第四章 原子的精细结构：电子的自旋玻尔理论考虑了原子主要的相互作用即核与电子的静电作用，较为有效地解释了氢光谱。

不过人们随后发现光谱线还有精细结构，这说明还需考虑其它相互作用即考虑引起能量变化的原因。

本章在量子力学基础上讨论原子的精细结构。

本章先介绍原子中电子轨道运动引起的磁矩，然后介绍原子与外磁场的相互作用，以及原子内部的磁场引起的相互作用。

说明空间量子化的存在，且说明仅靠电子的轨道运动不能解释精细结构，还须引入电子自旋的假设，由电子自旋引起的磁相互作用才是产生精细结构的主要因素。

§4-1原子中电子轨道运动的磁矩 1.经典表示式在经典电磁学中载流线圈的磁矩为niS ˆ=μρ。

(若不取国际单位制，则n S ci ρρ=μ)（S 为电流所围的面积，n ρ是垂直于该积的单位矢量。

这里假定电子轨道为圆形，可证明，对于任意形状的闭合轨道，其结果不变。

）电子绕核的运动必定有一个磁矩，设电子旋转频率为rv πν2=，则原子中电子绕核旋转的磁矩为：L m e n vr m m e n r r v e n r e S i e e e ρρρρρρ22222-=-=-=-==ππνπμ定义旋磁比：edefm e2≡γ，则电子绕核运动的磁矩为L ρργμ-= 上式是原子中电子绕核运动的磁矩与电子轨道角动量之间的关系式。

磁矩μρ与轨道角动量L ρ反向，这是因为磁矩的方向是根据电流方向的右手定则定义的，而电子运动方向与电流反向之故。

从电磁学知道，磁矩在均匀外磁场中不受力，但受到一个力矩作用，力矩为B ρρρ⨯=μτ力矩的存在将引起角动量的变化，即B dtL d ρρρρ⨯==μτ 由以上关系可得B dt d ρρρ⨯-=μγμ，可改写为μωμρρρ⨯=dtd 拉莫尔进动的角速度公式：B ρργω=，表明：在均匀外磁场B ρ中高速旋转的磁矩不向B ρ靠拢，而是以一定的ωρ绕B ρ作进动。

ωρ的方向与B ρ一致。

进动角频率（or 拉莫尔频率）为：πων2=L2.量子化条件此前的两个量子数中，主量子数n 决定体系的能量，角动量量子数l 决定轨道形状。

轨道平面方向的确定：当有一个磁场存在时，磁场B ρ的方向即为参考方向，轨道平面的方向也才有意义。

轨道角动量L ρ垂直于轨道平面，它相对于磁场方向(定义为z)的角度α决定了轨道平面的方向，如右图示。

此前得到角动量量子化条件为：Λη,,,l ,l L 321==鉴于量子力学的本质，将此条件作一原则性改动，取由量子力学计算所得的结果Λη,,,l ,)l (l L 2101=+=，由此引入第三个量子化条件：l ,,l ,l m ,m L z --==Λη1 显然，对于一固定的l ，有(12+l )个m 值。

3.角动量取向量子化根据轨道角动量及其分量的量子化条件⎪⎩⎪⎨⎧--===+=ll l m m L l l l L z ,,1,,2,1,0,)1(ΛηΛη做出其矢量模型示意图(右图)。

其特点是L ρ不能与z 方向重合，这正是对角动量量子化条件改动而产生的效果。

将以上量子化条件代入磁矩μ和磁矩在z 方向投影的表达式z μ有：⎪⎩⎪⎨⎧-=-=-=+-=-=Bz z Bm m L l l L μγγμμγμη)1( 令14105788.02--⋅⨯==T eV m e eB ημ，称为玻尔磁子，是轨道磁矩的最小单元。

