2016年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）数学（理科）第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． （1）【2016年四川，理1，5分】设集合{|22}A x x =-≤≤，Z 为整数集，则集合A Z 中元素的个数是（ ）（A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）6 【答案】C【解析】由题可知， {}2,1,0,1,2A =--Z ，则A Z 中元素的个数为5，故选C ．【点评】集合的概念及运算一直是高考的热点，几乎是每年必考内容，属于容易题．一般是结合不等式，函数的定义域值域考查，解题的关键是结合韦恩图或数轴解答．（2）【2016年四川，理2，5分】设i 为虚数单位，则6(i)x +的展开式中含4x 的项为（ ） （A ）415x - （B ）415x （C ）420i x - （D ）420i x 【答案】A【解析】由题可知，含4x 的项为24246C i 15x x =-，故选A ． 【点评】本题考查二项式定理及复数的运算，复数的概念及运算也是高考的热点，几乎是每年必考内容，属于容易题．一般来说，掌握复数的基本概念及四则运算即可．二项式6(i)x +的展开式可以改为6()x +i ，则其通项为66r r r C x -i ，即含4x 的项为46444615C x x -=-i ．（3）【2016年四川，理3，5分】为了得到函数πsin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，只需把函数sin 2y x =的图象上所有的点（ ）（A ）向左平行移动π3个单位长度 （B ）向右平行移动π3个单位长度（C ）向左平行移动π6个单位长度（D ）向右平行移动π6个单位长度【答案】D【解析】由题可知，ππsin 2sin 236y x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，则只需把sin 2y x =的图象向右平移6π个单位，故选D ．【点评】本题考查三角函数的图象平移，在函数()sin()f x A ωx φ=+的图象平移变换中要注意人“ω”的影响，变换有两种顺序：一种sin y x =的图象向左平移φ个单位得sin()y x φ=+，再把横坐标变为原来的1ω倍，纵坐标不变，得sin()y ωx φ=+的图象，另一种是把sin y x =的图象横坐标变为原来的1ω倍，纵坐标不变，得sin y ωx =的图象，向左平移φω个单位得sin()y ωx φ=+的图象．（4）【2016年四川，理4，5分】用数字1，2，3，4，5构成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为（ ） （A ）24 （B ）48 （C ）60 （D ）72 【答案】D【解析】由题可知，五位数要为奇数，则个位数只能是1，3，5；分为两步：先从1，3，5三个数中选一个作为个位数有13C ，再将剩下的4个数字排列得到44A ，则满足条件的五位数有1434C A 72⋅=，故选D ．【点评】利用排列组合计数时，关键是正确进行分类和分步，分类时要注意不重不漏，分步时要注意整个事件的完成步骤．在本题中，个位是特殊位置，第一步应先安排这个位置，第二步再安排其他四个位置．（5）【2016年四川，理5，5分】某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入，若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是（ ）（参考数据：lg1.120.05≈，lg1.30.11≈，lg20.30=）（A ）2018年 （B ）2019年 （C ）2020年 （D ）2021年 【答案】B【解析】设x 年后该公司全年投入的研发资金为200万元，由题可知，()130112%200x+=，解得 1.12200lg 2lg1.3log 3.80130lg1.12x -==≈，因资金需超过200万，则x 取4，即2019年，故选B ． 【点评】本题考查等比数列的实际应用．在实际问题中平均增长率问题可以看作是等比数列的应用，解题时要注意把哪个作为数列的首项，然后根据等比数列的通项公式写出通项，列出不等式或方程就可解得结论．（6）【2016年四川，理6，5分】秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法，如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例。

