绝密★启用前2014-2015年山东省高考数学试题数学（文科）本试卷分第Ｉ卷和第II 卷两部分，共4页。

满分150分，考试用时120分钟。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：１. 答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上。

２. 第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如果改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号、答案写在试卷上无效。

３. 第II 卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

４. 填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

参考公式：如果事件A ，B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+第Ｉ卷（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

(1) 已知,,a b R i ∈是虚数单位. 若a i +＝2bi -，则2()a bi +=(A) 34i -(B) 34i + (C) 43i -(D) 43i +(2) 设集合2{|20},{|14}A x x x B x x =-<=≤≤，则A B =(A) (0,2](B) (1,2)(C) [1,2)(D) (1,4)(3) 函数21()log 1f x x =-的定义域为(A) (0,2)(B) (0,2](C) (2,)+∞(D) [2,)+∞(4) 用反证法证明命题：“设,a b 为实数，则方程30x ax b ++=至少有一个实根”时，要做的假设是 (A) 方程30x ax b ++=没有实根(B) 方程30x ax b ++=至多有一个实根(C) 方程30x ax b ++=至多有两个实根 (D) 方程30x ax b ++=恰好有两个实根(5) 已知实数,x y 满足(01)x y a a a <<<，学科网则下列关系式恒成立的是 (A) 33x y >(B) sin sin x y >(C) 22ln(1)ln(1)x y +>+(D)221111x y >++ (6) 已知函数log ()(,0,1)a y x c a c a a =+>≠为常数，其中的图象如右图，则下列结论成立的是(A) 0,1a c >>(B) 1,01a c ><<(C) 01,1a c <<> (D) 01,01a c <<<<(7) 已知向量(1,3),(3,)a b m ==. 若向量,a b 的夹角为6π，则实数m =(A) 23(B)3(C) 0(D) 3-(8) 为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据（单位：kPa ）的分组区间为[12,13),[13,14),[14,15),[15,16),[16,17]，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，……，第五组，右图是根据试验数据制成的频率分布直方图。

已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为xEO(A) 6 (B) 8 (C) 12(D) 18(9) 对于函数()f x ，若存在常数0a ≠，学科网使得x 取定义域内的每一个值，都有()(2)f x f a x =-，则称()f x 为准偶函数，下列函数中是准偶函数的是(A) ()f x x =(B) 3()f x x =(C) ()tan f x x =(D) ()cos(1)f x x =+(10) 已知,x y 满足约束条件10,230,x y x y --≤⎧⎨--≥⎩当目标函数z ax by =+(0,0)a b >>在该约束条件下取到最小值25时，22a b +的最小值为(A) 5 (B) 4 (C)5(D) 2第II 卷（共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.(11) 执行右面的程序框图，若输入的x 的值为1，则输出的n 的值为 . (12) 函数23sin 2cos 2y x x =+的最小正周期为 . 171615141312/kPa 舒张压频率/组距0.360.080.160.24开始输入x 是 0n =3430x x -+≤结束1x x =+否输入x 1n n =+(13) 一个六棱锥的体积为23，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为 。

(14) 圆心在直线20x y -=上的圆C 与y 轴的正半轴相切，圆C 截x 轴所得弦的长为23，则圆C 的标准方程为 。

(15) 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的焦距为2c ，右顶点为A ，抛物线22(0)x py p =>的焦点为F ，若双曲线截抛物线的准线所得线段长为2c ，且||FA c =，则双曲线的渐近线方程为 。

