【答案】 【解析】
D 重新平衡后，绳子形状如图，
平衡后， 物体上升 L， 说明左侧绳子的总长为 2L，因此左侧△OO′A 构成正三角形，由于 绳子之间的夹角为 60°，绳上张力的大小都 为 Mg，由 F＝ F12＋F22＋2F1F2cosθ，解得环两边绳子拉力的 合力为 3Mg， 根据平衡条件， 则钩码的质量为 3M， 故选 D 项．
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二、题型鸟瞰
题型鸟瞰 题型一：合成法 题型二：正交分解法 题型三：图解法 题型四：假设法 题型五：整体与隔离法 题型六：相似三角形法 题型七：函数极值法 题型八：正弦定理法 高考热度 ★★★ ★★★★★ ★★★★ ★★★★ ★★★★★ ★★★ ★★★★★ ★★
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答案
B
解析 由于 A、B 间接触面情况未知，假设 A、B 接触面光 滑，则 A、B 间没有摩擦力 A、B 均能平衡，A 项错误；对 A 受 力分析可知，A 一定受向右的弹力、重力和支持力，因为 A、B 间可能没有摩擦力，所以 A 可能只受三个力，B 项正确，C 项错 误；木块 B 受重力、推力、A 对 B 的垂直于接触面的压力作用， 假设压力向右的分力等于 F，则 B 可能不受摩擦力，D 项错误．
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例3
(2016· 高三百校大联考)如图所示， 将一个表面光滑的
铁球放在两块斜面板 AB 和 CD 之间，两板与水平面的夹角都是 60°.已知重力加速度大小为 g，不计空气阻力，则( )
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A．如果突然撤去 CD 板，则撤去后铁球对 AB 板的压力减 小 B．如果突然撤去 CD 板，则撤去后铁球对 AB 板的压力增 大 C．如果保持 AB 板不动，使 CD 板与水平面的夹角缓慢减 小，则球对 AB 板的压力先减小后增大 D．如果保持 AB 板不动，使 CD 板与水平面的夹角缓慢减 小，则球对 CD 板的压力先减小后增大
Fcosα＋F1sin37°＝F2 Fsinα＋F1cos37°＝G
代入数据解得 F＝5 N，α＝53° 即杆对小球的作用力大小约为 5 N，方向与水平方向成 53° 角斜向右上方．
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(2)弹簧对小球向右推时： 小球受力如图乙所示：由平衡条件，得
Fcosα＋F1sin37°＋F2＝0 Fsinα＋F1cos37°＝G
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题 型 透 析
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合成法 对三力平衡问题，一般用合成法：用平行四边形定则，将任 意两个力合成，其合力与第三个力等大反向，从三个力组成的三 角形中建立关系式．
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例 1
(2014· 海南)如图所示，一不可伸长的
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【答案】
C
【解析】 A、B 相对竖直墙壁静止，运用整体法受力分析， 得 f＝mAg＋mBg. mBg 对圆球 B 受力分析，NA→B＝ ＝2mBg. sin30° 对半球 A 受力分析，得 N 墙→A＝NB→Acos30°＝ 3mBg. 两球恰好不下滑，所受为最大静摩擦力，等于滑动摩擦力．f ＝μN 墙→A 综合上式可得：mA∶mB＝ 1 5
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三角函数极值法 对于求解平衡中的极值问题，可根据平衡条件，建立几个力 的函数关系，用三角函数知识求极值．
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例7
如图所示， 与水平方向成 θ 角的推力 F 作用在物块上，
随着 θ 逐渐减小直到水平的过程中， 物块始终沿水平面做匀速直 线运动．关于物块受到的外力，下列判断正确的是( )
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正弦定理法 如图所示，物体受三个共点力作用而处于平衡状态，则三个 力中任何一个力的大小分别与另外两个力的夹角的正弦成正比， F1 F2 F3 即 ＝ ＝ . sinα sinβ sinγ
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例8
如图所示的装置中，两根细绳系住一
个小球，两细绳间夹角为 θ，细绳 AC 呈水平状 态，现将整个装置在纸面内顺时针缓缓地转动 90°角， 在转动过程中， 保持两绳夹角 θ 不变． 则 在转动过程中，CA 绳中的拉力 FA 和 CB 绳中的拉力 FB 的大小 发生的变化是( ) B．FA 先增大，后减小 D．FB 最后减到零
代入数据解得 F＝15.5 N，α＝π－arctan 4 . 15
即杆对小球的作用力大小约为 15.5 N，方向与水平方向成 4 arctan 斜向左上方． 15
