2020年湖北省十堰市中考数学试卷一、选择题（共10小题）. 1．（3分）14的倒数是( ) A ．4B ．4-C ．14 D ．14-2．（3分）某几何体的三视图如图所示，则此几何体是( )A ．圆锥B ．圆柱C ．长方体D ．四棱柱3．（3分）如图，将一副三角板重叠放在起，使直角顶点重合于点O ．若130AOC ∠=︒，则(BOD ∠= )A ．30︒B ．40︒C ．50︒D ．60︒4．（3分）下列计算正确的是( ) A ．23a a a += B ．632a a a ÷= C ．2363()a b a b -=D ．2(2)(2)4a a a -+=-5．（3分）一家鞋店在一段时间内销售了某种女鞋30双，各种尺码鞋的销售量如下表所示： 鞋的尺码/cm 22 22.5 23 23.5 24 24.5 25 销售量双12511731若每双鞋的销售利润相同，则该店主最应关注的销售数据是下列统计量中的( ) A ．平均数B ．方差C ．众数D ．中位数6．（3分）已知平行四边形ABCD 中，下列条件：①AB BC =；②AC BD =；③AC BD ⊥；④AC 平分BAD ∠，其中能说明平行四边形ABCD 是矩形的是( ) A ．①B ．②C ．③D ．④7．（3分）某厂计划加工180万个医用口罩，第一周按原计划的速度生产，一周后以原来速度的1.5倍生产，结果比原计划提前一周完成任务．若设原计划每周生产x 万个口罩，则可列方程为( ) A ．18018011.5x xx x --=+ B ．18018011.5x xx x --=- C ．18018021.5x x=+ D ．18018021.5x x=- 8．（3分）如图，点A ，B ，C ，D 在O 上，OA BC ⊥，垂足为E ．若30ADC ∠=︒，1AE =，则(BC = )A ．2B ．4C ．3D ．239．（3分）根据图中数字的规律，若第n 个图中出现数字396，则(n = )A ．17B ．18C ．19D ．2010．（3分）如图，菱形ABCD 的顶点分别在反比例函数1k y x =和2ky x=的图象上，若120BAD ∠=︒，则12||(k k = )A ．13B ．3C 3D 3二、填空题（本题有6个小题，每小题3分，共18分） 11．（3分）已知23x y +=，则124x y ++= ．12．（3分）如图，在ABC ∆中，DE 是AC 的垂直平分线．若3AE =，ABD ∆的周长为13，则ABC ∆的周长为 ．13．（3分）某校即将举行30周年校庆，拟定了A ，B ，C ，D 四种活动方案，为了解学生对方案的意见，学校随机抽取了部分学生进行问卷调查（每人只能赞成一种方案），将调查结果进行统计并绘制成如图两幅不完整的统计图．若该校有学生3000人，请根据以上统计结果估计该校学生赞成方案B 的人数为 ．14．（3分）对于实数m ，n ，定义运算2*(2)2m n m n =+-．若2*4*(3)a =-，则a = ． 15．（3分）如图，圆心角为90︒的扇形ACB 内，以BC 为直径作半圆，连接AB ．若阴影部分的面积为(1)π-，则AC = ．16．（3分）如图，D 是等边三角形ABC 外一点．若8BD =，6CD =，连接AD ，则AD 的最大值与最小值的差为 ．三、解答题（本题有9个小题，共72分） 17．（5分）计算：101()|2|20202---+．18．（6分）先化简，再求值：22221244a b a b a b a ab b ---÷+++，其中33a =-，3b =． 19．（7分）如图，要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所成的角α一般要满足5075α︒︒，现有一架长为6m 的梯子，当梯子底端离墙面2m 时，此时人是否能够安全使用这架梯子（参考数据：sin 500.77︒≈，cos500.64︒≈，sin 750.97︒≈，cos750.26)︒=？20．（7分）某校开展“爱国主义教育”诵读活动，诵读读本有《红星照耀中国》、《红岩》、《长征》三种，小文和小明从中随机选取一种诵读，且他们选取每一种读本的可能性相同． （1）小文诵读《长征》的概率是 ；（2）请用列表或画树状图的方法求出小文和小明诵读同一种读本的概率． 21．