第一章 预备知识一、定义域1. 已知()f x 的定义域为(,0)-∞ ，求(ln )f x 的定义域。

答案：(0,1)2. 求32233()6x x x f x x x +--=+- 的连续区间。

提示：任何初等函数在定义域围都是连续的。

答案：()()(),33,22,-∞--+∞二、判断两个函数是否相同？1. 2()lg f x x = ，()2lg g x x = 是否表示同一函数？答案：否 2. 下列各题中，()f x 和()g x 是否相同？答案：都不相同()2ln 1(1) (),()11(2) (),()sin arcsin (3) (),()xx f x g x x x f x x g x x f x x g x e -==-+==== 三、奇偶性1. 判断()2x xe ef x --= 的奇偶性。

答案：奇函数四、有界性, 0∀∈∃>x D K ，使()≤f x K ，则()f x 在D 上有界。

有界函数既有上界，又有下界。

1. ()ln(1)f x x =- 在(1,2) 是否有界？答案：无界2. 221x y x =+ 是否有界？答案：有界，因为2211<+x x五、周期性1. 下列哪个不是周期函数（C ）。

A ．sin , 0y x λλ=>B ．2y =C ．tan y x x =D ．sin cos y x x =+注意：=y C 是周期函数，但它没有最小正周期。

六、复合函数1. 已知[]()fx ϕ ，求()f x例：已知10)f x x x ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，求()f x 解1：(111111()1f x x xf x x⎛⎛⎛⎫==+ ⎪ ⎝⎭⎝⎝=+ 解2： 令1y x = ，1x y =，1()f y y =+，(11()1f x x x =+=2. 设2211f x x x x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭ ，求()f x 提示：222112x x x x ⎛⎫+=+- ⎪⎝⎭3. 设(sin )cos 21f x x =+ ，求(cos )f x 提示：先求出()f x4. 设22(sin )cos 2tan f x x x =+ ，求()f x 提示：2222sin (sin )12sin 1sin xf x x x=-+-七、函数图形熟记arcsin ,arccos ,arctan ,cot ====y x y x y x y arc x 的函数图形。

第二章 极限与连续八、重要概念1. 收敛数列必有界。

2. 有界数列不一定收敛。

3. 无界数列必发散。

4. 单调有界数列极限一定存在。

5. 极限存在的充要条件是左、右极限存在并且相等。

九、无穷小的比较1. 0→x 时，下列哪个与x 是等价无穷小（A ）。

A ．tan x B ．sin -x xC ．sin +x xD ．23x十、求极限1. 无穷小与有界量的乘积仍是无穷小。

arctan lim0x x x →∞= ，cos lim 1x x x x →∞-= ，1lim sin 0x x x →∞= ，201lim sin 0x x x→=，lim0x →+∞= 2. 自变量趋于无穷大，分子、分母为多项式例如：22323lim 4354→∞-=++x x x x 提示：分子、分母同除未知量的最高次幂。

3. 出现根号，首先想到有理化limlim0x x →+∞==1232111312x x x x x →→++==- （1）limn →∞（2）1x → （3）)lim x x →+∞（4）)lim x xx →+∞（5）0x →4. 出现三角函数、反三角函数，首先想到第一个重要极限例：2211sinsin1lim lim 121(21)2x x x x x x x x x x→∞→∞=⨯=++作业：P497 （1）~（3）5. 出现指数函数、对数函数、幂指函数，首先想到第二个重要极限例：22221222122212lim lim 111x x x x x x x e x x +--⨯+-→∞→∞⎛⎫--⎛⎫=+= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭作业：P49 7 （4）~（6）6.00 、∞∞、0∞ 、∞-∞ 、00 、1∞ 、0∞ ，可以使用洛必达法则 作业：P995 （1）~（8）7. 分子或分母出现变上限函数提示：洛必达法则+变上限函数的导数等于被积函数例：2232 0001sin 1lim sin lim 33xx x x t dt xx →→==⎰ 补充练习： （1）sin 0arcsin limsin xx tdtx x→⎰（2）2limxt x e dt x→⎰（3）()2223sin limsin x xx t dt t t dt→⎰⎰（4）111lim1xtx e dtx →-⎰十一、连续与间断任何初等函数在其定义域围都是连续的。

