任意角的教学设计郧阳中学数学组 张剑一．内容和内容解析本节课的主要内容是角的概念的推广，用角的始边和终边及旋转方向来定义任意角。

从而来完善初中角的定义。

引入正角、负角、零角的定义，象限角的概念，终边相同的角的表示方法。

树立运动变化的观点，理解静是相对的，动是绝对的。

体会角可用于描述旋转与圆周运动中位置的变化。

本节内容是高中数学三角函数这一大章的第一节，是在学了集合和函数之后的又一重要章节，是对初中锐角三角函数的一个延伸和推广，主要是推广到任意角三角函数。

也是对集合与函数的知识的又一渗透。

三角函数是基本初等函数，它是描述周期现象的重要数学模型。

角的概念的推广正是这一思想的体现之一，是初中相关知识的自然延续。

为进一步研究角的和、差、倍、半关系提供了条件，也为今后学习解析几何、向量、复数等相关知识提供有利的工具。

所以本节课《任意角的概念》就起到了一个铺垫和承上启下的作用。

本节对角的研究方法也具有典型意义，利用直角坐标系工具对图形研究的一般方法，加强数与形的结合。

重点：角的概念的推广，会用始边和终边来描述正角、负角、象限角、终边在坐标轴上的角，会表示终边相同的角的集合。

二．目标和目标解析本节课要求学生了解推广角的概念必要性，理解任意角的意义，掌握象限角、终边在坐标轴上的角得分类前提，并会表示终边相同的角的集合。

1．通过具体例子引发学生的认知冲突，使学生感受推广角的概念的必要性。

从运动的观点出发，进行角的概念推广，理解并掌握正角、负角、零角的定义；2．能用集合和数学符号表示终边相同的角，即掌握所有与α角终边相同的角（包括α角）的表示方法；3．借助信息工具让学生在动态的过程中体会“既要知道旋转量，又要知道旋转方向”才能准确刻画角的形成过程，使学生体验到数学概念使用来描述现实世界运动变化，从而是“实在的”、“生活的”抽象。

4．使学生经历操作与思考，通过探究由具体数值归纳一般终边相同的角的表示方法。

5．通过正角、负角、零角与正数、负数、零的类比，培养学生的类比思维能力；6．通过画图和判断角的象限，培养学生数形结合的思想方法；三．教学问题诊断分析初中学生已经接触到角的定义，角的范围仅限于0360︒︒~。

结合实际生活中的例子，由教材的“思考”问题出发，引发学生的的认知冲突，激发学生的求知欲望，让学生体会角的推广的必要性。

让学生在好奇心的推动下，充分的调动学生的自主探究的内在动力，利用类比和数形结合的思想，借助信息技术工具（如：几何画板），让学生在动态的过程中体会“既要知道旋转量，又要知道旋转方向”才能准确的刻画角的形成过程的道理。

学习本节角的概念的推广困难不大。

本节课的教学难点是：把终边相同的角用集合和数学符号语言正确地表示出来。

1．学生在理解终边相同的角的表示方法上，会出现障碍，其原因是：刚刚将角的概念推广，还不是很适应终边相同的角的“周而复始”这个现象的本质；2．学生在学习了教材例1后，做P6第4题，仍然感到困难，其原因是：当角为负角时，在0360︒︒~范围内找出终边相同的角，不知怎样计算，教学时应给学生介绍计算方法；3．学生在学习了象限角的概念后，怎样用集合和数学符号语言正确地表示象限角（如：第一象限角），会出现障碍，其原因是：对第一象限角是有无数个区间构成，它们的终边是“周而复始”的现象的刻画还不了解，教师要进一步的解释︒⋅360k 的运用特点。

四．教学支持条件分析借助信息技术工具（如：几何画板），制作课件。

【可参考人民教育出版社配套《教师用书》后的光盘中数学4的资源】1．角的推广在角的旋转量、旋转方向上给学生以动态的体会；2．动态的表现角的终边旋转过程，有利于学生观察到角的变化与终边的位置关系，从特殊到一般，让学生发现并验证终边相同的角的表示方法。

五．教学过程设计1． 课题引入设计从具体的例子引导学生感受角的概念推广的必要性。

观看跳水与体操视频，齿轮传动动画，感受生活中的大量旋转运动，如何给与数学描述，引导学生分析需要从旋转量与旋转方向给与描述。

思考:你的手表慢了5分钟，你是怎样将它校准的？假如你的手表快了1.25小时，你应当如何将它校准？当时间校准以后，分针转了多少度？学生已经学习00360~0的角，能够用数学语言来描述调快5分钟分针转过的角度，但在回答第二个问题时就会发现问题，从而引起认知冲突。