（7分）已知关于x 的一元二次方程24280x x k --+=有两个实数根1x ，2x ． （1）求k 的取值范围；（2）若33121224x x x x +=，求k 的值． 22．（8分）如图，AB 为半圆O 的直径，C 为半圆O 上一点，AD 与过点C 的切线垂直，垂足为D ，AD 交半圆O 于点E ． （1）求证：AC 平分DAB ∠；（2）若2=，试判断以O，A，E，C为顶点的四边形的形状，并说明理由．AE DE23．（10分）某企业接到生产一批设备的订单，要求不超过12天完成．这种设备的出厂价为1200元/台，该企业第一天生产22台设备，第二天开始，每天比前一天多生产2台．若干天后，每台设备的生产成本将会增加，设第x天(x为整数）的生产成本为m（元/台），m 与x的关系如图所示．（1）若第x天可以生产这种设备y台，则y与x的函数关系式为，x的取值范围为；（2）第几天时，该企业当天的销售利润最大？最大利润为多少？（3）求当天销售利润低于10800元的天数．24．（10分）如图1，已知ABC EBD∠=∠=︒，点D在AB上，连接CDACB EDB∆≅∆，90并延长交AE于点F．（1）猜想：线段AF与EF的数量关系为；（2）探究：若将图1的EBD∆绕点B顺时针方向旋转，当CBE∠小于180︒时，得到图2，连接CD并延长交AE于点F，则（1）中的结论是否还成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；（3）拓展：图1中，过点E作EG CB∠的大小发生变化，其它条⊥，垂足为点G．当ABC件不变时，若EBG BAEBC=，直接写出AB的长．∠=∠，625．（12分）已知抛物线22y ax ax c =-+过点(1,0)A -和(0,3)C ，与x 轴交于另一点B ，顶点为D ．（1）求抛物线的解析式，并写出D 点的坐标；（2）如图1，E 为线段BC 上方的抛物线上一点，EF BC ⊥，垂足为F ，EM x ⊥轴，垂足为M ，交BC 于点G ．当BG CF =时，求EFG ∆的面积；（3）如图2，AC 与BD 的延长线交于点H ，在x 轴上方的抛物线上是否存在点P ，使OPB AHB ∠=∠？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案一、选择题（本题有10个小题，每小题3分，共30分）下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确选项的字母填涂在答题卡中相应的格子内．1．（3分）14的倒数是()A．4B．4-C．14D．14-解：14的倒数是4故选：A．2．（3分）某几何体的三视图如图所示，则此几何体是()A．圆锥B．圆柱C．长方体D．四棱柱解：主视图和左视图都是长方形，∴此几何体为柱体，俯视图是一个圆，∴此几何体为圆柱，故选：B．3．（3分）如图，将一副三角板重叠放在起，使直角顶点重合于点O．若130AOC∠=︒，则(BOD∠=)A．30︒B．40︒C．50︒D．60︒解：130AOC∠=︒，40BOC AOC AOB∴∠=∠-∠=︒，50BOD COD BOC ∴∠=∠-∠=︒．故选：C ．4．（3分）下列计算正确的是( ) A ．23a a a += B ．632a a a ÷= C ．2363()a b a b -=D ．2(2)(2)4a a a -+=-解：A 、a 与2a 不是同类项，不能合并，原计算错误，故此选项不符合题意； B 、633a a a ÷=，原计算错误，故此选项不符合题意； C 、2363()a b a b -=-，原计算错误，故此选项不符合题意；D 、2(2)(2)4a a a -+=-，原计算正确，故此选项符合题意，故选：D ．5．（3分）一家鞋店在一段时间内销售了某种女鞋30双，各种尺码鞋的销售量如下表所示：若每双鞋的销售利润相同，则该店主最应关注的销售数据是下列统计量中的( ) A ．平均数B ．方差C ．众数D ．中位数解：因为众数是在一组数据中出现次数最多的数，又根据题意，每双鞋的销售利润相同，鞋店为销售额考虑，应关注卖出最多的鞋子的尺码，这样可以确定进货的数量，所以该店主最应关注的销售数据是众数． 故选：C ．6．