分段函数可能的间断点是区间的分界点。

若00lim ()()x x f x f x →= ，则()f x 在0x 处连续，否则间断。

第一类间断点：左、右极限都存在的间断点，进一步还可细分为可去间断点和跳跃间断点。

第二类间断点：不属于第一类的间断点，进一步还可细分为无穷间断点和振荡间断点。

1. 设22, 0(), 0x x e e x f x xk x -⎧+-≠⎪=⎨⎪=⎩在0x = 处连续，求?k = 解：200002lim ()lim lim lim 122x x x x x xx x x x e e e e e e f x x x ---→→→→+--+==== ()f x 在0x = 处连续， 1k ∴=2. 作业：P49 4、10 P5011、123. 补充练习：（1）研究函数的连续性：21 1() 111 1x f x x x x -<-⎧⎪=-≤≤⎨⎪>⎩，2 01()2 12x x f x x x ⎧≤≤=⎨-<≤⎩（2）确定常数, a b ，使下列函数连续：0() 0x e x f x x a x ⎧≤=⎨+>⎩ ，2 0() 0x x f x a x x ⎧<=⎨+≥⎩ ，()ln 13 0() 2 0sin 0x x bx f x x axx x -⎧<⎪⎪⎪==⎨⎪⎪>⎪⎩（3）求下列函数的间断点并确定其所属类型：2322 1 145, , cos , 45 156sin x x x x y y y y x x x x x x -≤⎧-====⎨->-+⎩ 十二、闭区间上连续函数的性质零点定理：()f x 在[,]a b 上连续，且()()0f a f b < ，则在(,)a b 至少存在一点ξ ，使得()0f ξ= 1. 补充练习：（1）证明方程sin 2x x =+ 至少有一个不超过3的正实根。

（2）证明方程5310x x --= 在(1,2) 至少有一个实根。

（3）证明方程2x x e =- 在(0,2) 至少有一个实根。

（4）证明方程32xx = 至少有一个小于1的正根。

第三章 导数与微分十三、重要概念1. 可导必连续，但连续不一定可导。

2. 可导必可微，可微必可导。

3. 函数在0=x x 处可导的充要条件是左、右导数存在并且相等。

十四、导数的定义作业：P75 2十五、对于分段函数，讨论分界点是否可导？例：()f x x = 在0x = 处，连续但不可导 1. 作业：P75 4、52. 讨论下列函数在区间分界点的连续性与可导数2 0() 0x x f x x x ⎧≥=⎨<⎩ 答案：在0x = 处连续、不可导 1arctan 0()0 0x x f x xx ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩ 答案：在0x = 处连续、不可导 sin(1)1()10 1x x f x x x -⎧≠⎪=-⎨⎪=⎩ 答案：在1x = 处不连续、不可导 3. 设 0()cos 0ax b x f x x x +>⎧=⎨≤⎩，为使()f x 在0x = 处连续且可导，,a b 应取什么值？答案：0,1a b ==十六、求导数1. 求函数的导数，特别是复合函数的导数 作业：P756、102. 利用对数求导法求导数 作业：P76133. 求隐函数的导数 作业：P76124. 求由参数方程所确定的函数的导数作业：P76 145. 求高阶导数 作业：P75116. 求切线方程、法线方程利用导数求出切线的斜率k ，则法线的斜率为1k- 例：求曲线cos y x x =- 在2x π=处的切线方程。

解：'1sin y x =+ 切线斜率2'2x k y π=== ，切线经过点,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭切线方程：222y x ππ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭ 作业：P7537. 求变上限函数的导数 作业：P156 4十七、求微分(), '()y f x dy f x dx ==1.(ln 1y =，'dy y dx ===2. 21arctan ln(1)ln 32y x x x =-++ ，求dy 解：222'arctan arctan 12(1)arctan x xy x xx x dy xdx =+-=++= 作业：P7615十八、利用微分进行近似计算公式：()()()000'f x x f x f x x +∆≈+∆ 作业：P76 16第四章 中值定理与导数的应用十九、利用拉格朗日中值定理证明不等式定理：设()f x 在[],a b 上连续，在(),a b 可导，则在(),a b 至少存在一点ξ ，使得()()()'f b f a f b aξ-=-证明步骤：（1）根据待证的不等式设函数()f x （2）叙述函数()f x 满足定理条件 （3）根据定理证明出不等式。

1. 作业：P99 42. 补充练习：证明下列不等式： （1）当0a b >> 时，()()233233ba b a b a a b -<-<-（2）arctan arctan a b a b -≤- （3）当1x > 时，xe xe >二十、单调性与极值1. 单调性：（1）确定单调区间可能的分界点（驻点与导数不存在的点） （2）将定义域分成若干个子区间，列表讨论()'f x 在各子区间上的符号，从而确定单调性与单调区间作业：P9962. 极值：（1）确定可能的极值点（驻点与导数不存在的点） （2）将定义域分成若干个子区间，列表讨论()'f x 在各子区间上的符号，从而确定单调性与极值例：确定8()2f x x x=- 的单调区间及极值点 作业：P100 9二十一、求闭区间上连续函数的最值步骤：（1）求出所有可能的极值点 （2）计算各可能极值点的函数值以及区间端点的函数值 （3）上述各值中最大的为max ，最小的为min 作业：P100 10 （1）二十二、最值的应用问题步骤：（1）写出目标函数()f x （2）求出可能的极值点0x （应用问题只有一个可能的极值点） （3）分析是最大值问题还是最小值问题。