三、解答题：本大题共6小题，共75分. (16)（本小题满分12分）海关对同时从A ，B ，C 三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量（单位：件）如右表所示. 工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测.地区 A B C 数量50150100（Ｉ）求这6件样品中来自A ，B ，C 各地区商品的数量；（II ）若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率.(17) （本小题满分12分）ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为,,a b c . 已知63,cos ,32a A B A π===+. （Ｉ）求b 的值； （II ）求ABC ∆的面积. (18)（本小题满分12分）如图，四棱锥P ABCD -中，1,,,,2AP PCD AD BC AB BC AD E F ⊥==平面∥分别为线段,AD PC 的中点.（Ｉ）求证：AP BEF ∥平面； （II ）求证：BE PAC ⊥平面. (19) （本小题满分12分）在等差数列{}n a 中，已知公差12a =，2a 是1a 与4a 的等比中项. （Ｉ）求数列{}n a 的通项公式；（II ）设(1)2n n n b a +=，记1234(1)n n n T b b b b b =-+-+-+-…，求n T .(20) （本小题满分13分） 设函数1()ln 1x f x a x x -=++ ，其中a 为常数. （Ｉ）若0a =，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； （II ）讨论函数()f x 的单调性. (21)（本小题满分14分）学科网在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为32，直线y x =被椭圆C 截得的线段长为4105. （Ｉ）求椭圆C 的方程；AD D D D DD（II ）过原点的直线与椭圆C 交于A ，B 两点（A ，B 不是椭圆C 的顶点）. 点D 在椭圆C 上，且AD AB ⊥，直线BD 与x 轴、y 轴分别交于M ，N 两点.（i ）设直线BD ，AM 的斜率分别为12,k k ，证明存在常数λ使得12k k λ=，并求出λ的值；（ii ）求OMN ∆面积的最大值.数学（文）（山东卷）参考答案 一、选择题 （1）A （2）C （3）C （4）A （5）A （6）D （7）B （8）C （9）D （10）B二、 填空题（11）3 （12）π （13）12 （14）22(2)(1)4x y -+-= （15）y x =± 三、解答题（16）解：(I)因为样本容量与总体中的个数的比是615015010050=++，所以样本中包含三个地区的个体数量分别是：150150⨯=，1150350⨯=，1100250⨯=， 所以A ，B ，C 三个地区的商品被选取的件数分别为1,3,2.（II ）设6件来自A ，B ，C 三个地区的样品分别为12312;,,;,A B B B C C , 则抽取的这2件商品构成的所有基本事件为：123{,},{,},{,}A B A B A B ，12{,},{,}A C A C , 1213111223{,},{,}{,},{,};{,}B B B B B C B C B B ,2122313212{,},{,},{,},{,},{,}B C B C B C B C C C ,共15个.每个样品被抽到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的， 记事件D ：“抽取的这2件商品来自相同地区”， 则事件D 包含的基本事件有：12132312{,},{,}{,},{,}B B B B B B C C 共4个.所有4()15P D =，即这2件商品来自相同地区的概率为415. （17）解： （I ）在ABC ∆中，由题意知23sin 1cos 3A A =-=， 又因为2B A π=+，所有6sin sin()cos 23B A A π=+==， 由正弦定理可得63sin 332sin 33a Bb A⨯===. （II ）由2B A π=+得3cos cos()sin 23B A A π=+=-=-， 由A B C π++=,得()C A B π=-+. 所以sin sin[()]sin()C A B A B π=-+=+sin cos cos sin A B A B =+ 3366()3333=⨯-+⨯13=. 因此，ABC ∆的面积11132sin 3322232S ab C ==⨯⨯⨯=. （18）解： （I ）设ACBE O =，连结OF ，EC ，由于E 为AD 的中点，1,//2AB BC AD AD BC ==， 所以//,AE BC AE AB BC ==, 因此四边形ABCE 为菱形， 所以O 为AC 的中点， 又F 为PC 的中点，因此在PAC ∆中，可得//AP OF .又OF ⊂平面BEF ，AP ⊄平面BEF ， 所以AP ∥平面BEF .