（3分）已知平行四边形ABCD 中，下列条件：①AB BC =；②AC BD =；③AC BD ⊥；④AC 平分BAD ∠，其中能说明平行四边形ABCD 是矩形的是( ) A ．①B ．②C ．③D ．④解：A ．AB BC =，邻边相等的平行四边形是菱形，故A 错误； B ．AC BD =，对角线相等的平行四边形是矩形，故B 正确； C ．AC BD ⊥，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故C 错误；D ．AC 平分BAD ∠，对角线平分其每一组对角的平行四边形是菱形，故D 错误．故选：B ．7．（3分）某厂计划加工180万个医用口罩，第一周按原计划的速度生产，一周后以原来速度的1.5倍生产，结果比原计划提前一周完成任务．若设原计划每周生产x 万个口罩，则可列方程为( ) A ．18018011.5x xx x --=+ B ．18018011.5x xx x --=- C ．18018021.5x x=+ D ．18018021.5x x=- 解：原计划每周生产x 万个口罩，一周后以原来速度的1.5倍生产， ∴一周后每周生产1.5x 万个口罩，依题意，得：18018011.5x xx x--=+． 故选：A ．8．（3分）如图，点A ，B ，C ，D 在O 上，OA BC ⊥，垂足为E ．若30ADC ∠=︒，1AE =，则(BC = )A ．2B ．4C 3D ．23解：连接OC ，如图， 30ADC ∠=︒， 60AOC ∴∠=︒， OA BC ⊥， CE BE ∴=，在Rt COE ∆中，12OE OC =，3CE OE =，1OE OA AE OC =-=-，112OC OC ∴-=，2OC ∴=， 1OE ∴=，3CE ∴=，223BC CE ∴==．故选：D ．9．（3分）根据图中数字的规律，若第n 个图中出现数字396，则(n = )A ．17B ．18C ．19D ．20解：根据图形规律可得：上三角形的数据的规律为：2(1)n n +，若2(1)396n n +=，解得n 不为正整数，舍去； 下左三角形的数据的规律为：21n -，若21396n -=，解得n 不为正整数，舍去； 下中三角形的数据的规律为：21n -，若21396n -=，解得n 不为正整数，舍去； 下右三角形的数据的规律为：(4)n n +，若(4)396n n +=，解得18n =，或22n =-，舍去 故选：B ．10．（3分）如图，菱形ABCD 的顶点分别在反比例函数1k y x =和2ky x=的图象上，若120BAD ∠=︒，则12||(k k = )A ．13B ．3C 3D 3解：根据对称性可知，反比例函数1k y x =，2ky x=的图象是中心对称图形，菱形是中心对称图形，∴菱形ABCD 的对角线AC 与BD 的交点即为原点O ，OD OC ⊥，如图：作CM x ⊥轴于M ，DN x ⊥轴于N ．连接OD ，OC ． DO OC ⊥，90COM DON ∴∠+∠=︒，90DON ODN ∠+∠=︒， COM ODN ∴∠=∠， 90CMO DNO ∠=∠=︒， COM ODN ∴∆∆∽，∴222111||||2()1||||2COMODNk S k CO S OD k k ∆∆===，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 的交点即为原点O ，120BAD ∠=︒， 60OCD ∴∠=︒，90COD ∠=︒， ∴tan 603DOCO︒==， ∴33CO DO =， ∴2221||31()()||33k CO OD k ===， ∴12||3k k =． 故选：B ．二、填空题（本题有6个小题，每小题3分，共18分）11．（3分）已知23x y +=，则124x y ++= 7 ． 解：23x y +=，2(2)24236x y x y ∴+=+=⨯=， 124167x y ∴++=+=，故答案为：7．12．（3分）如图，在ABC ∆中，DE 是AC 的垂直平分线．若3AE =，ABD ∆的周长为13，则ABC ∆的周长为 19 ．解：DE 是AC 的垂直平分线，3AE =， 26AC AE ∴==，AD DC =， 13AB BD AD ++=，ABC ∴∆的周长13619AB BC AC AB BD AD AC =++=+++=+=．