习题1 选择题1.1一质点在平面上运动,已知质点位置矢量的表达式为 r = a t 2 i + b t 2 j (其中a 、b 为常量), 则该质点作( ) (A) 匀速直线运动 (B) 变速直线运动 (C) 抛物线运动 (D) 一般曲线运动解 首先要判断的是质点的轨迹，由质点的位置矢量表达式 r = a t 2 i + b t 2 j 知2x at =，2y bt =。

消去t 可得质点的轨迹方程为by x a=，由此可知质点的轨迹为直线。

其次要判断的是状态的变化，也就是考察速度和加速度，22d at bt dt==+rυi j ，22a b =+a i j 。

由此可知质点作变速直线运动，故选B 。

1.2 如图所示，用水平力F 把木块压在竖直的墙面上并保持静止。

当F 逐渐增大时，木块所受的摩擦力( )（A ）不为零， 但保持不变（B ）随F 成正比地增大（C ）开始随F 增大， 达到某一最大值后， 就保持不变 （D ）无法确定解 由题意可知物体的状态是静止，根据牛顿第二定律物体所受的合外力为零。

在竖直方向上物体受重力和摩擦力两个力的作用，两个力大小相等 、方向相反。

故选A 。

1.3一质点沿x 轴运动，其速度与时间的关系为：24m/s t =+v ，当3s t =时，质点位于9m x =处，则质点的运动方程为( )(A)214123x t t =+- (B)2142x t t =+(C)23x t =+ (D)314123x t t =++解 因为质点沿x 轴运动，由dx dtυ=有dx dt υ=，通过积分2(4)dx dt t dt υ==+⎰⎰⎰得到2143x t t C =++。

当3s t =时，质点位于9m x =处，可求得12C =-。

故选A 。

1.4 质点作曲线运动，其瞬时速度为υ，瞬时速率为υ，平均速度为υ，平均速率为υ，则它们之间的下列四种关系中哪一种是正确的? ( ) （A ）,υυ==υυ （B ）,υυ≠=υυ习题1.2图（C ）,υυ=≠υυ （D ）,υυ≠≠υυ 解 ,,,d d s sd t d t t tυυ∆∆====∆∆r r υυ；d d s =r s ∆≠∆r 。

故选C 。

1.5 以下五种运动形式中，a 保持不变的运动是( ) (A) 单摆的运动 (B) 匀速率圆周运动 (C) 行星的椭圆轨道运动 (D) 抛体运动 (E) 圆锥摆运动解 a 保持不变表明物体所受的合外力恒定不变。

单摆的运动、行星的椭圆轨道运动、圆锥摆运动合外力的大小和方向都在不断的改变；匀速率圆周运动合外力的大小不变，但方向不断地改变；作抛体运动的物体只受重力作用，大小和方向都不变，故选D 。

1.6 对于沿曲线运动的物体，以下几种说法中哪一种是正确的( ) (A) 切向加速度必不为零。

(B) 法向加速度必不为零（拐点处除外）。

(C) 由于速度沿切线方向，法向分速度必为零，因此法向加速度必为零。

(D) 若物体作匀速率运动，其总加速度必为零。

(E) 若物体的加速度a 为恒矢量，它一定作匀变速率运动。

解 对于沿曲线运动的物体，2,n d a a dt τυυρ==。

当0υ=时，a τ可以等于零；当0υ≠时，0n a ≠；故选B 。

1.7 一运动质点在某瞬时位于矢径(),x y r 的端点处, 其速度大小为( )(A)t r d d (B) d d tr(C) d d tr(D)22d d d d ⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛t y t x 解 因为 d dx dy dt dt dt ==+r υi j ，所以速度的大小为22d d d d ⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛t y t x 。

故选D 。

1.8 水平地面上放一物体A ，它与地面间的滑动摩擦系数为μ．现加一恒力F 如图所示．欲使物体A 有最大加速度，则恒力F 与水平方向夹角θ 应满足( ) (A) sin θ ＝μ． (B) cos θ ＝μ． (C) tg θ ＝μ． (D) ctg θ ＝μ．解 欲使物体A 有最大加速度，对物体进行受力解，物体共受到,,F N P 三个力的作用，F习题1.8图所受合外力是()cos sin F P F θθμ--，根据牛顿第二定律()cos sin F P F a mθθμ--=，令()'0a θ=，可求得tg μθ=时物体A 有最大加速度。

故选C 。

1.9 在相对地面静止的坐标系内，A 、B 二船都以12m s -⋅速率匀速行驶，A 船沿x 轴正向，B 船沿y 轴正向。

今在A 船上设置与静止坐标系方向相同的坐标系(x 、y 方向单位矢用i 、j 表示)，那么在A 船上的坐标系中，B 船的速度（以m/s 为单位）为( ) (A) 2i ＋2j (B) -2i ＋2j(C) －2i －2j (D) 2i －2j解 这是一个相对运动的问题，要求的是B 船相对A 船的速度，由题意可知()12A m s -=⋅υi ，()12B m s -=⋅υj ，'22BB A =-=-υυυj i ，故选B 。

1.10 如图所示，一轻绳跨过一个定滑轮，两端各系一质量分别为m 1和m 2的重物，且m 1>m 2．滑轮质量及轴上摩擦均不计，此时重物的加速度的大小为a ．今用一竖直向下的恒力gm F 1=代替质量为m 1的物体，可得质量为m 2的重物的加速度为的大小a ′，则( ) (A) a ′= a (B) a ′> a(C) a ′< a (D) 不能确定.解 对12,m m 两物体进行受力解，1m 受力1,P T ；2m 受力2,P T 。