是原子物理学中的一个重要常数。

可改写为)ea (e e m c e e B 12222121αμ==ηη，式中1371=α为精细结构常数，1a 是第一玻尔半径。

此式说明磁相互作用至少比电相互作用小两个数量级。

4-2史特恩-盖拉赫实验（在外加非均匀磁场中原子束的分裂）1921年，史特恩和盖拉赫首次作实验证实了电子自旋的存在，是对原子在外磁场中取向量子化的首次直接观察，是原子物理学中最重要的实验之一，实验装置如右图示。

从加热炉O 中发出一束氢原子蒸气（由于炉温不很高，故原子处于基态），原子速度满足于kT mv 23212=，氢原子先后穿过两个狭缝后即得到沿x 方向运动的速度为v 的氢原子束。

原子束穿过磁场区最后落在屏上。

为使氢原子束在磁场区受力，要求磁场在0A 的线度范围内是非均匀磁场（实验的困难所在）。

沿x 方向进入磁场的原子束只在Z 方向上受力，zB F Zzz ∂∂=μ 原子束在磁场区内的运动方程为：⎪⎩⎪⎨⎧==2121t m F z vt x Z原子经磁场区（长度为D ）后，与x 轴线的偏角为：211)(mvd F tg mv t F tg dx dztg z d z ---===α 当原子束落至屏上P 点时，偏离x 轴的距离为kTdD z B z z z 32∂∂=μ。

式中βμμcos =z ，见右上图。

由以上讨论知，不仅μ呈量子化，μ在z 方向的投影也呈量子化，因为只有这样，2z 的数值才可能是分立的。

故从实验测得2z 是分立的，反过来证明μ呈量子化。

此实验是空间量子化最直接的证明，它是第一次量度原子基态性质的实验。

以上只考虑了电子的轨道运动，现将电子的自旋也考虑进来，即原子的总磁矩是由轨道和自旋两部分磁矩合成的。

只有全面考虑才能解释氢原子在非均匀磁场中的偶分裂现象。

于是kTdDz B z z z32∂∂=μ中的B J J z g m μμ-=在运用上式时须注意单位，kT 3的单位应取eV 。

由于J J J m J --=,,1,Λ共有)12(+J 个值，所以就有)12(+J 个分裂的2z 值，即在感光板上有)12(+J 个黑条，表明了)12(+J 个空间取向。

由此得出一种通过实验确定g 因子的重要方法。

可据上式解释单电子或多电子体系的各种原子的史特恩-盖拉赫实验结果。

对于氢（单电子），因氢原子处于基态，21,210,21,0,1±==+====j m s j s l n ，进而可得出2=j g ，故有1=J J g m 于是与具体实验参数相对应的cmKK eV mm m T T eV kT dD z B z Z B12.1107/10617.8321/10/105788.034542±=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯±=∂∂±=--μ 以上计算结果表明处于基态的氢原子束在不均匀磁场作用下分裂为两层，各距中线1.12cm ，与实验甚符。

史特恩-盖拉赫实验结果证明：1）原子在外磁场中的取向呈量子化；2）电子自旋假设是正确的，氢原子在磁场中只有两个取向即21=s ； 3）电子自旋磁矩的数值为2,=±=s B s g z μμ。

§4-3电子自旋的假设1. 乌仑贝克与古兹米特（1925年，时年不到25岁的荷兰学生）的电子自旋假说从史特恩-盖拉赫实验出现偶数分裂的事实，给人启示，要使)12(+l 为偶数，只有角动量为半整数。

而轨道角动量是不可能为半整数的。

乌仑贝克与古兹米特根据大量实验事实提出假设：1）电子不是点电荷，除轨道角动量外还有自旋运动，具有固有的自旋角动量S （内禀角动量），21,)1(=+=s s s S η。

它在z 方向的分量只有两个：η21±=z s 。

即自旋量子数在z 方向的分量只能取21±， ηs z m S =，21±=s m2）电子因自旋而具有的自旋磁矩（内禀磁矩）与自旋方向相反，在z 方向的分量为1个玻尔磁（s μ的存在标志着电子还有一个新的物理自由度）玻尔磁子T eV .J/T .m e μeB /105788010927402423--⨯=⨯==η在此之前已得到电子轨道运动的磁矩为⎪⎩⎪⎨⎧-=-=+-=B l Bl m m l l zμγμμμη)1(。