故答案为：19．13．（3分）某校即将举行30周年校庆，拟定了A ，B ，C ，D 四种活动方案，为了解学生对方案的意见，学校随机抽取了部分学生进行问卷调查（每人只能赞成一种方案），将调查结果进行统计并绘制成如图两幅不完整的统计图．若该校有学生3000人，请根据以上统计结果估计该校学生赞成方案B 的人数为 1800人 ．解：根据条形统计图和扇形统计图可知赞成C 方案的有44人，占样本的22%， ∴样本容量为：4422%200÷=（人)， ∴赞成方案B 的人数占比为：120100%60%200⨯=， ∴该校学生赞成方案B 的人数为：300060%1800⨯=（人)，故答案为：1800人．14．（3分）对于实数m ，n ，定义运算2*(2)2m n m n =+-．若2*4*(3)a =-，则a = 13- ． 解：2*(2)2m n m n =+-，22*(22)2162a a a ∴=+-=-，24*(3)(42)2(3)42-=+-⨯-=，2*4*(3)a =-， 16242a ∴-=，解得13a =-， 故答案为：13-．15．（3分）如图，圆心角为90︒的扇形ACB 内，以BC 为直径作半圆，连接AB ．若阴影部分的面积为(1)π-，则AC = 2 ．解：将原图区域划分为四部分，阴影部分分别为1S ，2S ；两块空白分别为3S ，4S ，连接DC ，如下图所示：由已知得：三角形ABC 为等腰直角三角形，121S S π+=-， BC 为直径，90CDB ∴∠=︒，即CD AB ⊥，故CD DB DA ==，D ∴点为BC 中点，由对称性可知CD 与弦CD 围成的面积与3S 相等．设AC BC x ==，则3412ACB S S S S S --=+扇， 其中22903604ACBx x S ππ⋅⋅==扇，224333112224ACB BCDx x S S S S x x S S ∆∆=--=--=-，故：2233()144x xS Sππ---=-，求解得：12x=，22x=-（舍去）故答案：2．16．（3分）如图，D是等边三角形ABC外一点．若8BD=，6CD=，连接AD，则AD的最大值与最小值的差为12．解：如图，以CD为边向外作等边CDE∆，连接BE，CDE∆和ABC∆是等边三角形，CE CD∴=，CB CA=，60ECD BCA∠=∠=︒，ECB DCA∴∠=∠，在ECB∆和DCA∆中，CE CDECB DCACB CA=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ECB DCA SAS∴∆≅∆，BE AD∴=，6DE CD ==，8BD =，∴在BDE ∆中，BD DE BE BD DE -<<+，即8686BE -<<+， 214BE ∴<<， 214AD ∴<<．∴则AD 的最大值与最小值的差为14212-=．故答案为：12．三、解答题（本题有9个小题，共72分） 17．（5分）计算：101()|2|20202---+．解：101()|2|20202---+221=-+ 1=．18．（6分）先化简，再求值：22221244a b a b a b a ab b ---÷+++，其中3a =-，3b =． 解：原式2()()12(2)a b a b a b a b a b -+-=-÷++ 2(2)12()()a b a b a b a b a b -+=-++- 21a ba b+=-+ 2a b a ba b +--=+ba b=-+，当3a =，3b =时，原式==．19．（7分）如图，要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所成的角α一般要满足5075α︒︒，现有一架长为6m 的梯子，当梯子底端离墙面2m 时，此时人是否能够安全使用这架梯子（参考数据：sin 500.77︒≈，cos500.64︒≈，sin 750.97︒≈，cos750.26)︒=？解：在Rt ABC ∆中， cos ACABα=， cos AC AB α∴=，当50α=︒时，cos 60.64 3.84AC AB m α=≈⨯≈； 当75α=︒时，cos 60.26 1.56AC AB m α=≈⨯≈；所以要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子底端与墙面的距离应该在1.56~3.84m m 之间，故当梯子底端离墙面2m 时，此时人能够安全使用这架梯子．