结合几何画板的时钟校正引导学生发现，校正过程中分针需要顺时针或逆时针旋转，有时转不到一周，有时转一周以上,这就是说角已不仅仅局限于0360︒︒~之间，让学生结合自己的经验举出一些丰富的实例，引入这节课要研究的主要内容——任意角.教学中注意引导学生自己发现并提出问题，并自己提出学习的课题。

2.问题链设计问题的设计的目的大体从三个方面展开。

首先结合实例，引导学生从数学语言表达；其次从数形结合的角度，引导学生从数形两方面研究角；最后从角的新与旧范围与相应概念设计，加强比较与辨析，实现概念的建构。

问题1你还能举出生活中旋转运动的例子吗？意图：感受所研究问题的背景。

问题2观看跳水与体操视频，齿轮传动动画你认为应从哪些方面描述旋转过程？意图：让学生认识到旋转量与旋转方向是刻画旋转关键。

问题3 过去我们是如何定义一个角的？角的范围是什么？意图: 回顾已有知识，给出角的静态概念与动态概念,并进行对比。

问题4回答情景问题中将手表调快1.25小时分针转过的角度。

意图：引导学生自己发现并提出问题，并自己提出学习的课题。

给出任意角的规定。

问题5用几何画板作出一个750o 的角。

让学生同时作出角210 o ，-150 o ，660-。

意图：使学生学会作任意角，引导学生观察角的形成过程，体会角度值与角的形成对应。

学生经过画图探究，感受共始边后所带来的方便。

问题6推广了角的概念，用什么方法进一步研究角?意图：数形结合，利用坐标工具。

并给出象限角的概念。

问题7：在直角坐标系内标出角的30°、－330°、390°、750°、－690°角的终边，你有什么发现？意图：从具体问题入手，了解终边相同的角的关系。

引导学生建立终边位置和数量关系的联系。

问题8：直角坐标系内，角α对应了唯一一条射线（终边），那么是否存在与角α终边相同的角？如果存在，如何表示？意图：由具体到一般，认识终边相同的角的关系及其表示。

由几何位置“终边相同”探讨其代数特征的“统一”。

演示几何画板课件，让学生发现终边相同的角的关系，并用集合表示出来。

问题9展示例1。

意图：引导学生将角转化到0360︒︒~来分析，问题关键分析角的终边，转化为熟悉的范围，引出转化方法，从数量上找关系。

问题10展示例2（及变式）。

意图：使学生能终边相同的角的集合。

问题11展示例3。

意图：能借用例2的结论直接写出集合，找出元素。

6．目标检测设计1. 练习教科书P6练习第2题意图：从熟悉类似的问题出发，帮助学生使用角的终边关系式。

为例1做铺垫。

2．例题分析例1.在0360︒︒~范围内，找出与95012'︒－角终边相同的角，并判定它是第几象限例2．写出终边在y 轴上的角的集合.例 3.写出终边直线在y x =上的角的集合S ,并把S 中适合不等式360α︒-≤720︒<的元素β写出来.意图：通过例题，进一步理解任意角、象限角和终边相同的角。

教师分析、板书例1。

学生自学例2。

指出这两个集合求并集的关键是把︒270改写成︒+︒18090，然后重新组合。

师生共同完成例3，注意k 的正确取值是关键。

目标设计：1．教科书P10习题1.1A 组第1～3题2．选做题：①.写出终边在坐标轴上的角的集合。

目的：检测终边相同的角的关系及其表示与化简整理。

②写出终边在x y 3=上的角的集合S ,并把S 中适合不等式360α︒-≤720︒<的元素β写出来.③若α、β的终边关于x 轴对称，则α与β的关系是 ；若α与β的终边关于y 轴对称，则α与β的关系是 ；若α、β的终边关于原点对称，则α与β的关系是目的：关注学生的能力差异；能用集合和数学语言表示终边满足一定条件的角；7．小结与反思问题：1.你知道角是如何推广的吗？象限角是如何定义的呢？2.你掌握了与角α终边相同的角的集合的表示方法吗？3.本节课你体会到哪些数学思想方法？4．在本节课的学习过程中，还有那些不太明白的地方？意图：让学生复习本节主要内容，完善学生的认知结构，体会数学思想方法。

板书设计任意角一、 角的应用（旋转过程：旋转量与方向）。

二、 角的推广。

0°~360° 任意角（正角、负角、零角）三、 角的研究（象限角）。

四、终边相同的角之间的关系：{}|360,S k k Z ββα==+∙︒∈。

五、例题讲解。

个人简历：张剑(男，生于1976年9月)中教一级。

1999年毕业于湖北大学，2008年获得华中师大教育硕士学位。

1999年参加工作教龄十年。

获得2009年十堰市优质课竞赛一等奖。