2
∂ ∂
( z ≥ 0 ) ，它的单位法线矢量 en 与 oz 轴的夹角是锐
∫
S
r ⋅ dS = ∫
∫ =∫ ∫
0 2π 0
2π
π/2
0
rer ⋅ r 2 sin θ dθ dϕ er
。
π/2
0
r 3 sin θ dθ dϕ
= 2πa 3
1-10 求 ∇ ⋅ A 在给定点的值 （1） A = x e x + y e y + z e z 在点 M (1, 0, −1) ；
3 3 3
（2） A = 4 xe x − 2 xye y + z e z 在点 M (1,1,3)
2
（3） A = xyzr 在点 M (1,3, 2 ) ，式中的 r = xe x + ye y + ze z 。 解： （1） ∇ ⋅ A = 3 x + 3 y + 3 z ，
2 2 2
∇ ⋅ A M (1,0,−1) = 6 ；
1-4 若 D = 1 + 16r
(
2
) e ，在半径为 2 和 0 ≤ θ ≤ π / 2 的半球面上计算 。
解：因为 dS = rdθ ⋅ r sin θ dϕ er
e z ⋅ er = cos θ
所以
2π
∫
S
D ⋅ dS = ∫
0
∫ (1 + 16r ) e
π/2 2 0 2π 0
∂ ∂
⎛ ⎝
（2） ∇ ⋅ er = ∇ ⋅ ⎜ ⎟ = 其中
∂ ∂
∂ ∂
x
+ ey
y
+ ez
⎛r⎞ ⎝r⎠
r∇ ⋅ r − r ⋅∇r r2
∇⋅r = 3
2 ⎛r⎞ r r ⋅∇r = r ⋅ ⎜ ⎟ = = r ⎝r⎠ r
所以
3r − r 2 = ； r2 r e r∇ ⋅ er − er ⋅∇r （3） ∇ ⋅ r = r r2 2 r r r⋅ − ⋅ = r 2r r r 1 = 2 r ∇ ⋅ er =
= f ' ( r ) ∇r × C = f ' (r )
r ×C r
（4） ∇i ⎡ ⎣r × f ( r ) C ⎤ ⎦ = f ( r ) C ⋅ [∇ × r ] − r i ⎡ ⎣∇ × f ( r ) C ⎤ ⎦
(
)
⎡ f ' (r ) ⎤ r ×C⎥ = −r i⎢ ⎣ r ⎦ =0
1-15 如果电场强度 E = E0 cos θ er − E0 sin θ eθ ，求 ∇ ⋅ E 和 ∇ × E 。 解： Er = E0 cos θ
∂ ∂ ∂ ∂
或采用球坐标：
∂ ∂
∇r = e r
r eθ + r r
r
θ
+
er r sin θ
r
ϕ
= er =
r r
∇r n = nr n −1∇r = nr n − 2 r
f ' (r ) ∇f ( r ) = f ( r ) ∇r = r r
'
∂ ∂
∂ ∂
∂ ∂
∂ ∂
1-6 矢量 A 的分量是 Ax = y
第1 章
1-1 在球坐标系中，试求点 M ⎜ 6, 角坐标系下求解） 。 解：
⎛ ⎝
2π 2π ⎞ ⎛ π ⎞ , ⎟ 与点 N ⎜ 4, , 0 ⎟ 之间的距离（提示：换在至直 3 3 ⎠ ⎝ 3 ⎠
⎧ x = r sin θ cos ϕ ⎪ ∵ ⎨ y = r sin θ sin ϕ ⎪ z = r cos θ ⎩
= ∇f ( r ) ⋅ r + f ( r ) ∇ ⋅ r
5
= f ' ( r ) ∇r ⋅ r + 3 f ( r ) r = f ' (r ) ⋅ r + 3 f (r ) r ' = rf ( r ) + 3 f ( r )
若使 ∇ ⋅ F = 0 ，即 rf
'
( r ) + 3 f ( r ) = 0 ，这是一阶微分方程，具体求解方法如下：
6
ex
∂ ∂
解： （1） ∇ × r =
ey
∂ ∂
ez
∂ ∂
x x
y y
'
z z
=0
（2） ∇ × ⎡ ⎣ f (r ) r ⎤ ⎦= f
( r ) ∇r × r + f ( r ) ∇ × r
r = f ' (r ) × r r =0
（3） ∇ × ⎡ ⎣ f (r )C ⎤ ⎦ = ∇f ( r ) × C
π/2 0
−1 cos 2θ 4
将 r = 2 条件代入上式，可得：
∫
S
D ⋅ dS = 260 π 。
1-5 设 r = xe x + ye y + ze z ， r = r ， n 为整数，试求 ∇r ， ∇r ， ∇f ( r ) 。