若输入n ，x 的值分别为3，2．则输出v 的值为（ ）（A ）9 （B ）18 （C ）20 （D ）35 【答案】B【解析】初始值3n =，2x =，程序运行过程如下表所示1v =，2i =，1224v =⨯+=，1i =，4219v =⨯+=，0i =，92018v =⨯+=，1i =-，跳出循环，输出18v =，故选B ．【点评】程序框图是高考的热点之一，几乎是每年必考内容，多半是考循环结构，基本方法是将每次循环的结果一一列举出来，与判断条件比较即可．（7）【2016年四川，理7，5分】设p ：实数x ，y 满足22(1)(1)2x y -+-≤，q ：实数x ，y 满足1,1,1,y x y x y ≥-⎧⎪≥-⎨⎪≤⎩则p 是q 的（ ）（A ）必要不充分条件 （B ）充分不必要条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】如图，()()22112x y -+-≤① 表示圆心为()1,1，半径为2的圆内区域所有点（包括边界）； 1,1,1y x y x y -⎧⎪-⎨⎪⎩≥≥≤② 表示ABC ∆内部区域所有点（包括边界）．实数,x y 满足②则必然满足①， 反之不成立．则p 是q 的必要不充分条件，故选A ．【点评】本题考查充分性与必要性的判断问题，首先是分清条件和结论，然后考察条件推结论，结论推条件是否成立．这类问题往往与函数、三角、不等式等数学知识结合起来考，本题条件与结论可以转化为平面区域的关系，利用充分性、必要性和集合的包含关系得结论．（8）【2016年四川，理8，5分】设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线22(0)y px p =>上任意一点，M 是线段PF 上的点，且2PM MF =，则直线OM 斜率的最大值为（ ） （A ）3 （B ）23（C ）2 （D ）1 【答案】C【解析】如图，由题可知,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，设P 点坐标为200,2y y p ⎛⎫⎪⎝⎭，显然，当00y <时，0OM k <；00y > 时，0OM k >，要求OM k 最大值，不妨设00y >．则()2001112,3333633y y p OM OF FM OF FP OF OP OF OP OF p ⎛⎫=+=+=+-=+=+⎪⎝⎭， 0200022322263OM y k y p y p p y p ===++≤，当且仅当2202y p =等号成立，故选C ．【点评】本题考查抛物线的性质，结合题意要求，利用抛物线的参数方程表示出抛物线上点P 的坐标，利用向量法求出点M 的坐标，是我们求点坐标的常用方法，由于要求最大值，因此我们把k 斜率用参数t 表示出 后，可根据表达式形式选用函数，或不等式的知识求出最值，本题采用基本不等式求出最值．（9）【2016年四川，理9，5分】设直线1l ，2l 分别是函数ln ,01,()ln ,1,x x f x x x -<<⎧=⎨>⎩图象上点1P ，2P 处的切线，1l 与 2l 垂直相交于点P ，且1l ，2l 分别与y 轴相交于点A ，B ，则PAB ∆的面积的取值范围是（ ）（A ）()0,1 （B ）(0,2) （C ）(0,)+∞ （D ）(1,)+∞ 【答案】A【解析】解法1：设11122212(,),(,)()P x y P x y x x <，易知11x <，21x >，121211,l l k k x x =-=，121x x ∴=，则直线1l ： 111ln x y x x =-+-，2221:ln 1l y x x x =+-，与y 轴的交点为12(0,1ln ),(0,ln 1)x x --，设21a x =>，则交点横坐标为21a a+，与y 轴的交点为(0,ln 1),(0,ln 1)a a +-，则1222112PAB S a a aa∆=⨯⨯=++，故(0,1)PAB S ∆∈解法2：特殊值法，若121x x ==，可算出1PAB S ∆=，1x ≠，故1PAB S ∆≠，排除BC ；令121,22x x ==，算出1PAB S ∆<，故选A ．【点评】本题首先考查导数的几何意义，其次考查最值问题，解题时可设出切点坐标，利用切线垂直求出这两点的关系，同时得出切线方程，从而得点,A B 坐标，由两直线相交得出P 点坐标，从而求得面积，题中把面积用1x 表示后，可得它的取值范围．解决本题可以是根据题意按部就班一步一步解得结论．这也是我们解决问题的一种基本方法，朴实而基础，简单而实用． （10）【2016年四川，理10，5分】在平面内，定点A ，B ，C ，D 满足==DA DB DC ，2DA DB DB DC DC DA ⋅=⋅=⋅=-，动点P ，M 满足=1AP ，PM MC =，则2BM 的最大值是（ ） （A ）434 （B ）494（C ）37634+ （D ）372334+【答案】B【解析】由题意，DA DB DC ==，所以D 到,,A B C 三点的距离相等，D 是ABC ∆的外心；2DA DB DB DC DC DA ⋅=⋅=⋅=-()0DA DB DB DC DB DA DC DB CA ⇒⋅-⋅=⋅-=⋅=，所以DB AC ⊥， 同理可得，,DA BC DC AB ⊥⊥，从而D 是ABC ∆的垂心；ABC ∴∆的外心与垂心重合，因此ABC ∆是正三角形，且D 是ABC ∆的中心；1cos 22DA DB DA DB ADB DA DB ⎛⎫⋅=∠=⨯-=- ⎪⎝⎭2DA ⇒=所以正三角形ABC ∆的边长为23；我们以A 为原点建立直角坐标系，,,B C D 三点坐标分别为()()3,3,3,3,B C - ()2,0D 。

