我们对这个思路整合后用 lingo 编出程序（程序见附录 2），运行得出结果：如果 飞机在区域内按照原飞行方向角沿原航线继续飞行，那么是会发生一次飞机碰撞的。
是在第 88 个 5 秒时，第 5 架和第 6 架飞机会发生碰撞。 所以需要调整飞机的飞行方向角来避过这次相撞。
一时刻两架飞机之间的距离小于 8 公里，因此要调整飞行方向一定角度，保证任意两架飞机在区域
内任意时刻，两者的距离均不小于 8 公里，避免相撞。考虑到调整角度应尽量小，可以简化飞行方 向调整策略，降低调整难度，同时减轻机内乘客及工作人员的不适。此外由此初步确定了调整目 标：所有六架飞机的飞行方向调整角度均尽量小。
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明显是从一开始就改变α角度使得 | a(i) | 更小，所以越早调整越好，即在第六架飞 i 1
机进入时即可调整角度。
如图：
A α
β B
D C
2、模型建立 由问题一，我们首先判断在第 6 架飞机进入正方形区域后会否发生飞机碰撞。 我们依照数据，用 matlab 画出大致的航线图形（程序见附录 1）。其中灰线代表 飞机向上飞行，黑线代表飞机向下飞行。（如图 1）
飞机编号
横坐标 x
纵坐标 y
1
150
140
2
85
85
3
150
155
4
145
50
5
130
150
新进入
0
0
注：方向角指飞行方向与x轴正向的夹角。
方向角（度） 243 236 220.5 159 230 52
二、问题分析
根据问题容易知道，这显然是一个优化问题，当两架飞机可能发生碰撞时，即在规定区域内某
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三、模型假设与符号约定
（1）假设飞机进入控制区域后完全服从地面控制台的调度，其他任何因素或人都不能 改变飞机的飞行方向角。 （2）假设从飞机管理处发出的信息飞机马上可以接收并执行（此处忽略飞机在执行过 程中所需耗费的时间），不存在滞后或延迟，即可以实现实时控制。 （3）不考虑本组设计的程序在实时控制中运行的时间。 (4) 不碰撞的标准为任意两架飞机的距离大于 8km。 （5）所有飞机飞行速度均为每小时 800km。 （6）飞机在区域外靠雷达自动与其他飞机保持距离大于 60km，进入区域后由地面控制 台进行统一控制，保证飞机距离大于 8km。 （7）假设飞机在区域内改变方向，在飞出区域后驾驶人员会自觉调整方向回归原航线 继续飞行。 （8）为了表达清晰，我们对符号作出以下说明：
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6. 飞行管理问题(优化模型) 在约10000米高空的某边长160km的正方形区域内,经常有若干架飞机作水平飞行.区域 内飞行的每架飞机的位置和速度向量均由计算机记录其数据,以便进行飞行管理.当一 架欲进入该区域的飞机到达区域的边界时,记录其数据后,须立即判断是否将与区域内 的飞机相碰撞.若可能发生碰撞,则应计算如何调整各架飞机的飞行的方向角，以避免 碰撞。 作如下假设: (1)任意两架飞机的安全飞行距离为8公里; (2)所有飞机的飞行速度为800公里/小时; (3)进入该区域的飞机在到达区域边界时,与区域内的飞机的距离应在60公里以上; (4)最多考虑6架飞机; (5)不必考虑飞机离开此区域后的情况. 请你对这个避免碰撞的飞行管理问题建立数学模型，列出计算步骤，对以下数据进行 计算（方向角误差不超过0.01），要求飞机飞行方向角调整的幅度尽量小。 设该区域四个顶点的坐标为：(0,0)，(160,0)，(160,160)，(0,160) 记录数据为：
6ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
就进行飞行角度的调整，并且达到了优化目标： min | a(i) | 。 i 1 由题意，我们找到约束条件，然后把这些约束条件在 lingo 中用语言描述出来，
再针对运算方面进行改进，得到我们的 lingo 程序，运行后我们得到了飞机调整的飞 行方向角和方案。 关键词：简化，最小调整幅度，最优
一、问题重述
《数学建模》课程设计 报告
课题名称：___飞行管理问题 系 （院）： 理学院 专 业： 数学与应用数学 班 级： 10122111 学生姓名： 邵仁和 学 号： 1012211122 指导教师： 陈宏宇 开课时间： 2011-2012 学年 二 学期
飞行管理问题的优化模型
摘要
为了避免较多飞机在区域内会发生碰撞，让飞机在某正方形区域内安全飞行，便 于进行飞行管理，所以在飞机飞行过程中，要适当调整各架飞机的方向角（调整幅度 尽量小），所以这是个优化问题。
符号
p i
xi
t
,
y i
t
v
ai
ai
含义 区域内的第 i 架飞机
备注
第 i 架飞机在时刻 t 时的坐 此处记第 6 架飞机进入区域时为
标
t =0
飞机飞行速度
按题中所给条件为 800 km/ h
各飞机未调整方向前的的 飞机头与 x 轴正向间的夹角 方向角
第 i 架飞机方向角的调整值
1、问题简化
四、模型的建立和求解
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明显我们不可能每时每刻都对每架飞机进行调整，当然希望调整的次数越少越 好，调整的飞机数越少越好，角度越小越好。
第一，我们需要知道哪些飞机会在飞行过程中与其他的飞机相撞（距离小于 8km）。
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第二，我们需要调整哪些飞机和多少角度来使 | a(i) |最小。 i 1
假使飞机要从 A 点向 C 飞行，途中想要偏离 C 点，由图α<β（外角大于内角），
本文我们根据题目所给的数据，利用 matlab 软件绘制出飞机的位置图标及飞行路 径，并利用 lingo 软件找出了碰撞发生的飞机、碰撞发生的点和时间。同时再寻找判 断两架飞机是否会相撞的方法，我们发现可以在飞机飞出区域之前每隔一段较短的时 间对飞机进行监控，看是否与别的飞机相撞。
然后，我们根据问题讨论了飞行方向角的调整时间和次数对最优解的影响，发现 调整时间越早，调整角度就越小，所以我们决定在第六架飞机刚飞到区域边缘的时候
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图 1：
把飞机速度 v 800km/ h 转化成 v 0.2222...km/ s ，由此我们可以知道飞机在 5
秒内仅飞行 1km 多，根据这个我们将飞机飞行时间分成 5 秒一段，由这种分段来达到 近乎实时监控的目的，知晓每一架飞机每一个 5 秒的飞行情况，尽可能精确地求出有 可能发生碰撞的飞机及碰撞发生的时间段，方便调整。