根据牛顿第二定律 有1122,P T m a T P m a -=-=，可求得()1212m m g a m m -=+；当用一竖直向下的恒力g m F 1=代替质量为m 1的物体，可得质量为m 2的重物的加速度为的大小()12'2m m g a m -=。

由此可知a ′> a ，故选B 。

习题1.10图2 填空题1.11在xoy 平面内有一运动的质点，其x ,y 分量的运动方程分别为10cos(5)x t =，10sin(5)y t =(SI)，t 时刻其速率υ =__________， 其切向加速度的大小a τ=______________；其法向加速度的大小n a =_________。

解 根据,x y dx dydt dtυυ==可得()()50sin 5,50cos 5x y t t υυ=-=，t 时刻质点的速率为150m s υ-==⋅，切向加速度的大小0d a dtτυ==，法向加速度的大小22250n a m s Rυ-==⋅。

1.12在x 轴上作变加速直线运动的质点,已知其初速度为0υ,初始位置为0x ,加速度为a=C t 2 (其中C 为常量),则其速度与时间的关系υ= ， 运动方程为x= 。

解 根据,d adt dx dt υυ==，通过积分02t d Ct dt υυυ=⎰⎰可得3013Ct υυ=+；通过积分03001()3x t x dx Ct dt υ=+⎰⎰可得400112x x t Ct υ=++。

1.13灯距地面高度为H ,一个人身高为h , 在灯下以匀速率υ沿水平直线行走, 如图1.2所示.则他的头顶在地上的影子M 点沿地面移动的速度M υ= 。

解 建立如下坐标，设时刻t 影子M 点在地面的位置为x ，人在地面的位置为t υ，由几何关系知x H x t h υ=-，将此式对t 求导得dx dx h H dt dt υ=-，因为M dx dt υ=，所以M H H hυυ=+。

习题1.13图1.14如图,一质点P 从O 点出发以匀速率11m s -⋅作顺时针转向的圆周运动, 圆的半径1m,如图所示,当它走过34圆周时, 走过的路程是 ，这段时间内的平均速度大小 ，方向是 。

解 质点P 从O 点出发以匀速率11m s -⋅作顺时针转向的圆周运动, 当它走过34圆周到达B 时，走过的路程是33242m ππ⨯=，1223OB m s t π-==⋅υ，方向与ox 轴成45。

1.15一质点沿半径为R 的圆周运动, 在t = 0时经过P 点, 此后它的速率υ按υ=A+B t (A 、B 为正的已知常量)变化, 则质点沿圆周运动一周再经过P 点时的切向加速度a t = ，法向加速度a n = 。

解 d a B dtτυ==，22()n A Bt a R R υ+==。

1.16以一定初速度斜向上抛出一个物体, 如果忽略空气阻力, 当该物体的速度υ与水平面的夹角为θ 时，它的切向加速度a τ的大小为a τ= ， 法向加速度a n 的大小为a n = 。

解 因为忽略空气阻力，物体只受重力作用，所以物体的加速度就是重力加速度g ，将g 分解为沿速度方向和与速度垂直方向即得到sin ,cos n a g a g τθθ==。

1.17如图所示装置中，若两个滑轮与绳子的质量以及滑轮与其轴之间的摩擦都忽略不计，绳子不可伸长，则在外力F 的作用下，物体m 1和m 2的加速度为a =______________________，m 1与m 2间绳子的张力T =________________________。

2习题1.14图解 因为两个滑轮与绳子的质量以及滑轮与其轴之间的摩擦都忽略不计，绳子不可伸长，对12,m m 两物体进行受力解，1m 受力1,P T,F ；2m 受力2,P T 。

根据牛顿第二定律有1122,F P T m a T P m a +-=-=，可求得1212212122,m g m g F m m g Fm a T m m m m -++==++。

1.18在如图所示的装置中，两个定滑轮与绳的质量以及滑轮与其轴之间的摩擦都可忽略不计，绳子不可伸长，m 1与平面之间的摩擦也可不计，在水平外力F 的作用下，物体m 1与m 2的加速度a ＝______________，绳中的张力T ＝_________________。

解 因为两个滑轮与绳子的质量以及滑轮与其轴之间的摩擦都忽略不计，绳子不可伸长， 对12,m m 两物体进行受力解，1m 水平方向受力,F T ；2m 受力2,P T 。

根据牛顿第二定律有122,F T m a T P m a -=-=，可求得21221212,F m g m m g Fm a T m m m m -+==++。

3 计算题1.19 已知质点位矢随时间变化的函数形式为22t t =+r i j ，式中r 的单位为m ，t 的单位为s .求：（1）任一时刻的速度和加速度；（2）任一时刻的切向加速度和法向加速度。

解 (1)由d dt =r υ，有：22t =+υi j ，d dt=υa ，有：2=a i （2）而υ=υ，有速率：υ==∴d a dtτυ==，利用222n a a a τ=+有：n a ==1.20 一质点沿x 轴作直线运动,它在t 时刻的坐标是234.52x t t =-，式中x 以米计，t 以秒计，试求习题1.17图 习题1.18图(1) 1=t s 和2=t s 时刻的瞬时速度；（2）第二秒内所通过的路程；（3）第二秒内的平均加速度以及s t 1=和 s t 2=时刻的瞬时加速度。