电子与自旋相联系的磁矩类似于电子轨道运动的磁矩，可写出电子自旋的磁矩为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-=+-=B B s s B B s m s s zμμμμμμ2123)1(μ。

但这两个式子与实验不符，为与实验事实相符，乌仑贝克与古兹米特进一步假设：电子的磁矩为一个玻尔磁子，即为经典数值的2倍。

⎪⎩⎪⎨⎧=-=B s Bs zμμμμμ3从以上的讨论可知：e sm e S=μ、 el m eL 2=μ，两者相差一倍。

电子自旋假设受到各种实验的支持，是对电子认识的一个重大发展。

狄拉克于1928年找到一种与狭义相对论相融洽的理论，可由狄拉克量子方程得出电子自旋的自然结果。

反过来看，电子轨道运动的磁矩为⎪⎩⎪⎨⎧-=-=+-=B l Bl m m l l zμγμμμη)1(在原子体系中并不普遍成立。

电子自旋假设是经典物理学是无法接受的。

如将电子自旋视为机械自旋，可证明电子自旋使其表面的切向线速度将超过光速。

正因为如此，这一假说一开始就遭到很多反对，但后来的事实证明，电子自旋的概念是微观物理学中最重要的概念。

（电子的自旋不能理解为像陀螺一样绕自身轴旋转，它是电子内部的属性，与运动状态无关。

它在经典物理中找不到对应物，是一个崭新的概念）2.朗德因子（g 因子）定义一个g 因子，使得对任意角动量j 所对应的磁矩以及它们在z 方向上的投影都成立。

表示为⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=Bj j jZ Bj j g m g j j μμμμ)1( g 因子是反映物质内部运动的一个重要物理量，但至今仍是一个假设，它可以表示为：引入g 因子后，电子的轨道磁矩、自旋磁矩和总磁矩以及在z 方向的分量分别表示为：当只考虑轨道角动量时，⎪⎩⎪⎨⎧-=-=+-===B l Bl l m m l l g l j z μγμμμη)1(1,，则当只考虑自旋角动量时， ⎪⎩⎪⎨⎧=-===B s Bs szs,g j μμμμμ32，则3.原子的磁矩电子的磁矩和原子核的磁矩合成原子的磁矩。

由于原子核的磁矩比电子磁矩小3个数量级，一般可不考虑。

因此，对单电子原子电子的磁矩即为原子的磁矩。

对多电子原子，当为S L -耦合时，g为：⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=B J BJ mg J J g zμμμμ)1(原子的磁矩及其在z 方向的分量4.角动量的合成电子的自旋和轨道运动相互耦合的总角动量可表示为：S L J ρϖρ+=按矢量合成法则有：S L S L LS S L J ρρ⋅++=++=2cos 222222θ→)(21222S L J S L --=⋅ρρ须注意的是，并非按上式求出的J 都合乎要求。

量子数j 的取值由角量子数l 与自旋量子数s 决定，最大值是（l ＋s ），最小值是s l -。

量子力学可证明，j 可能的取值是：s l s l s l j --++=,,1,Λ由此得：)]1()1()1([2+-+-+=⋅s s l l j j S L ηρρ量子化的J 、S 、L ρρρ*单电子的g 因子表达式⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧-=-=-=+-=+-=+-=B j j j B s s s B l l l B j j B s s B l l g m g m g m j j g s s g l l g zz z μμμμμμμμμμμμ)1()1()1(§4-4碱金属双线（碱金属原子的光谱） 1.电子态和原子态的表示方法角量子数Λ5,4,3,2,1,0=l 对应的电子态用小写字母Λ,,,,,,h g f d p s 表示。