20．（7分）某校开展“爱国主义教育”诵读活动，诵读读本有《红星照耀中国》、《红岩》、《长征》三种，小文和小明从中随机选取一种诵读，且他们选取每一种读本的可能性相同． （1）小文诵读《长征》的概率是3； （2）请用列表或画树状图的方法求出小文和小明诵读同一种读本的概率． 解：（1）P （小文诵读《长征》1)3=； 故答案为：13；（2）记《红星照耀中国》、《红岩》、《长征》分别为A 、B 、C ， 列表如下：A B CA (,)A A (,)AB (,)AC B (,)B A (,)B B (,)B C C(,)C A(,)C B(,)C C由表格可知，共有9种等可能性结果，其中小文和小明诵读同一种读本的有3种结果，∴小文和小明诵读同一种读本的概率为3193=． 21．（7分）已知关于x 的一元二次方程24280x x k --+=有两个实数根1x ，2x ． （1）求k 的取值范围；（2）若33121224x x x x +=，求k 的值．解：（1）由题意可知，△2(4)41(28)0k =--⨯⨯-+， 整理得：168320k +-， 解得：2k ，k ∴的取值范围是：2k ．故答案为：2k ．（2）由题意得：3321212121212[()2]24x x x x x x x x x x +=+-=， 由韦达定理可知：124x x +=，1228x x k =-+， 故有：2(28)[42(28)]24k k -+--+=， 整理得：2430k k -+=， 解得：13k =，21k =， 又由（1）中可知2k ， k ∴的值为3k =．故答案为：3k =．22．（8分）如图，AB 为半圆O 的直径，C 为半圆O 上一点，AD 与过点C 的切线垂直，垂足为D ，AD 交半圆O 于点E ． （1）求证：AC 平分DAB ∠；（2）若2AE DE =，试判断以O ，A ，E ，C 为顶点的四边形的形状，并说明理由．解：（1）证明：连接OC ，如下图所示： CD 为圆O 的切线，90OCD ∴∠=︒，180D OCD ∴∠+∠=︒， //OC AD ∴， DAC ACO ∴∠=∠，又OC OA =， ACO OAC ∴∠=∠， DAC OAC ∴∠=∠， AC ∴平分DAB ∠．（2）四边形EAOC 为菱形，理由如下：连接EC 、BC 、EO ，过C 点作CH AB ⊥于H 点，如下图所示， 由圆内接四边形对角互补可知，180B AEC ∠+∠=︒， 又180AEC DEC ∠+∠=︒， DEC B ∴∠=∠，又90B CAB ∠+∠=︒， 90DEC DCE ∠+∠=︒， CAB DCE ∴∠=∠，又CAB CAE ∠=∠，DCE CAE ∴∠=∠，且D D ∠=∠， DCE DAC ∴∆∆∽，设DE x =，则2AE x =，3AD AE DE x =+=， ∴CD DEAD CD=，223CD AD DE x ∴==，∴CD =，在Rt ACD ∆中，tan DC DAC AD ∠==30DAC ∴∠=︒，260DAO DAC ∴∠=∠=︒，且OA OE =， OAE ∴∆为等边三角形，由同弧所对的圆周角等于圆心角的一半可知：260EOC EAC ∠=∠=︒， EOC ∴∆为等边三角形， EA AO OE EC CO ∴====，即EA AO OC CE ===，∴四边形EAOC为菱形．23．（10分）某企业接到生产一批设备的订单，要求不超过12天完成．这种设备的出厂价为1200元/台，该企业第一天生产22台设备，第二天开始，每天比前一天多生产2台．若干天后，每台设备的生产成本将会增加，设第x天(x为整数）的生产成本为m（元/台），m 与x的关系如图所示．（1）若第x天可以生产这种设备y台，则y与x的函数关系式为220=+，x的取值y x范围为；（2）第几天时，该企业当天的销售利润最大？最大利润为多少？（3）求当天销售利润低于10800元的天数．