精心整理韦达定理与根与系数的关系练习题一、填空题1、关于x 的方程0322=+-m x x ，当时，方程有两个正数根；当m 时，方程有一个正根，一个负根；当m 时，方程有一个根为0。

2345、设6721x ⋅＝． 8910111213、已知关于x 的一元二次方程01)1()1(22=++--x a x a 两根互为倒数，则=a 。

14、已知关于x 的一元二次方程0)1(222=+--m x m x 。

若方程的两根互为倒数，则=m ；若方程两根之和与两根积互为相反数，则=m 。

15、一元二次方程)0(02≠=++p r qx px 的两根为0和－1，则=q p :。

16、已知方程0132=-+x x ，要使方程两根的平方和为913，那么常数项应改为。

17、已知方程0242=-+m x x 的一个根α比另一个根β小4，则=α；=β；=m 。

18、已知关于x 的方程032=+-k x x 的两根立方和为0，则=k19、已知关于x 的方程0)1(232=-+-m mx x 的两根为1x 、2x ，且431121-=+x x ，则=m 。

20、若方程042=+-m x x 与022=--m x x 有一个根相同，则=m 。

21、一元二次方程01322=+-x x 的两根与0232=+-x x 的两根之间的关系是。

222324(2512、设34、5222=x ，56、设：011632=--a a ，011632=--b b 且b a ≠，求b a -的值。

7、已知：βα、是关于x 的二次方程：04)4(2)2(2=-+-+-m x m x m 的两个不等实根。

(1)若m 为正整数时，求此方程两个实根的平方和的值；(2)若622=+βα时，求m 的值。

8、已知关于x 的二次方程012=-+mx x 的一个根是12-，求另一个根及m 的值．9、已知方程01052=-+mx x 的一根是－5，求方程的另一根及m 的值。

10、已知32+是042=+-k x x 的一根，求另一根和k 的值。

11、(1)方程032=+-m x x 的一个根是2，则另一个根是。

(2)若关于y 的方程02=+-n my y 的两个根中只有一个根为0，那么n m 、应满足。

12、如果1=x 是方程01322=+-mx x 的一个根，则=m ，另一个根为。

13、已知关于x 的方程m x x =+522的一个根是－2，求它的另一个根及m 的值。

14、已知关于x 的方程tx x =-132的一个根是－2，求它的另一个根及t 的值。

15161718(4)有一根为1；20、已知关于x 的一元二次方程0122=++mx x 的两根之差为11，求m 的值。

21、已知关于x 的二次方程05)2(222=-+--a x a x 有实数根，且两根之积等于两根之和的2倍，求a 的值。

22、已知方程02=++c bx x 有两个不相等的正实根，两根之差等于3，两根的平方和等于29，求c b 、的值。

23、已知关于x 的方程01)1(22=++--m x m x 的两根满足关系式121=-x x ，求m 的值及两个根。

24、已知关于x 的方程02)1(2=+++-k x k x 的两个实数根的平方和等于6，求k 的值． 25、βα、是关于x 的一元二次方程01)1(2=+--x x m 的两个实数根，且满足1)1)(1(+=++m βα，求实数m 的值．26、βα、是关于x 的方程044422=++-m m mx x 的两个实根， 并且满足10091)1)(1(=---βα，求m 的值。

2728和2930。

31322x 33、0=p 的3472+， 求35、已知07422=-+s s ，02472=--t t ，t s 、为实数，且1≠st .求下列各式的值： (1)t st 1+；(2)ts st 323+-。

36、已知1x 、2x 是关于x 的方程022=++n x m x 的两个实数根；1y 、2y 是关于y 的方程0752=++my y 的两个实数根，且211=-y x ,222=-y x ，求m 、n 的值。

37、关于x 的方程01)32(22=+++x m x m 有两个乘积为1的实根，0462)(222=-+-+++m m a x m a x 有大于0且小于2的根，求a 的整数值。

38、已知关于x 的方程022=+-nx mx 两根相等，方程0342=+-n mx x 的一个根是另一个根的3倍。

求证：方程0)()(2=-++-m k x n k x 一定有实数根。

39、已知关于x 的一元二次方程012)14(2=-+++m x m x ．(1)求证：不论m 为任何实数，方程总有两个不相等的实数根；(2)若方程两根为1x 、2x ，且满足111-=+，求m 的值．40 41420)。

43那么(44b a 、的值。

4546、已知方程0752=-+x x ，不解方程，求作一个一元二次方程，使它的两个根分别是已知方程的两个根的负倒数。

47、已知方程03322=--x x 的两个根分别为a 、b ，利用根与系数的关系，求一个一元二次方程，使它的两个根分别是：(1)1+a 、1+b (2)a b 2、ba 2 48、已知两数之和为－7，两数之积为12，求这两个数。

