于已知平面的直线方程为21111-+==-x y z. 将此方程化为参数方程2,1,x t y t z t =+=-+=-,代入平面方程10.+-+=x y z 中, 得 2(1)10++-++=t t t 解得23=t . 再将23=t 代入直线的参数方程, 得83=x , 13=-y , 23=-z . 于是点(2,1,0)-在平面10.+-+=x y z 上的投影为点812(, -, -)333.8. 求点1(2,)1,-P 到直线⎩⎨⎧=-+-=+-+04201z y x z y x 的距离.解 直线⎩⎨⎧=-+-=+-+04201z y x z y x 的方向向量为k j kj i s 33112111)1 ,1 ,2()1 ,1 ,1(--=--=-⨯-=.过点P 且与已知直线垂直的平面的方程为 313()(0)2y z -+--=, 即10y z +-=. 解线性方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧=-+=-+-=+-+0104201z y z y x z y x ,得1x =, 21-=y , 23=z .点1(2,)1,-P 到直线⎩⎨⎧=-+-=+-+04201z y x z y x 的距离就是点1(2,)1,-P 与点)23 ,21 ,1(-间的距离,即 222136(21)(1)(1)222=-+-++-=d .9. 设0M 是直线外一点, M L 是直线L 上任意一点, 且直线的方向向量为s , 试证: 点0M 到直线L 的距离 →||||0s s ⨯=M M d . 证 设点0M 到直线L 的距离为的方向L 向量→MN =s , 根据向量积的几何意义, 以和→MN 为邻→M M 0边的平行四边形的面积为→→→||||00s ⨯=⨯M M MN M M ,又以→M M 0和→MN 为邻边的平行四边形的面积为→||||0s s ⨯=⋅M M d . 因此→||||0s s ⨯=⋅M M d →||||0s s ⨯=M M d .10. 求直线⎩⎨⎧=++-=--+0101z y x z y x 在平面2210--+=x y z 上的投影直线的方程．解 设过直线⎩⎨⎧=++-=--+0101z y x z y x 的平面束方程为0)1()1(=++-+--+z y x z y x λ即 01)1()1()1(=-++-+-++λλλλz y x 这平面与已知平面2210--+=x y z 垂直的条件是(1)2(1)(1)(1)(2)0+⋅+-⋅-+-+⋅-=λλλ,解之得3=-λ代入平面束方程中得2220-++=x y z 投影平面方程为，所以投影直线为22202210-++=⎧⎨--+=⎩x y z x y z .习题6.51. 求以点122-（，，）为球心，且通过坐标原点的球面方程.解 球的半径2221(2)23=+-+=R ,球面方程为 222()()(9)122-+++-=x y z即 2222440.++-+-=x y z x y z2. 方程22224220+++-++=x y z x y z 表示什么曲面? 解 由已知方程得2222()()(1212)++-++=x y z所以此方程表示以1,21(,)--为球心, 以2为半径的球面.3. 将yOz 坐标面上的抛物线2y z =绕z 轴旋转一周，求所生成的旋转曲面的方程解 将方程中的y 换成22±+y x 得旋转曲面的方程222+=y x z4. 将xOz 坐标面上的椭圆22936+=x z 分别绕x 轴及z 轴旋转一周，求所生成的旋转曲面的方程.解 椭圆绕x 轴旋转而得的旋转曲面的方程为2229(36.)++=x y z 即 222222 1.622++=x y z椭圆绕z 轴旋转而得的旋转曲面的方程为22236.)(9++=x y z 即 222222 1.662++=x y z5. 指出下列方程在平面解析几何和空间解析几何中分别表示什么图形.⑴1=x ; ⑵2=-+y x ; ⑶ 224x y +=; ⑷ 224x y -=解 (1) 在平面解析几何中, 1=x 表示平行于y 轴的一条直线; 在空间解析几何中,1=x 表示一张平行于yOz 面的平面.(2) 在平面解析几何中, 2=-+y x 表示一条斜率是1-, 在y 轴上的截距也是2的直线; 在空间解析几何中，2=-+y x 表示一张平行于z 轴的平面.(3) 在平面解析几何中, 224+=y x 表示中心在原点, 半径是4的圆; 在空间解析几何中, 224+=y x 表示母线平行于z 轴, 准线为224+=y x 的圆柱面.(4) 在平面解析几何中, 224x y -=表示双曲线; 在空间解析几何中,224x y -=表示母线平行于z 轴的双曲面.6. 说明下列旋转曲面是怎样形成的：⑴2221994x y z ++=; ⑵ 222144-+=x z y ; (3) 222(1)-=+z x y 解 ⑴这是yOz 面上的椭圆22194+=y z 绕z 轴旋转一周而形成的, 或是xOz 面上的椭圆22194+=x z 绕x 轴旋转一周而形成的. ⑵ 这是xOy 面上的双曲线2214-=x y 绕y 轴旋转一周而形成的, 或是yOz 面上的双曲线2214-+=z y 绕y 轴旋转一周而形成的. (3) 这是zOx 面上的曲线22(1)-=z x 绕z 轴旋转一周而形成的, 或是yOz 面上的曲线22(1)-=z y 绕z 轴旋转一周而形成的. 7. 指出下列各方程表示哪种曲面,并作图： ⑴220+-=x y ax ; ⑵ 20-=y z ;⑶ 22244+-=x y z ; ⑷ 2294=+x y z ；(1) 220+-=x y ax 表示母线平行z 轴的圆柱面。