由1AP =，设P 点的坐标为()cos ,sin θθ，其中[)0,2πθ∈，而PM MC =，即M 是PC 的中点，可以写出M 的坐标为3cos 3sin ,2M θθ⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭则2223712sin cos 333sin 37124962444BM πθθθ⎛⎫+- ⎪⎛⎫-++⎛⎫⎝⎭=+=≤= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 当23θπ=时，2BM 取得最大值494，故选B ．【点评】本题考查平面向量的数量积与向量的模，由于结论是要求向量模的平方的最大值，因此我们要把它用一个参数表示出来，解题时首先对条件进行化简变形，本题中得出120ADC ADB BDC ∠=∠=∠=︒，且2DA DB DC ===，因此我们采用解析法，即建立直角坐标系，写出,,,A B C D 坐标，同时动点P 的轨迹是圆，()()2221334x y BM +++=，因此可用圆的性质得出最值．第II 卷（共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分．（11）【2016年四川，理11，5分】22ππcos sin =88- ．【答案】2【解析】由题可知，22πππ2cos sin cos 884-==（二倍角公式）． 【点评】这是一个来自于课本的题，直接利用课本公式解题，这告诉我们一定要立足于课本．有许多三角函数的求值问题一般都是通过三角函数的公式把函数化为特殊角的三角函数值而求解．（12）【2016年四川，理12，5分】同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上时，就说这次试验成功，则在2次试验中成功次数X 的均值是 ． 【答案】32【解析】由题可知，在一次试验中，试验成功（即至少有一枚硬币正面向上）的概率为1131224P =-⨯=，∵ 2次独立试验成功次数X 满足二项分布3~2,4X B ⎛⎫⎪⎝⎭，则()33242E X =⨯=．【点评】本题考查随机变量的均值（期望），根据期望公式，首先求出随机变量的所有可能取值12,,,n x x x ，再求得对应的概率(1,2,,)i P i n =，则均值为1ni i i x P =∑．（13）【2016年四川，理13，5分】已知三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形，该三棱锥的正视图如图所示，则该三棱锥的体积是________．【答案】3【解析】由题可知，∵三棱锥每个面都是腰为2的等腰三角形，由正视图可得如下俯视图，且三棱锥高为1h =，则面积11132311332V Sh ⎛⎫==⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭．【点评】本题考查三视图，考查几何体体积，考查学生的识图能力．解题时要求我们根据三视图想象出几何体的形状，由三视图得出几何体的尺寸，为此我们必须掌握基本几何体 （柱、锥、台、球）的三视图以及各种组合体的三视图．（14）【2016年四川，理14，5分】已知函数()f x 是定义在R 上的周期为2的奇函数，当01x <<时，()4xf x =， 则()512f f ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭．【答案】2-【解析】首先，()f x 是周期为2的函数，所以()()2f x f x =+；而()f x 是奇函数，所以()()f x f x =--，所以：()()11f f =-，()()11f f =--，即()10f =，又511222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，1012<<时，121()422f ==，故522f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，从而()5122f f ⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭．【点评】本题考查函数的奇偶性，周期性，属于基本题，在求值时，只要把52f ⎛⎫- ⎪⎝⎭和()1f ，利用奇偶性与周期性化为()0,1上的函数值即可． （15）在平面直角坐标系中，当(),P x y 不是原点时，定义P 的“伴随点”为2222',y x P x y x y ⎛⎫- ⎪++⎝⎭；当P 是原点时，定义P 的“伴随点”为它自身，平面曲线C 上所有点的“伴随点”所构成的曲线'C 定义为曲线C 的“伴随曲线”，现有下列命题：① 若点A 的“伴随点”是点'A ，则点'A 的“伴随点”是点A ；② 单位圆的“伴随曲线”是它自身；③ 若曲线C 关于x 轴对称，则其“伴随曲线”'C 关于y 轴对称；④ 一条直线的“伴随曲线”是一条直线．其中的真命题是_______（写出所有真命题的序号）． 【答案】②③【解析】①设A 的坐标(),x y ，伴随点2222',y x A x y x y ⎛⎫-= ⎪++⎝⎭，'A 伴随点横坐标为22222222x x y x y x x y x y -+=-⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，同理可得纵坐标为y -，故()'',A x y =--． 错误；②设单位圆上点P 坐标为()cos ,sin θθ，则P 伴随点坐标为()ππ'sin ,cos cos ,sin 22P θθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以'P 也在单位圆上，即：'P 点是P 点延顺时针方向旋转π2． 正确；③设曲线C 上点A 的坐标(),x y ，其关于x 轴对称的点()1,A x y =-也在曲线C 上，所以点A 的伴随点2222',y x A x y x y ⎛⎫-= ⎪++⎝⎭，点1A 的伴随点12222',y x A x y x y ⎛⎫--= ⎪++⎝⎭，'A 与1'A 关于y 轴对称。