49、已知两数的和等于6，这两数的积是4，求这两数。

50、一个直角三角形的两条直角边长的和为6cm ，面积为227cm ，求这个直角三角形斜边的长。

51、已知关于x 的方程0)1(4)12(2=-+--a x a x 的两个根是斜边长为5的直角三角形的两条直角边的长，求这个直角三角形的面积。

52、试确定使0)(2=+-+a x b a x 的根同时为整数的整数a 的值。

53、已知一元二次方程0524)32(2=-++-k kx x k ，且14+k 是腰长为7的等腰三角形的底边长，求：当k 取何整数时，方程有两个整数根。

542x 的1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、-1(舍去1);1-13、114、-215、-4;0;016、317、3或018、互为倒数二、解答题1、525222+=+=n n m m 、原式＝37256623222=++=++n m m n m2、24)(||2122121=-+=-x x x x x x3、（1⎧=+2x x ⎧-=211x （24、x 15、(a 6、a 7、∆（1）（2）8、（9、121 10、⎩⎨⎧=-+=--=-⨯=2)2(43)3(1p q 所以原方程为0322=--x x ，解得3121=-=x x ， 16、（1）方程的一个根为0，即0=c ，此时5=m ；（2）方程的两根互为相反数，即0=b ，此时1-=m ；（3）方程的两根互为倒数，即c a =，此时13=m ，原方程为081482=+-y y ，（060<-=∆）17、⎩⎨⎧=-=+m x x x x 21213（1）45=m ；（2）1627=m ；（3）2-=m 18、（1）方程的两根互为倒数，即c a =，此时15=m（2）方程的两根互为相反数，即0=b ，此时2-=m ； （3）方程的一个根为0，即0=c ，此时7=m ；（4）方程的一个根为1，此时07128=-+--m m ；解得0=m ；19、20、21、（舍） 2223、(24、（舍） 25 26、∵100944)(1)1)(1(2=-+=+-=---m m m βααββα，∴解得53-=m 或53=m （舍） 27、x mx x 212=++，则有ααα212=++m 、βββ212=++m 原式＝41422=⨯=⋅βα28、562)]2(2[2)(22212212221=--=-+=+m m x x x x x x ，化简得02082=--m m ，2-=m 或10=m （舍）29、2121212111x x x x x x x x +=+=+即0)11)((2121=-+x x x x当021=+x x 时，0142=-m ，解得2121=-=m m 或（舍）; 当021≠+x x 时，01121=-x x ，13)2(21=+=m m x x ，解得13=-=m m 或（舍）; 综上所述，321-=-=m m 或 30、不妨设212x x =，则有⎪⎪⎪⎪⎨⎧===-=+222122123x c x x x a b x x ，）（）（212得292=ac b ，即ac b 922= 31代入32、⎭⎝⎭⎝a a a ab + 33、31-=-=q p ，34、547==n m ，35、02472=--t t ，两边同除2t -得07422=-+t t ，所以ts 1、是同一方程07422=-+x x 的两根。

21-=+t s 、271-=⋅t s （1）211-=+=+t s t st ；（2）1)27(2)2(3233323=-⨯--⨯=-+=+-t s t s t s st 36、因为211=-y x 、222=-y x ，两式相加得：4)()(2121=+-+y y x x即4)5()(2=---m m ，整理得0452=+-m m ，解得14==m m 或（舍）37、∵方程①有两个乘积为1的实根，∴11221==mx x ，解得11-==m m 或（舍） 当1=m 时，方程②化为012)1(22=++++a x a x即0)]12()[1(=+++a x x38n 39、（240、 （21222122=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅⋅=∆n m n S ， 解得56==m n ，，所以三角形周长162=+=∆n m C41、（1）012)1(4)42(4)2(22>++=--⋅--=∆a a a ，所以该方程总有两个不相等的实数根；（2）16)42(4)2(4)()(221221221=--⋅-=-+=-a a x x x x x x ，解得20-==a a ，或42、方程①不妨设2132x x =，则有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===-=+22212213235x a c x x x a b x x ，）（）（212得62562522==n m ac b ，即n m =2 方程②中有两根相等，∴08442=⋅-=∆m n ，即m n 82=综上，42==n m 、；此时原方程化为01)3(22=++++k x k x0)1()1(24)3(22≥-=+⨯⨯-+=∆k k k ，所以该方程一定有实数根。

43、⎧+-=+)3(2m βα224445、46、 47、（（2）48、01272=++x x ——→4321-=-=x x ，49、0462=+-x x ——→535321-=+=x x ，50、⎩⎨⎧==+762121x x x x ，0762=+-x x ——→232321-=+=x x ， 51、25)1(8)12(2)(2212212221=---=-+=+a a x x x x x x ，化简得0432=--a a ，1-=a 或4=a 当1-=a 时，原方程为0832=-+x x ;821-=x x （舍）；当4=a 时，原方程为01272=+-x x ;1221=x x ；所以62121==∆x x S 52、略53、因为06064)52)(32(4162≥-=---=∆k k k k ，解得1615≥k ； 又因为等腰三角形771477+<+<-k ，解得41341<<-k ； 所以4131615<≤k ，当k 取整数时，321、、=k ； 当1=k 时，原方程为0342=+-x x ，符合题意；54。