解：（1）根据题意，得y与x的解析式为：222(1)220(112)y x x x=+-=+，x；故答案为：220y x=+，112（2）设当天的销售利润为w元，x时，则当16=-+=+，w x x(1200800)(220)8008000>，8000w ∴随x 的增大而增大，∴当6x =时，8006800012800w =⨯+=最大值．当612x <时，设m kx b =+，将(6,800)和(10,1000)代入得： 8006100010k bk b =+⎧⎨=+⎩， 解得：50500k b =⎧⎨=⎩，m ∴与x 的关系式为：50500m x =+，[1200(50500)](220)w x x ∴=-+⨯+ 210040014000x x =-++2100(2)14400x =--+．此时图象开口向下，在对称轴右侧，w 随x 的增大而减小，天数x 为整数， ∴当7x =时，w 有最大值，为11900元，1280011900>，∴当6x =时，w 最大，且12800w =最大值元，答：该厂第6天获得的利润最大，最大利润是12800元． （3）由（2）可得，16x 时，800800010800x +<，解得： 3.5x <则第13-天当天利润低于10800元，当612x <时，2100(2)1440010800x --+<， 解得4x <-（舍去），或8x >， ∴第912-天当天利润低于10800元，故当天销售利润低于10800元的天数有7天．24．（10分）如图1，已知ABC EBD ∆≅∆，90ACB EDB ∠=∠=︒，点D 在AB 上，连接CD 并延长交AE 于点F ．（1）猜想：线段AF 与EF 的数量关系为 AF EF = ；（2）探究：若将图1的EBD ∆绕点B 顺时针方向旋转，当CBE ∠小于180︒时，得到图2，连接CD 并延长交AE 于点F ，则（1）中的结论是否还成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；（3）拓展：图1中，过点E 作EG CB ⊥，垂足为点G ．当ABC ∠的大小发生变化，其它条件不变时，若EBG BAE ∠=∠，6BC =，直接写出AB 的长．解：（1）延长DF 到K 点，并使FK DC =，连接KE ，如图1所示， ABC EBD ∆≅∆，DE AC ∴=，BD BC =，CDB DCB ∴∠=∠，且CDB ADF ∠=∠，ADF DCB ∴∠=∠，90ACB ∠=︒，90ACD DCB ∴∠+∠=︒，90EDB ∠=︒，90ADF FDE ∴∠+∠=︒，ACD FDE ∴∠=∠，FK DF DC DF +=+，DK CF ∴=，在ACF ∆和EDK ∆中，AC ED ACF EDK CF DK =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ACF EDK SAS ∴∆≅∆，KE AF ∴=，K AFC ∠=∠，又AFC KFE ∠=∠，K KFE ∴∠=∠KE EF ∴=AF EF ∴=，故AF 与EF 的数量关系为：AF EF =．故答案为：AF EF =；（2）仍旧成立，理由如下：延长DF 到K 点，并使FK DC =，连接KE ，如图2所示， 设BD 延长线DM 交AE 于M 点，ABC EBD ∆≅∆，DE AC ∴=，BD BC =，CDB DCB ∴∠=∠，且CDB MDF ∠=∠，MDF DCB ∴∠=∠，90ACB ∠=︒，90ACD DCB ∴∠+∠=︒，90EDB ∠=︒，90MDF FDE ∴∠+∠=︒，ACD FDE ∴∠=∠，FK DF DC DF +=+，DK CF ∴=，在ACF ∆和EDK ∆中，AC ED ACF EDK CF DK =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ACF EDK SAS ∴∆≅∆，KE AF ∴=，K AFC ∠=∠，又AFC KFE ∠=∠，K KFE ∴∠=∠，KE EF ∴=，AF EF ∴=，故AF 与EF 的数量关系为：AF EF =．