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图解法 对于动态平衡状态问题，且受三个力作用时，常用图解法分 析．根据平行四边形定则或三角形定则，画出物体初状态力的合 成矢量图，按照力的变化改变原来的矢量图，依据有向线段长度 的变化，判断各个力的变化情况．应用图解法的关键是：明确不 变力，弄清变力的变化趋势．
A．推力 F 先增大后减小 B．推力 F 一直减小 C．物块受到的摩擦力先减小后增大 D．物块受到的摩擦力一直不变
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【答案】 【解析】 示的坐标系．
B 对物块受力分析，建立如图所
由平衡条件得，Fcosθ－Ff＝0， FN－(mg＋Fsinθ)＝0，又 Ff＝μFN， μmg 联立可得 F＝ ， cosθ－μsinθ 可见，当 θ 减小时，F 一直减小，B 项正确； 摩擦力 Ff＝μFN＝μ(mg＋Fsinθ)， 可知，当 θ、F 减小时，Ff 一直减小．
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单元综合专题(二) 求解平衡问题的八种方法
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要 点 综 述
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一、求解平衡问题的思路可归纳为： 一个核心：合力为零 三个环节：选研究对象 ——做受力分析——建立平衡关 系 八种方法：合成法、正交分解法、图解法、假设法、整 体与隔离法、相似三角形法、函数极值法、正弦定理法．
例5
在竖直墙壁间有半圆球 A 和圆球 B，
其中圆球 B 的表面光滑，半圆球 A 与左侧墙壁之 2 间的动摩擦因数为 3.两球心之间连线与水平方 5 向成 30°的夹角，两球恰好不下滑，设最大静摩 擦力等于滑动摩擦力， 则半圆球 A 和圆球 B 的质量之比为( 1 A. 2 1 C. 5 1 B. 4 1 D. 6 )
直方向的夹角为 37°，小球的重力为 12 N，轻绳的拉力为 10 N， 水平轻弹簧的弹力为 9 N，求轻杆对小球的作用力．
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【解析】 弹簧弹力沿弹簧轴线，方向有两种可能．固定轻 杆的弹力方向，具有多种可能性．因此应分两种情况： (1)弹簧对小球向左拉时：设杆的弹力大小 为 F，与水平方向的夹角为 α，小球受力如 图甲所示．由平衡条件知：
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整体法与隔离法 对多个物体平衡问题，首先要确定研究对象，采用的方法是 整体法与隔离法．当分析外力对系统的作用时，宜用整体法；在 分析系统内各物体间的相互作用时，常用隔离法．对复杂问题， 通常需要多次选取研究对象，交替使用整体法和隔离法．
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细线相连悬于 O 点，已知 q1>q2，L1>L2，平衡时两球到过 O 点 的竖直线的距离相等，则( )
A．m1>m2 C．m1＝m2
B．m1<m2 D．不能确定
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【答案】
C
【解析】 对两小球 A、B 受力分析如图 所示(OC 距离为 L、Fc 与 F′c 为所受库仑 力)．由力三角形和几何三角形相似，对 m1 有 m1g L m2g L ＝ ，对 m2 有 ＝ ，由于 Fc＝F′c， Fc x1 F′c x2 m1 x2 可得 ＝ ，由于两球到过 O 点的竖直线的距离相等，所以 x1 m2 x1 ＝x2，m1＝m2，正确答案为 C 项．
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1．(2016· 吉林模拟)如图所示，两梯形木块 A、B 叠放在水平 地面上，A、B 之间的接触面倾斜．A 的左侧靠在光滑的竖直墙 面上，关于两木块的受力，下列说法正确的是( )
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A．A、B 之间一定存在摩擦力作用 B．木块 A 可能受三个力作用 C．木块 A 一定受四个力作用 D．木块 B 受到地面的摩擦力作用方向向右
假设法 在受力分析时，当弹力或摩擦力的方向不能确定时，可用假 设法对各种可能情况排除，这是解决多种可能性问题的有效方 法．
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例4
如图所示，竖直放置的轻弹簧的一端固定在地面上，
另一端与斜面体 P 连接， P 与斜放的固定挡板 MN 接触且处于静 止状态，弹簧处于竖直方向，则斜面体 P 此刻受到外力的个数可 能为( )
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CD 挡板的弹力 F1 方向，根据三角形定则，(如图 2 所示)知 AB 挡板的弹力 F2 逐渐减小，CD 挡板的弹力先减小后增大．根据牛 顿第三定律可知，球对 AB 板的压力逐渐减小，球对 CD 板的压 力先减小后增大，故 C 项错误，D 项正确．
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正交分解法 对多力平衡问题，将各力分解到 x、y 两个垂直的方向上， 根据平衡条件 Fx＝0，Fy＝0 建立关系式，值得注意的是：对 x、 y 方向选择时，尽可能使较多的力落在 x、y 轴上．