n
解：
∇r = e x
x y z r + e y + ez = r r r r
n = e x + 2e y + 2e z 的环量面密度。 ex ∂ ∂
解： ∇ × A
M
ey ∂ ∂ y xyz
ez ∂ ∂ z xyz M
M
=
x xyz
= e x ( xz − zy ) + e y ( xy − yz ) + ez ( yz − xz ) = −e x − 3e y + 4ez
（3）证明 A ⋅∇f = 0
A ⋅∇f = ( r × ∇f ) ⋅∇f = ( ∇f × ∇f ) ⋅ r = 0 ，得证。
1-7 求函数ψ = x yz 的梯度及ψ 在点 M ( 2,3,1) 沿一个指定方向的方向导数，此方向上的
2
单位矢量 l = e x
0
3 4 5 + ey + ez 。 50 50 50
2 2
2
= 82 = 9.05
1-2 证明球坐标单位矢量的微分： （1）
（2） 证明：
∂ ∂ ∂
eθ
θ
= −er ；
er = sin θ eϕ 。 ∂ϕ ∂ ∂
1-3 设 F = −e x a sin θ + e y b cos θ + ez c ，式中 a ， b ， c 为常数，求积分
解：∵
∂ ∂
1-8 在球坐标系中，已知 Φ = 解：
Pe cos θ ， Pe 、 ε 0 为常数，试求矢量场 E = −∇Φ 。 4 πε 0 r 2
E = −∇Φ e Φ − φ r θ r sin θ P cos θ P sin θ = er e + eθ e 3 2πε 0 r 4πε 0 r 3 ∂ ∂ ∂ ∂ = − er − eθ r
rf ' ( r ) + 3 f ( r ) = 0 df ( r ) 3 + dr = 0 f (r ) r ln f ( r ) = −3ln r + C f (r ) =
得证。
C r3
1-13 求 矢 量 场 A = xyz e x + e y + e z
(
) 在 点 M (1,3, 2 ) 的 旋 度 以 及 在 这 点 沿 方 向
1-9 设 S 是上半平面 x + y + z = a
2 2 2
Φ
Φ ϕ
2
角，求矢量场 r = xe x + ye y + ze z 向 en 所指的一侧穿过 S 的通量。 解：矢量场 r = xe x + ye y + ze z 在球坐标系中的表达式为 r = rer ； 有向面元 dS 的表达式为： dS = er r sin θ dθ dϕ ；所以有
（2） ∇ ⋅ A = 4 − 2 x + 2 z ，
∇ ⋅ A M (1,1,3) = 8 ；
（3） A = xyzr = xyz xe x + ye y + ze z = x yze x + xy ze y + xyz e z
2 2 2
(
)
∇ ⋅ A = 2 xyz + 2 xyz + 2 xyz = 6 xyz ,
∂ ∂
因为： ∇f = 故有
f f f ex + ey + e z ， r = xe x + ye y + ze z ， x y z
∂ ∂
∂ ∂
ex r × ∇f = x f x
∂ ∂ ∂ ∂
ey y f y
ez z f z
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
⎛ ⎛ f f ⎞ f f ⎞ f f ⎞ ⎛ =⎜y −z −x −y ⎟ ex + ⎜ z ⎟ ez ⎟ ex + ⎜ x z y⎠ x z⎠ y x⎠ ⎝ ⎝ ⎝
eθ
θ
=
= − sin θ sin ϕ e x − sin θ cos ϕ e y − cos θ e z = − er
∂ ∂
θ
( cos θ sin ϕ e
x
+ cos θ cos ϕ e y − sin θ e z )
∂ ∂
er
ϕ
=
ϕ
( sin θ cos ϕ e
x
+ sin θ sin ϕ e y + cos θ e z )
2 2
解： ∇ψ = e x 2 xyz + e y x z + e z x y 在点 M ( 2,3,1) ， ∇ψ M = 12e x + 4e y + 12ez 方向导数