（3）如图3所示，延长DF 到K 点，并使FK DC =，连接KE ，过点E 作EG BC ⊥交CB 的延长线于G ，BA BE =，BAE BEA ∴∠=∠，BAE EBG ∠=∠，BEA EBG ∴∠=∠，//AE CG ∴，180AEG G ∴∠+∠=︒，90AEG ∴∠=︒，90ACG G AEG ∴∠=∠=∠=︒，∴四边形AEGC 为矩形，AC EG ∴=，且AB BE =，Rt ACB Rt EGB(HL)∴∆≅∆，6BG BC ∴==，ABC EBG ∠=∠，又ED AC EG ==，且EB EB =，Rt EDB Rt EGB(HL)∴∆≅∆，6DB GB ∴==，EBG ABE ∠=∠，60ABC ABE EBG ∴∠=∠=∠=︒，30BAC ∴∠=︒，∴在Rt ABC ∆中，由30︒所对的直角边等于斜边的一半可知：212AB BC ==．25．（12分）已知抛物线22y ax ax c =-+过点(1,0)A -和(0,3)C ，与x 轴交于另一点B ，顶点为D ．（1）求抛物线的解析式，并写出D 点的坐标；（2）如图1，E 为线段BC 上方的抛物线上一点，EF BC ⊥，垂足为F ，EM x ⊥轴，垂足为M ，交BC 于点G ．当BG CF =时，求EFG ∆的面积；（3）如图2，AC 与BD 的延长线交于点H ，在x 轴上方的抛物线上是否存在点P ，使OPB AHB ∠=∠？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】（1）把点(1,0)A -，(0,3)C 代入22y ax ax c =-+中，203a a c c ++=⎧⎨=⎩，解得13a c =-⎧⎨=⎩， 223y x x ∴=-++， 当12b x a=-=时，4y =， (1,4)D ∴；（2）如图1，抛物线223y x x =-++， 令0y =，1x ∴=-，或3x =，(3,0)B ∴．设BC 的解析式为(0)y kx b k =+≠，将点(0,3)C ，(3,0)B 代入，得330b k b =⎧⎨+=⎩，解得13k b =-⎧⎨=⎩， 3y x ∴=-+．EF CB ⊥．设直线EF 的解析式为y x b =+，设点E 的坐标为2(,23)m m m -++， 将点E 坐标代入y x b =+中，得23b m m =-++，22333y x y x m m y x m m =-+⎧∴=-++⎨=-++⎩． ∴22262m m x m m y ⎧-=⎪⎪⎨-++⎪=⎪⎩． ∴226(,)22m m m m F --++． 把x m =代入3y x =-+，得3y m =-+， (,3)G m m ∴-+．BG CF =．22BG CF ∴=，即222222(3)(3)()()22m m m m m m ---+-=+． 解得2m =或3m =-．点E 是BC 上方抛物线上的点，3m ∴=-，舍去．∴点(2,3)E ，(1,2)F ，(2,1)G，EF ====，∴112EFG S ∆==；（3）如图2，过点A 作AN HB ⊥，点(1,4)D ，(3,0)B ，26DB y x ∴=-+．点(1,0)A -，点(0,3)C ，33326AC y x y x y x =+⎧∴=+⎨=-+⎩， ∴35245x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴324(,)55H ． 设12AN y x b =+，把(1,0)-代入，得12b =， ∴1111222226y x y x y x ⎧=+⎪=+⎨⎪=-+⎩， ∴11585x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴118(,)55N ， ∴22222222118168816(1)()()()()()555555AN HN =++=+=+， AN HN ∴=．45H ∴∠=︒．设点2(,23)p n n n -++．过点P 作PR x ⊥轴于点R ，在x 轴上作点S 使得RS PR =， 45RSP ∴∠=︒且点S 的坐标为2(33n n -++，0)． 若45OPB AHB ∠=∠=︒在OPS ∆和OPB ∆中，POS POB ∠=∠，OSP OPB ∠=∠， OPS OPB ∴∆∆∽． ∴OP OS OB OP =． 2OP OB OS ∴=．2222(1)(3)3(23)n n n n n ∴++-=-++．0n ∴=或152n ±=． 1(0,3)P ∴，21555(,)22P ++，31555(,)22P --．。