(I)由题意知，//,ED BC ED BC =, 所以四边形BCDE 为平行四边形， 因此//BE CD . 又AP ⊥平面PCD ，所以AP CD ⊥，因此AP BE ⊥. 因为四边形ABCE 为菱形， 所以BE AC ⊥. 又APAC A =，AP ，AC ⊂平面PAC ，所以BE ⊥平面PAC . （19）解：（I ）由题意知2111()(3)a d a a d +=+， 即2111(2)(6)a a a +=+， 解得12a =，所以数列{}n a 的通项公式为2n a n =. （II ）由题意知(1)2(1)n n n b a n n +==+.所以122334(1)(1)n n T n n =-⨯+⨯-⨯++-⨯+.因为12(1)n n b b n +-=+. 可得，当n 为偶数时，12341()()()n n n T b b b b b b -=-++-+++-+48122n =++++(42)22nn +=(2)2n n +=当n 为奇数时，1()n n n T T b -=+-(1)(1)(1)2n n n n -+=-+2(1)2n +=-所以2(1),2(2)2n n n T n n n ⎧+-⎪⎪=⎨+⎪⎪⎩为奇数，为偶数. （20）解：（I ）由题意知0a =时，1(),(0,)1x f x x x -=∈+∞+， 此时'22()(1)f x x =+，可得'1(1)2f =，又(1)0f =， 所以曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线方程为210x y --=. （II ）函数()f x 的定义域为(0,)+∞，2'222(22)()(1)(1)a ax a x af x x x x x +++=+=++， 当0a ≥时，'()0f x >，函数()f x 在(0,)+∞上单调递增， 当0a <时，令2()(22)g x ax a x a =+++， 由于22(22)44(21)a a a ∆=+-=+， ① 当12a =-时，0∆=， 2'21(1)2()0(1)x f x x x --=≤+，函数()f x 在(0,)+∞上单调递减， ② 当12a <-时，0,()0g x ∆<<， '()0f x <，函数()f x 在(0,)+∞上单调递减，③ 当102a -<<时，0∆>， 设1212,()x x x x <是函数()g x 的两个零点， 则1(1)21a a x a -+++=，2(1)21a a x a-+-+=， 由1121a a x a +-+=- 221210a a a a++-+=>-， 所以1(0,)x x ∈时，'()0,()0g x f x <<，函数()f x 单调递减， 12(,)x x x ∈时，'()0,()0g x f x >>，函数()f x 单调递增， 2(,)x x ∈+∞时，'()0,()0g x f x <<，函数()f x 单调递减， 综上可知，当0a ≥时，函数()f x 在(0,)+∞上单调递增； 当12a ≤-时，函数()f x 在(0,)+∞上单调递减； 当102a -<<时，()f x 在(1)21(0,)a a a-+++，(1)21(,)a a a -+-++∞上单调递减， 在(1)21(1)21(,)a a a a a a-+++-+-+上单调递增. （21）解：（I ）由题意知2232a b a -=，可得224a b =. 椭圆C 的方程可化简为2224x y a +=. 将y x =代入可得55a x =±， 因此25410255a ⨯=，可得2a =. 因此1b =，所以椭圆C 的方程为2214x y +=. （II ）（ⅰ）设111122(,)(0),(,)A x y x y D x y ≠，则11(,)B x y --，因为直线AB 的斜率11AB y k x =， 又AB AD ⊥，所以直线AD 的斜率11x k y =-， 设直线AD 的方程为y kx m =+， 由题意知0,0k m ≠≠， 由2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，可得222(14)8440k x mkx m +++-=. 所以122814mk x x k +=-+， 因此121222()214m y y k x x m k +=++=+， 由题意知，12x x ≠ 所以1211121144y y y k x x k x +==-=+， 所以直线BD 的方程为1111()4y y y x x x +=+， 令0y =，得13x x =，即1(3,0)M x . 可得1212y k x =-. 所以1212k k =-，即12λ=-. 因此存在常数12λ=-使得结论成立. （ⅱ）直线BD 的方程1111()4y y y x x x +=+， 令0x =，得134y y =-，即13(0,)4N y -， 由（ⅰ）知1(3,0)M x ，可得OMN ∆的面积11111393||||||||248S x y x y =⨯⨯=，因为221111||||14x x y y ≤+=，当且仅当11||2||22x y ==时等号成立， 此时S 取得最大值98， 所以OMN ∆的面积的最大值为98.。