数列部分知识点梳理
一数列的概念
1）数列的前n 项和与通项的公式①n n a a a S +++= 21； ⎩⎨
⎧≥-==-)2()
1(11n S S n S a n n n
2）数列的分类：①递增数列:对于任何+∈N n ,均有n n a a >+1.②递减数列:对于任何+∈N n ,均有n n a a <+1.③摆动数列:例如: .,1,1,1,1,1 ---④常数数列:例如:6,6,6,6,…….⑤有界数列:存在正数M 使+∈≤N n M a n ,.⑥无界数列:对于任何正数M ,总有项n a 使得M a n >.
一、等差数列
1）通项公式d n a a n )1(1-+=，1a 为首项，d 为公差。

前n 项和公式2
)
(1n n a a n S +=或
d n n na S n )1(2
1
1-+=.
2）等差中项：b a A +=2。

3）等差数列的判定方法：⑴定义法：d a a n n =-+1（+∈N n ，d 是常数）⇔{}n a 是等差数列；⑵中项法：212+++=n n n a a a (+∈N n )⇔{}n a 是等差数列.
4）等差数列的性质：
⑴数列{}n a 是等差数列，则数列{}p a n +、{}n pa （p 是常数）都是等差数列；
⑵在等差数列{}n a 中，等距离取出若干项也构成一个等差数列，即 ,,,,32k n k n k n n a a a a +++为等差数列，公差为kd .
⑶d m n a a m n )(-+=；b an a n +=(a ,b 是常数)；bn an S n +=2(a ,b 是常数，0≠a )
⑷若),,,(+∈+=+N q p n m q p n m ，则q p n m a a a a +=+；
⑸若等差数列{}n a 的前n 项和n S ，则⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧n S n 是等差数列；
⑹当项数为)(2+∈N n n ，则n
n a a
S S nd S S 1,+==-奇偶奇偶；
当项数为)(12+∈-N n n ，则n
n S S a S S n 1
,
-==-奇偶偶奇. (7)设是等差数列，则
（是常数）是公差为
的等差数列；
(8)设
，
，
，则有
；
(9)
是等差数列的前项和，则；
(10)其他衍生等差数列：若已知等差数列，公差为，前项和为
，则
①．为等差数列，公差为
；
②．
（即
）为等差数
列，公差；
③．（即）为等差数列，公差为.
二、等比数列 1）通项公式：11-=n n q a a ，1a 为首项，q 为公比 。

前n 项和公式：①当1=q 时，1na S n =②当1
≠q 时，q q
a a q q a S n n n --=
--=11)1(11. 2）等比中项：b a G ⋅=2。

；
3）等比数列的判定方法：⑴定义法：
q a a n
n =+1
（+∈N n ，0≠q 是常数）⇔{}n a 是等比数列；⑵中项法：22
1++⋅=n n n a a a (+∈N n )且0≠n a ⇔{}n a 是等比数列. 4）等比数列的性质：
⑴数列{}n a 是等比数列，则数列{}n pa 、{}n pa （0≠q 是常数）都是等比数列； （2）
),(+-∈⋅=N m n q a a m n m n
（3）若),,,(+∈+=+N q p n m q p n m ，则q p n m a a a a ⋅=⋅；
（4）若等比数列{}n a 的前n 项和n S ，则k S 、k k S S -2、k k S S 23-、k k S S 34-是等比数列. （5）设，
是等比数列，则
也是等比数列。

（6）设
是等比数列，是等差数列，且
则
也是等比数列（即等比数列中等距
离分离出的子数列仍为等比数列）； （7）设是正项等比数列，则
是等差数列； （8）设
，
，
，则有；
（9）其他衍生等比数列：若已知等比数列，公比为，前项和为
，则
①．
为等比数列，公比为
；
②．（即
）为等比数列，公比为
；
三、解题技巧： A 、数列求和的常用方法：
1、拆项分组法：即把每一项拆成几项，重新组合分成几组，转化为特殊数列求和。

2、错项相减法：适用于差比数列（如果{}n a 等差，{}n b 等比，那么{}n n a b 叫做差比数列）
即把每一项都乘以{}n b 的公比q ，向后错一项，再对应同次项相减，转化为等比数列求和。

3、裂项相消法：即把每一项都拆成正负两项，使其正负抵消，只余有限几项，可求和。

适用于数
列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭
和⎧⎫（其中{}n
a 等差）。

可裂项为：111111()n n n n a a d a a ++=-⋅
，1
d
=
B 、等差数列前n 项和的最值问题：
1、若等差数列{}n a 的首项10a >，公差0d <，则前n 项和n S 有最大值。

（ⅰ）若已知通项n a ，则n S 最大⇔10
0n n a a +≥⎧⎨≤⎩；
（ⅱ）若已知2n S pn qn =+，则当n 取最靠近2q
p
-
的非零自然数时n S 最大； 2、若等差数列{}n a 的首项10a <，公差0d >，则前n 项和n S 有最小值
（ⅰ）若已知通项n a ，则n S 最小⇔10
0n n a a +≤⎧⎨≥⎩；
（ⅱ）若已知2n S pn qn =+，则当n 取最靠近2q
p
-
的非零自然数时n S 最小； C 、根据递推公式求通项： 1、构造法：
1°递推关系形如“q pa a n n +=+1”，利用待定系数法求解
【例题】已知数列{}n a 中，32,111+==+n n a a a ，求数列{}n a 的通项公式.
2°递推关系形如“，两边同除1n p +或待定系数法求解 【例题】n n n a a a 32,111+==+，求数列{}n a 的通项公式. 3°递推已知数列{}n a 中，关系形如“n n n a q a p a ⋅+⋅=++12”，利用待定系数法求解 【例题】已知数列{}n a 中，n n n a a a a a 23,2,11221-===++，求数列{}n a 的通项公式.
4°递推关系形如"11n n n n a pa qa a ---=≠（p,q 0),两边同除以1n n a a -
【例题】已知数列{}n a 中，1122n n n n a a a a ---=≥=1（n 2),a ，求数列{}n a 的通项公式. 【例题】数列{}n a 中，)(42,211++∈+=
=N n a a a a n
n
n ，求数列{}n a 的通项公式. 2、迭代法：
a 、⑴已知关系式)(1n f a a n n +=+，可利用迭加法或迭代法；11232211)()()()(a a a a a a a a a a n n n n n n n +-++-+-+-=-----
【例题】已知数列{}n a 中，)2(12,211≥-+==-n n a a a n n ，求数列{}n a 的通项公式
b 、已知关系式)(1n f a a n n ⋅=+，可利用迭乘法.1
1
22332211a a a
a a a a a a a a a n n n n n n n ⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-----
【例题】已知数列{}n a 满足：111
(2),21
n n a n n a a n --=≥=+，求求数列{}n a 的通项公式； 3、给出关于n S 和m a 的关系
【例题】设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知)(3,11++∈+==N n S a a a n n n ，设n n n S b 3-=， 求数列{}n b 的通项公式．。